勾股定理及其逆定理复习典型例题19793.pdf

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1、勾股定理及其逆定理复习典型例题 1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 4.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 5.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。6.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 7.（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是 C）8.（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则ABC 是

2、以C 为直角的三角形。（若c2a2+b2则ABC 是以C 为钝角的三角形，若c2a2+b2则ABC 是以C 为锐角三角形）二、例题分析 例 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2=202 化简得x2=16；直角三角形的面积=213x4x=6x2=96 注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例 2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。解：如图，等边ABC，作 ADBC 于 D 则：BD=21BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合

3、）AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）BD=1 在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2BD2=41=3 ABCDAD=3 SABC=21BCAD=3 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为43a 例 3、直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：)2(5)1(125222yxyx 由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 (3)(3)(2)，得：xy=12 直角三角形的面积是21xy=2112=6（cm2）例 4、在锐角ABC 中，已知

4、其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析：显然第三边bacb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为c，并设ABC 是直角三角形 当第三边是斜边时，c2=b2+a2，c=10 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，c=22（即8）ABC 为锐角三角形 所以点 A 应当绕着点 B 旋转，使ABC 成为锐角（如图），但当移动到点 A2位置时ACB 成为直角。故点 A 应当在 A1和 A2间移动，此时 22AC10 注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以

5、有两种情况要考虑。例 5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）3ABC31AA、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2=（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择支 D，82（40+39）（4039），以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。答案：A 例 6、四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。解：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5

6、AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形 ABCD=SABC+SACD=21ABBC+21ACCD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2 化简得：n2=4 n=2，但当n=2 时，n+1=10，n=2 三、练习题 1、等腰三角形的两边长为 4 和 2，则底边上的高是_，面积是_。2、一个直角三角形的

7、三边长为连续偶数，则它的各边长为_。3、一个直角三角形一条直角边为 16cm，它所对的角为 60，则斜边上的高为_。4、四个三角形的边长分别是3，4，5 4，7，8217,24,25321,421,521其中是直角三角形的是（）ABCDA、B、C、D、5、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A、1：2：4 B、！：3：5 C、3：4：7 D、5：12：13 6、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180。7、已知直角三角形中，两边的长为 3、4，求第三边长。8、ABC 中，C=90，a=5，cb=1，求b，

8、c的长。9、如图：ABC 中，AD 是角平分线，AD=BD，AB=2AC。求证：ACB 是直角三角形。ABCDABCD 三、练习题解答 1、15，15 2、6，8，10 3、8cm 4、D 5、D 6、本题类似于例 6，需连结 AC 证出ACD 也是直角三角形，从而1+2=90，3+4=90，DAB+DCB=180 7、解：设第三边长为x,当第三边是斜边时：x2=32+42=25，即x=5 当第三边不是斜边时，则斜边长为 4：x2=4232，即x=7 8、此题类似于例 3 解：根据题意得：125)(222bcbcbcbca125bcbc1213bc 9、证明：作 DEAB 于 E AD=BD,DEAB 2AE=AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）DEA=90（垂直的定义）又AB=2AC AE=AC AD 是角平分线 1=2 在ACD 和AED 中 ADADAEAC21 ACDAED（SAS）C=AED=90（全等三角形对应角相等）ABCDABCDEACB 是直角三角形