勾股定理经典题目及答案38322.pdf

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1、-勾股定理 1勾股定理是把形的特征三角形中有一个角是直角，转化为数量关系a2b2=c2，不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形.2勾股定理的逆定理是把数的特征a2b2=c2转化为形的特征三角形中的一个角是直角，可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘直角这个隐含条件.ABC 中 CRta2b2=c2 3为了计算方便，要熟记几组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；9、40、41.4勾

2、股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：1确定最大边；2算出最大边的平方，另外两边的平方和；3比拟最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，假设相等，则说明是直角三角形；5勾股数的推算公式 罗士琳法则罗士琳是我国清代的数学家 17891853 任取两个正整数 m 和 n(mn),则 m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。如果 k 是大于 1 的奇数，则 k,212k,212k是一组勾股数

3、。如果 k 是大于 2 的偶数，则 k,122 K,122 K是一组勾股数。如果 a,b,c 是勾股数，则 na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。典型例题分析 例 1 在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示)，斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4=_ 依据这个图形的根本构造，可设S1、S2、S3、S4的边长为 a、b、c、d -则有 a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4 例 2 线段 a

4、，求作线段5a 分析一：5a25a224aa 5a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a2492aa 5a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图略 例 3 如图：(1)以 RtABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以 RtABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1，S2，S3之间有何关系？(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折 180，成为图(3)，请验证：两个阴影局部的面积之和正好等于直角三角形的面积(此阴影局部在数学史上称为希波克

5、拉底月牙)分析：(1)中 S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。所以根据勾股定理可得出 S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3 (2)类似于(1)：S1+S2=S3 (3)图中阴影局部的面积是 S1+S2+SABC-S3S阴影=SABC 例 4.如图 3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设所有的正方形的面积之和为 507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以 S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴 从而有 3S阴=507，即 S阴=169(cm2)最大的正方形

6、的边长为 13cm 例5图(7)中，假设大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形 ABCD 仍为正方形，且剩下列图形的面积为原正方形面积的 5/9(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为 a，b 且 ab，则 -将正方形 EFGH 的边长三等分，使 顺次连结 A、B、C、D，所得正方形 ABCD 的面积即为原正方形面积的，只要剪去ABE，BCF，CDG，DAH 即可。二、要学会用方程观点解题例 6.：如图 7，ABC 中，AB=3，BC=4，B=90，假设将ABC 折叠，使 C 点与 A 点重合，求折痕 EF 的长。分析：当解这样的问

7、题时，由轴对称的概念，自然想到连 AF。由，可得，因此欲求 EF，只要求 AF 的长。设 AF=*，则 FC=*，BF=4-*只要利用 RtABF 中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程 *2-(4-*)2=9，问题就可以解决 例 7.在 RtABC 中，C=90，假设 a，b，c 为连续整数(ab0，只有*=4 a+b+c=(*-1)+*+(*+1)=3*=12 例 8.：如图 8，ABC 中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC 的面积。分析：为了求ABC 的面积，只要求出 BC 边上的高 AD 假设设 BD=*，则 DC=21-*，只要利用 AB2-BD2=AD2=AC2

8、-DC2 这个相等关系，列方程132-*2=202-(21-*)2，求出*的值 问题就能解决 例 9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：-(1)用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出 OA10的长；(3)求出 的值。答案 (1)例 10.如图ABC 中，ADBC，ABCDACBD,求证：ABAC 证明：设 AB，AC，BD，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m,c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)(c-b)(c+b)(

9、c-b)(m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n,c-b=0 即 c=b ABAC 例 11.：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH32 求：ab的值 解：根据勾股定理 a2+b2=EF2SEFGH32 ;4SAEFSABCDSEFGH 2ab=31 得 a-b2=31ab33 例 12.ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC，MEMF 求证：EF2BE2CF2 答案.延长 EM 到 N，使 MNEM，连结，显然MNCMEB，NCBE，NFEF 例 13.RtABC 中，ABC

10、90，C600，BC2，D 是 AC 的中点，从 D 作 DEAC 与 CB的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。答案与提示：.可证 DFDE23 选讲例 14 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂cbnmABCDABCDFGHE-蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 答案2210)2(练习 1 在边长为整数的ABC 中，ABAC，如果 AC=4，BC=3，求 AB 的长.分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从 AC AB AC+

11、BC 知：4 AB7，得 AB 为 5 或 6.2 如图，在等腰ABC 中，ACB=90，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋转变换，进展边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。3 如图，在A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D=。答案 12。ABCD 4 如图，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠局部AFC 的面积是。设 EF=*，则 AF=CF=8-*，AE2+EF2=AF2,所以 42+*2=(8-*)2,解得*=3，S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10 5 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形.现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 答案 AB=5 6 在ABC 中，AB=15,AC=20,BC 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长.答案 25 或 7 7 在 A BC中，D是 BC 所在直线上一 点，假 设AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求 ABC的面积。答案 84 或 36 BCADCBADBCADCBAD