平面向量与三角形的心综合30727.pdf

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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合 一、三角形外心的性质 性质 1：三角形三边中垂线的交点，G 为外接圆圆心 性质 2：点G是ABC外心：GAGBGCGA2=GB2=GC2 (G到三顶点距离相等)(GA+GB)AB=(GB+GC)BC=(GC+GA)CA=0(G为三边中垂线交点)性质 3：正弦定理：2sinsinsinabcRABC，R为ABC的外接圆半径 二、三角形内心的性质 性质 1：三角形的三个角平分线的交点，O内切圆圆心。性质 2：三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径R 性质 3：内角平分线定理：ABC中，AD是A的角平分线，D在BC上，则有：BDABCDAC 性质 4：

2、设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心,OOCcOBbOAa0为ABC的内心 证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabc，cbabcAO（bACcAB)A B C G O E F D A B C 化简得0)(ACcABbOAcba 0OCcOBbOAa 性质 5：O是ABC的内心的充要条件是 0ABACBABCCACBOAOBOCABACBABCCACB 性质 6：已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心 三、三角形重

3、心的性质 性质 1：三角形三边中线的交点 性质 2：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为 2：1，即21GAGBGC=GDGEGF 性质 3：重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等，即ABGACGBCGSSS 性质 4：重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为123123,33xxxyyyG 性质 5：O是ABC的重心0OCOBOA G为ABC的重心)(31PCPBPAPG P是ABC平面内任一点.G是ABC的重心)(31PCPBPAPG.证明如下：CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G是ABC的重心 0GCGBGA0CGBGAG，即PCP

4、BPAPG3 ABCDEFG由此可得)(31PCPBPAPG.性质 6：已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.四、三角形垂心的性质 性质 1：垂心为三角形三边高的交点；性质 2：OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC，D、E 是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA ACOB 同理BCOA，ABOC O为ABC的垂心 性质 3：已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABAC

5、OPOAABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心 例题 1：是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的 解析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ABCDEOABCDEADACAB2，ADOAOP2 APOAOP，ADAP2 APADPABCC例题 2：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的 解析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即

6、选B.例题 3：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P轨迹一定通过ABC 解析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC，D、E 是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.巩固练习：练习 1：已知 O，N，P 在ABC所在平面内OA=OB=OC,0NANBNC,PA PBPB PC PC PA则点,O P N依次ABC是的()A.重心 外心 垂心 B

7、.重心 外心 内心 ABCDEC.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 解析：C 练习 2：已知点O是ABC的重心，内角ABC、所对的边长分别为abc、，且2 3203a OAb OBc OC，则角C的大小是 .解析：3 点O是ABC的重心，0OAOBOC 又2 3203a OAb OBc OC 2 323abc 22222232 3331cos2232 3233cccabcCabcc，3C 练习 3：已知P是ABC所在平面内任意一点，且+3PAPB PCPG,则G是ABC的（）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析：C+3PAPB PCPG()()()00PAPGPBPGPCPGGAGBGC G是ABC的重心 练习 4：O是ABC所在平面内一定点，若动点P满足1,2OPOAABBC 0，+,则P的轨迹一定经过ABC的（）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析：B