与球有关的切接问题3754.pdf

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1、题型三 与球有关的切、接问题 例 1 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172 B2 10 C.132 D3 10【答案】C 2 已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为多少？【答案】【解析】正四面体的表面积为 S1434a2 3a2，其内切球半径 r 为正四面体高的14，即r1463a612a，因此内切球表面积为 S24r2a26，则S1S23a2a266 3 3已知侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？【答案】1（河

2、南省郑州一中下期 17 届高三百校联盟）在三棱锥ABCD中，1ABAC，2DBDC，3ADBC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A.B.74 C.4 D.7【答案】D 2（河南省郑州一中下期 17 届高三百校联盟）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.6 B.8 C.223 D.263【答案】C 3（2017 届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模）已知过球面上,A B C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2ABBCCA，则球面积是（）A.169 B.83 C.649 D.4【答案】C 【解析】D 是正ABC 的中心，AD 是

3、ABC 的外接圆半径.AD2 32sin603AB，又 OD12R 12OA，OA OD AD ，R 21344R ，R 649，球的表面积 S4R 649.故选 C 学科 网 4（西藏自治区拉萨中学 2017 届高三第八次月考）如图,三棱锥中,且,则三棱锥的外接球表面积为 A.B.C.D.【答案】B 5（重庆市第一中学 2017 届高三下学期第二次月考）已知正三棱锥的侧棱长为，若二面角的余弦值为，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如 图，设 正 底 面 三 角 形 的 边 长 为，则，故，又，故，即，所以三棱锥的体积，应选答案 A。点睛：解答本题的关键是借助题设中的二面角

4、的余弦值，运用定义找出二面角的平面角，然后运用直角三角形中三角函数的定义求出，建立方程，进而确定，即，最后运用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积而获解。6（吉林省实验中学 2017 届高三下学期第八次模拟）已知三棱锥SABC外接球的直径6SC，且3ABBCCA，则三棱锥SABC的体积为（）A.3 24 B.9 24 C.3 22 D.9 22【答案】D【解析】如图，由题设可知ABS是边长为 3 等边三角形，设球心为O，点O在面ABS内的射影是M，则M是ABS的中心，则2333,332MBOB，故936OM，则点C到平面ABS的距离是2 6d，而239 3344ABSS，则棱锥SABC的体积为119

5、 39 22 63342ABSVSd，应选答案 D。学科 网 7（湖南省长沙市长郡中学 2018 届高三实验班选拔考试）已知三棱锥SABC的每个顶点都在球O的表面上，SA底面,4,2 15ABC ABACBC，且二面角SBCA的正切值为 4，则球O的表面积为 A.240 B.248 C.252 D.272【答案】D【解析】设BC中点为D，可得1AD，则SDA是“二面角SBCA”的平面角，由于“二 面 角SBCA”的 正 切 值 为4，=44SAAD，由 余 弦 定 理 知，161660715cos,24488CABsin CAB，由正弦定理知，ABC外接圆直径2 15216158r，设S A

6、B C外接球半径为R，则2222441 6 1 6=2 7 2RS Ar，球O的表面积为24272R，故选 D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用22224Rabc（,a b c为三棱的长）；若SA面ABC（SAa），则22244Rra（r为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.8（山西省三区八校 2017 届高三第二次模拟）在矩形中，现将沿对角线折起，使点 到达点的位置，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.与点的位

7、置有关【答案】C 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解 学科 网 9（2017 届山西省高三 3 月高考考前适应性测试）如图，在ABC中，ABBC 6，90ABC，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，

8、若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（）A.B.3 C.5 D.7【答案】D 点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三 角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,a b c则其体对角线长为222abc;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 10（2017 年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟）三棱锥PABC中，底面ABC满足BABC，2ABC，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为 A.2 B.3 C.2 3 D.3 3【答案】B【解析】设 AC 的中点为 D，连结 PD，很明显球心在 PD 上，设球心为 O，PD=h，AB=x，则：2221192727,322xhhxxh，在 RtOAD 中：222OAADOD，设OAR,则：22222RxhR，