2016年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题8373.pdf

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1、数学试卷（理科）第 1 页 （共 10 页）2015 年福建省普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试卷 注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分 150分，考试时间 120分钟.参考公式：样本数据1x，2x，nx的标准差：222121()()()nsxxxxxxn，其中x为样本平均数；柱体体积公式：VSh，其中S为底面面积、h为高；锥体体积公式：13VSh，其中S为底面面积，h为高；球的表面积、体积公式：24SR，343VR，其中R为球的半径.第卷（选择题

2、 共 50 分）一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1已知复数1izi（i为虚数单位）则复数z在复平面对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2集合|2xAxx0，|2,0 xBy yx，则AB是(）A(0,2)B(1,2)C(0,1)D(,0)3已知,m n是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A,mnmn若则 B,若则 C,mm若则 D,mnmn若则 开始1,1is5?i 1ii 输出s结束否 是 第 4 题 2(1)ss数学试卷（理科）第 2 页 （共 10 页）4

3、如果执行右面的程序框图，那么输出的S（）A22 B46 C94 D190 5函数32()ln2xf xx的零点一定位于区间（）A(1,2)B(2,3)C3,4 D4,5 6下列有关命题的说法正确的是()A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”B “1x ”是“2560 xx”的必要不充分条件 C 命题“xR，使得210 xx”的否定是：“xR，均有210 xx”D 命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 7 将函数sin()6yx的图象按向量,0a 平移，则平移后的函数图象（）关于点06，对称 关于直线6x 对称 关于点03，对称 关于直线2x 对称 8 袋中有

4、 40 个小球，其中红色球 16 个，蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）12344812161040C C C CC 21344812161040C C C CC 23144812161040C C C CC 13424812161040C C C CC 9 某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a（）A2 B3 C1 D2 10若抛物线24yx的焦点是F,准线是l,则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有（）A.0个 B.1

5、个 C.2个 D.4个 第卷（非选择题 共 100分）二填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在题后的横线上）11已知(tan,1),(1,2)ab，若()()abab，则tan 12 已知1t，若2121 dtxxt，则t 13.2212nnnnan，（为奇数），（为偶数）则20S 14已知(,)10,0,0 x y xyxy，(,)5,0,0Ax y xyxy，若数学试卷（理科）第 3 页 （共 10 页）向区域上随机投 1 个点，求这个点落入区域A的概率=15观察以下几个等式：1011021111CC CC C；20211204222222CC CC CC C

6、；(3)303122130633333333CC CC CC CC C，归 纳 其 特 点 可 以 获 得 一 个 猜 想 是：2nnC 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16.（本小题满分 13 分）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cabbaca，（）求角 B 的大小；（）若ABC最大边的边长为7，且ACsin2sin，求最小边长 17（本小题满分 13 分）已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼 为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各 1000 只，给每只鱼作上不影

7、响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出 1000 只鱼，,分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中这样的记录作了 10 次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图，（）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量;（）假设随机地从池塘逐只有放回地捕出 5 只鱼中的红鲫鱼的数目为，求的分布列与数学期望 18（本小题满分 13 分）已知函数3211()32f xxxcxd有极值（）求c的取值范围；（）若()f x在2x 处取得极值，且当0 x 时，21()26f xdd恒成立，求d的取值范围 19（本小题满分 13

8、分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，1AA 平 面,9 0A B CA C B，2AB,1BC，16AA，D是棱1CC的中点（）证明：1AD平面11ABC；（）求平面11AB A与平面11ABC所成的锐二面角的余弦值 红鲫鱼 中国金鱼 9 8 8 6 1 6 7 9 9 3 2 2 2 0 0 2 0 0 1 2 3 3 A B C A1 B1 C1 D 数学试卷（理科）第 4 页 （共 10 页）20（本小题满分 14 分）设A、B是椭圆223xy上的两点，点(1,3)N是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）若以线段A

9、B为直径的圆过线段CD中点M,求这个圆的方程 21（本小题满分 14 分）如图，已知曲线C：1yx在点 1,1P处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线C于点1P，曲线C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线C于点2P，依次得到一系列点1P、2P、nP，设点nP的坐标为,nnxy（*nN）（）求数列 nx的通项公式；（）求证：三角形12nnnP P P的面积为定值；（）对于任意给定的常数k)(*Nk，三角形knknnPPP2的面积knknnPPPS2是否为定值若是,求出这个定值;若不是,说明理由 yxQ2Q1PoP1P2 数学试卷（理科）第 5 页 （共 10

10、 页）2009福州市高中毕业班单科质量检查 数学(理科)试卷评分标准与参考答案 一.选择题 1-5 6-10 BCDCA DAABC 二填空题 11.tan2;12.2;13.2236;14.14;15.0112202nnnnnnnnnnnnnnCC CC CC CC C 三、解答题 16.【解】（）由cabbaca整理得)()(baabcca，即222abcac，-2 分 2122cos222acacacbcaB，-5 分 B0，32B。-7 分（）32B,最长边为b，-8 分 ACsin2sin，ac2，-10 分 a为最小边，由余弦定理得)21(2247222aaaa，解得12a，1a，

11、即最小边长为 1 -13 分 17.【解】（）由茎叶图可求出 10 次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为 20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是x，则有 4020001000 x，-4 分 即 2 0 0 01 0 0 05000040 x，所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为 25000 -7分（）显然，1(5,)2B，-9 分 其分布列为 0 1 2 3 4 5 数学试卷（理科）第 6 页 （共 10 页）P 132 532 516 516 532 132-11 分 数学期望15522E -13 分 18.【解】（）3211()32

12、f xxxcxd，2()fxxxc，-2 分 要使()f x有极值，则方程2()0fxxxc有两个实数解，从而 140c，14c -4 分（）()f x在2x 处取得极值，(2)420fc，2c -6 分 3211()232f xxxxd，2()2(2)(1)fxxxxx，当(,1x 时，()0fx，函数单调递增，当x(1,2时，()0fx，函数单调递减 0 x 时，()f x在1x 处取得最大值76d，-10 分 0 x 时，21()26f xdd恒成立，76d2126dd，即(7)(1)0dd，7d 或1d，即d的取值范围是(,7)(1,)-13 分 19.【解】法一：（）90ACB，BC

13、AC 三棱柱111ABCABC中,1CC 平面ABC 11,BCCCACCCC，BC 平 面11ACC A 1AD 平 面11ACC A，1B CA D，而11BCBC，则111BCAD-2 分 在1Rt ACC与11Rt DC A中，1112,2DCACCCAC111ACCDC A，-4 分 111AC CDAC 11190AC CC DA即11ADAC H G A B C A1 B1 C1 D 数学试卷（理科）第 7 页 （共 10 页）1111BCACC，1AD平面11ABC -6 分（）如图，设11ADACH,过1A作1AB的垂线，垂足为G，连GH，1AD平面11ABC,11111,A

14、BADABAGHAGH平面为二面角111AABC的平面角 -9 分 在11Rt AA B中，16AA，112AB，110AB，111112 155AA ABAGAB;在11Rt AAC中，16AA，113AC，13AC，111112AA ACAHAC.-11 分 在1Rt A GH中，1115 230sin62 15AHAGHAG，16cos6AGH 故锐二面角111AABC的余弦值为66.即平面11AB A与平面11ABC所成的锐二面角的余弦值为66-13 分 法二：（）90ACB，BCAC 三棱柱中1AA 平面,ABC1BCCC 1ACCCC，BC 平面11ACC A 以C为坐标原点，CB

15、、1CC、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系-2 分 易求得0,0,0C，1,0,0B，0,0,3A，10,6,0C，11,6,0B，10,6,3A，60,02D-4 分（）160,32AD，111,0,0BC ，11,6,3AB，1110AD BC ，110AD AB ，111ADBC，11ADAB，即111ADBC，11ADAB 1111BCABB，1AD平面11ABC -6 分 y z x A B C A1 B1 C1 D 数学试卷（理科）第 8 页 （共 10 页）（）设,x y zn是平面11AAB的法向量，由110,0.ABAAnn得630,60.xy

16、zy 取1z，则3,0,1n是平面11AAB的一个法向量 -9 分 又160,32AD 是平面11ABC的一个法向量，-11 分 11160,33,0,126cos,=63 222ADADAD nn 即平面11AB A与平面11ABC所成的锐二面角的余弦值为66-13 分 20【解】（）法 1：依题意，显然AB的斜率存在,可设直线AB的方程为223,3)1(yxxky代入，整理得 222(3)2(3)(3)0kxk kxk -2 分 设212211,),(),(xxyxByxA则是方程的两个不同的根，224(3)3(3)0kk，-4分 且1222(3)3k kxxk，由(1,3)N是线段AB的

17、中点，得 1212xx，2(3)3k kk 解得1k ，代入得，即,12的取值范围是（12，+）-6 分 于是，直线AB的方程为3(1)yx，即40 xy -7 分 法 2：设11(,)A x y，22(,)B xy，则有 .0)()(332121212122222121yyyyxxxxyxyx -2分 依题意，12xx，12123()ABxxkyy -4 分(1,3)N是AB的中点，122xx，126yy，从而1ABk 又由(1,3)N在椭圆内，223 1312，的取值范围是(12,)-6 分 直线AB的方程为3(1)yx，即40 xy -7分（）CD垂直平分AB，直线CD的方程为31yx，

18、即20 xy，数学试卷（理科）第 9 页 （共 10 页）代入椭圆方程，整理得24440 xx -9 分 又设3344(,),(,)C x yD xy，CD的中点为00(,)M xy，则34,x x是方程的两根，34034001131 31,(),2,(,)2222 2xxxxxyxM 且即-12 分 1 3(,)2 2M 到直线AB的距离221343 222211d，故所求的以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为：22139()()222xy-14 分 21【解】（）由1yx求导得21yx ，曲线C：1yx在点 1,1P处的切线方程为11yx ，即2yx 此切线与x轴的交点1Q

19、的坐标为2,0，点1P的坐标为12,2即1112,2xy -2 分 点nP的坐标为,nnxy（*nN），nP在曲线C上，所以1nnyx，曲线C：1yx在点nP,nnxy处的切线方程为211nnnyxxxx，-4 分 令0y，得点1nQ的横坐标为12nnxx 数列 nx是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 2nnx（*nN）-6 分（）设),(nnnyxP、),(111nnnyxP、),(222nnnyxP，11nNnnPQQpS4322321)22)(2121(21111nnnnnn 2211nNnnPQQpS4322321)22)(2121(21121221nnnnnn 22nNnnPQQ

20、pS2221111515()(22)3 22 22228nnnnnn -9 分21nnnPPPS=22nnNnp Q QPS11nnNnp Q QPS1122nnNnpQQPS=834343815(定值)-11 分 （）设),(nnnyxP、),(knknknyxP、),(222knknknyxP 数学试卷（理科）第 10 页 （共 10 页）则knknnPPPS2=knkNnnPQQPS22knknnnPQQPSknknknknPQQpS22=)2121(21)22()2121(21)22()2121(21222knknnknknnnknknn)22(2knkn)121212)(12(21)212212)(12(2122kkkkkkkkk -13 分 1232222)12()12()212212)(12(21kkkkkkkk，k为常数)(*Nk，knknnPPPS2=1232)12()12(kkk为定值.-14 分