2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃2102.pdf

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1、 sin x 1 3 2 cos x 2sin x 20142017 全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（2017 天津）12.设 ABC 的三个内角分别为 A,B,C，若 BC 的中点为 M,证明：cot BAM 2 cot A cot B.（2017 河北）3.函数 f(x)sin(x )2 cos2 x 1的图像与函数 y g(x)的图像关 4 6 8 4 于直线 x 1 对称.当 x 0,时，g(x)的最大值为 .3（2017 河 北）10.在 ABC 中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c，ln tan A ln tan C 2 ln tan B.求证：

2、tan A tan B tan C tan A tan B tan C；（II）当 B 最小时，若ABC 面积的最大值为 sin 2x 3，求 a,b,c 的值.（2017 山西）2.函数 y sin x cos x 2 的值域为 .（2017 山 西）6.若 三 个 角 x,y,z 构 成 等 差 数 列，公 差 为，则 3 tan x tan y tan y tan z tan z tan x.（2017 辽宁）1.ABC 的三个内角为 A,B,C，若 sin2 A sin2 B sin2 C 2，则 cos A cos B 2 cos C 的最大值为 .（2017 辽宁）6.设 f(x)

3、是定义在 R 上的函数，满足|f(x)cos2 x|3,|f(x)sin2 x|1,4 4 则函数 f(x)的解析式为 .（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n，cos(2n)1 都成立，求实数.3 （2017 山东）7.函数 f(x)(0 x 2)的值域为.（2017 福建）7在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 sin C cos A (2 cos C)sin A 2 2 为 。，cos A 3 5，a 4，则 ABC 的 面 积 （2017 江西）2.若sin x cos x 2，则sin3 x cos3 x .2 （2017 河 南）2.已 知 函

4、数 f(x)x5 a sin3 x b sin x cos x cx 4，且 满 足 f(2017)2,则 f(2017).3 6 2a 3 x y 1 sin2 20 2018 sin2 20 2017（2017 河 南）7.若 实 数 x,y 满 足 x y，则 x y.cos 3 1 sin2 70 2018 sin2 70 2017 1 sin 3（2017 河南）8.已知 R，且 cos ，则 2 sin.（2017 河南）11.已知正实数 x,y,z 满足 x2 y2 z2 4.（1）证明存在锐角,，使得 x 2 sin cos ,y 2 cos cos ,z 2 sin .（2）

5、证明：3 xy yz zx 2.（2017 年湖北）11.求实数a 的取值范围，使得不等式 2 sin 2 2 2a cos()4 sin()4 3 a 对 0,恒成立.2 （2017 湖北）13.已知函数 f(x)|sin x|,x R.1（1）证明：sin1 f(x)f(x 1)2 cos.2 f(n)f(n 1)f(3n 1)sin1（2）证明：对任意的正整数n，有 .n n 1 3n 1 2（2017 四川）2.已知,(0,)，tan ,tan 是方程 x2 3x 1 0 的两根，则 cos()的值为 .（2017 陕 西）13.设 ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别

6、为 a,b,c，向 量 m (sin A,b c),n (sin C sin B,a b),且存在实数，则m n.（1）求角C 的大小；（2）若a b kc，求实数k 的取值范围.（2017 甘肃）3.已知向量a (2,2 cos2 ),b (m,2 sin),其中,m,R，若 a 2b，则 m 的取值范围为 .（2017 甘 肃）8.设复数 z1 3 3i,z2 i,z 3 sin (3 cos 2)i，则|z z1|z z2|的最小值为 .2 6 m 3 1 sin x 4 5 （2017 江 苏）7.若 tan 4x ，则 3 sin 4x cos 8x cos 4x in 2x cos

7、 4x cos 2x sin xcos 2x cos x sin x .cos 4x（2017 安 徽）7.设 0,2 ，若 对 任 意 的 x 0,1，恒 有 2x2 sin 4x(1 x)cos 3(1 x)2 0，则 的取值范围是 .x sin x 1（2017 安徽）10.设0 x ，证明：0 .2 tan x sin x 3 （2017 浙江）4、设 x,y R，且 x y sin2 x cos2 x cos2 x cos2 y sin2 x sin2 y sin(x y)1，则（2017 湖南）11设0 x ，3sin x 2 ，则tan x （2017 湖南）13在锐角ABC 中

8、，sin A ，且 a，b，c 为角 A，B，C 的对边.9（1）求sin 2 B C sin2 B C 的值；2（2）若a 4，试求当 AB AC 取得最大值时，ABC 的面积 SABC 的值.（2017 新疆）1.函数 f(x)(sin x 1)(cos x 1)(x R)的值域为 .（2017 新疆）6.已知在ABC 中，tan A,(1值为 .2)tan B,tan C 成等差数列，则B 的最小（2017 全国）2.若实数 x,y 满足 x2 2 cos y 1，则 x cos y 的取值范围为 .（2017 内蒙古）2.锐角三角形的内角 A,B 满足tan A 1 tan B,cos

9、2 B 6，则 sin 2 A.sin 2A 2 3 （2017 内蒙古）5.设复数 z 3cos (2sin)i,则函数 y arg z(0 为 .)的最大值 2（2017 上海）1.函数 y lgarcsin(2x2 x)的定义域为 ,值域为 .（2017 上 海）5.设 f(x)1 2，则 f(tan1)f(tan 2)f(tan 1 sin x 3)f(tan 89)x 1 x2 1 3 2x2 x 3 1 65 cos(n（2017 上海）11.求满足2n cos 20 cos 40 cos2n 10 1的所有正整数n.（2016 天津）1.函数 f(x)|sin 2x cos 2x

10、|的最小正周期为 .2（2016 天津）9.已知ABC 的周长为 20，内切圆的半径为，BC 7,则tan A 的值为 3 .（2016 河北）3.若函数 f(x)cos 2x a cos x 在区间(,)是减函数，则 a 的取值范围 6 3 为 .sin 3x（2016 河北）9.已知 f(sin x).sin2 x（I）求 f(x)的解析式及定义域.（II）方程 f(x)m 有两个不等实根，求m 的取值范围.（2016 山西）6.若函数 y 3sin x 4 cos x 在 x0 处取得最大值，则tan x0 的值为 .（2016 辽宁）2.若ABC 的内角为 A,B,C，所对边为 a,b

11、,c，若 a,b,c 成等比数列，则 sin A cot C cos A sin B cot C cos B 的取值范围为 .（2016 吉林）3设 x (3,)且cos x 3，则cos 2x 的值是 4 4 4 5 （A）7 25 （B）24 25 （C）24 25 （D）7 25（2016 吉林）在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，b 1，且 cos C (2a c)cos B 0.（）求 B；（）求ABC 的面积的最大值 （2016 山东）3.若实数 x 满足arcsin x arccos x,则关系式 f(x)2 的取值范围为 .（2016 山东）8.arcsi

12、n arcsin arcsin arcsin .（2016 山东）12.求证不等式：sin 1 sin 2 3 1 n n n n N*).（2016 福建）1若函数 f(x)3cos(x )sin(x )（0）的最小正周 6 3 x2 x 1 10 1 26 1 50 y 3 期为，则 f(x)在区间0 ，上的最大值为 。2（2016 江西）4、已知 P 是正方形 ABCD 内切圆上的一点，记APC ,BPD ，则tan2 tan2 （2016 江西）6、设 x 为锐角，则函数 y sin x sin 2x 的最大值是 （2016 湖北高一）4.求值：cos cos 3 cos 5 cos

13、7.9 9 9 9（2016 湖北高一）6.如果存在实数a，使得关于 x 的不等式 a cos x b cos 2x 1 无实数解，则实数b 的最大值为 .（2016 四川）8.若实数,构成以 2 为公比的等比数列，sin,sin ,sin 构成等比数 列，则cos.x sin y cos （2016 陕西）13.设 x,y 均为非零实数，且满足 5 5 x cos y sin 5 5 9 tan.20 y（I）求 x 的值；（II）在ABC 中，若tan C ，求sin 2 A 2 cos B 的最大值.x（2016 甘肃）3.已知函数 f(x)sin x cos x(0)(x R).若函数

14、 f(x)在区间 (,)上单调递增，且函数 y f(x)的图像关于直线 x 对称.则.（2016 甘肃）11.在非等腰 ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足 (2c b)cos C (2b c)cos B.（1）求A 的大小；（2）若a 4，求ABC 面积的取值范围.（2016 黑龙江）3.设函数 f(x)M sin(x )(M 0,0,2 2 )的图像关于直 2 线 x 对称，其周期为，则下列说法中正确的序号为（）3 1 2 f(x)的图像过点(0,)；f(x)在区间,内为减函数；f(x)的一个对称中心 2 12 3 5 为(,0)；f(x)的最大值为M.12（2016

15、黑 龙 江）13.在 ABC 中，A,B,C 所 对 边 依 次 为 a,b,c.设 f(x)m n,m (2 cos x,1),n (cos x,3 sin 2x)，f(A)2,b 1,S ABC 2，则 3 4 3 3 b c sin B sin C .ABC（2016 黑龙江）20.如图，在ABC 中，sin 且 AD 2DC，BD .求 （1）BC 的长；（2）DBC 的面积.，AB 2,点 D 在线段 AC 上，2 3 1 1 35 （2016 江苏）11、已知 sin cos 12,0,2 ,求 tan。（2016 贵 州）9 不 等 式 sin 2 x sin 2 x cos 2

16、 x cos 2 x 的 解 集 是 （2016 安徽）1.设sin x cos x 1，则sin3 x cos3 x 2（2016 浙江）2.函数 f(x)4sin3 x sin x 2(sin x.x 2 的最小正周期为（）A.2 B.2 cos)2 2 2 C.3 sin x m sin3 y D.（2016 浙江）14.若关于 x,y 的方程cos x m cos3 y 有实数解，则正实数m 的取值范围为 .1（2016 湖南）11.方程16 sin x cos x 16x 的解的集合为 .x（2016 新疆）6.函数 f(x)cos 2x 2|sin x|的最大值为 .（2016 新

17、 疆）8.设 ABC 的 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c，且 满 足 a cos B b cos A 4 c，则 tan A .5 tan B 3 2 .1 （2016 广东）7.已知锐角,满足条件 sin4 cos2 cos4 1，则 sin （2015 河北）3.若tan 3 tan (0 ),则 的最大值是 2（2015 河 北）在 ABC 中,内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 是 a,b,c,向 量 p (sin A sin C,sin B),向量q (a c,b a),且满足 p q.()求ABC 的内角C;()若c 2,2 sin 2 A sin(2B C

18、)sin C,求ABC 的面积.（2015 山西）2.若sin cos ,则|sin cos|5（2015 辽宁）2.已知ABC 的三边a,b,c 成等比数列,边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C 且 sin Asin B sin B sin C cos 2B 1,则角 B 为 A.B.4 3 2 C.D.2 3（2015 吉林）9已知函数 f(x)sin(x )sin(x )(0)的最小正周期为，则 f x2 4 在区间0,2 上的值域为 （2015 吉林）13在 ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是a，b，c，已知c 2，C 3（）求 ABC 的周长的最大值；（）若2sin

19、2 A sin(2B C)sin C，求 ABC 的面积 （2015 山东）3.设函数 f(x)(x 1)2 sin x x2 1 的最大值为M,最小值为m,则M m sin A sin B sin C（2015 山东）9.在ABC 中,角 A,B,C 满足 A B C,且 B cos A cos B cos C ,则（2015 山东）对任意实数 x 和正整数n,比较n sin2 x 和sin x sin nx 的大小.（20165 福建）5.已知函数 f(x)x2 cos x 2,数列an 满足:an f(n)f(n 1)(n N *),则数列an 的前 100 项之和S100 （2015

20、福建）10.若sin sin 2 sin n 1 tan 4 ,则正整数n 的最小值为 9 9 9 2 9 3 （2015 江西）4.1 sin10 cos10sin x（2015 河南）7.设函数 f(x)(x(0,1),则 g(x)x2 sin x f(x)f(1 x)的最小值为 （2015 河南高一）（必修 4）已知函数 f(x)在区间(0,)上是减函数，若0 x 1，sin x 2 sin x x 2 sin x2 a ()，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是 x x x2（2015 湖北高二）6已知点 P 在 Rt ABC 所在平面内，BAC 90，CAP 为锐角，|AP|2，

21、AP AC 2，AP AB 1 当|AB AC AP|取得最小值时，tan CAP 7 2 18（2015 湖 北 高 二）11 设 平 面 点 集 A (x,y)|(y x)(y 25x)0，B (x,y)|(x 1)2 (y 1)2 1若(x,y)A B，求 2x y 的最小值（2015 湖北高一）5 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c 若 a c a sin C，则sin A C 2 sinB 的值为 2 1 （2015 湖北高一）8 8sin 2 10 1 sin 10的值为 6 （2015 湖北高一）12已知正实数a,b,c 满足a 2 b2 c 2，求(1 c)(1

22、 c)的最小 a b 值（2015 四川）2、在ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 a cos A b 2 cos B c 3cos C，则A 的大小为【】A、B、C、D、5 6 4 3 12（2015 四川）10、设 x sin x cos1 0,2 cos y 2 y 4 0，则sin(2x y)的 值是.（2015 四川）14、已知 f(x)sin 4 x.（1）记 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在 2 6 ,3 上的最大值和最小值；8 2 （2）求 f()f(2)f(3)f(88)f(89)的值.180 180 180 180 180（2015 四川）

23、16、已知 a 为实常数，函数 f(x)ex sin x ax,x 0,2 .（1）记 f(x)的导函数为 g(x)，求 g(x)在0,2 上的单调区间；（2）若 f(x)在(0,2)的极大值和极小值恰好各有一个，求实数 a 的取值范围.（2015 陕西）3.已知sin 3 sin 1,cos A B 3 cos C 3,则cos()（2015 陕西）7.在ABC 中,tan tan 2 2 1,则tan 的最小值是 2（2015 陕西）12(本小题满分 15 分)（2015 甘 肃）设 ABC 的 三 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 满 足 sin A sin

24、 B (cos A cos B)sin C()求证:ABC 为直角三角形;()若a b c 1,求ABC 面积的最大值.（2015 甘肃）1已知ABC 的外接圆半径为 R，且2R(sin2 A sin2 C)(2a b)sin B（其 中 a、b 分别是A、B 的对边）.那么C 的大小为 .（2015 黑 龙 江）12.设 等 差 数 列 an 满 sin2 a cos2 a cos2 a cos2 a sin2 a sin2 a 足:3 3 3 6 3 6 1,公差 d (1,0),若当且仅当 sin(a4 a5)n 9 时数列an 的前n 项和Sn 取得最大值,则首项a1 的取值范围是 7

25、 4 4 3 7 4 4 3 A.(,)6 3 B.(,)3 2 C.,6 3 3 3 1 D.,3 2（2015 黑龙江）15.若 x,y 则cos(x 2 y)的值为 ,a R 且 x 4 4 sin x 2a 0,4 y sin 2 y a 0,2 （2015 黑龙江）19(本小题满分 12 分)已知向量 m (3 sin x,cos x),n (cos x,cos x)(0),函数 f(x)m n 的最小 正周期为.2()求 的值;()设ABC 的三边 a,b,c 满足:b2 ac 且边b 所对的角为 x,若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.（20

26、15 安徽）5.已知a R,(a cos x)(a sin x)1 有实根，那么a 的范围是 。（2015 浙江）12.若16sin2 x 16cos2 x 10,则cos 4x （2015 新疆）7.函数 y 3 sin x 2 cos x 的最大值是 （2015 全国）2若实数 满足cos tan，则 1 cos4 的值为 sin （2015 全国）7 设 为正实数，若存在实数a,b(a b 2)，使得sin a sin b 2，则 的取值范围为 2 2 67（2014 天津）2设 x sin 第一位数字是 sin()sin(3 3)，当 时，x 的小数点后 2014 2x sin y 2

27、014 （2014 河 北）4.实 数 x 2 y.x,y 满 足 1 2x 2014 cos y 2013(0 y 2)，则（2014 山西）4.设sin cos ，则sin 3 cos 3.3（2014 辽宁）4 ABC 的三个内角为 A，B，C，若 sin 2B 2 cos C 的最大值为（）tan 7，则 12 A 1 B1 C 3 2 2 D 2(2014 吉林 2)在ABC 中，A 120,AB 5,BC 7,则sin B .sin C(2014 吉林 12)函数 f(x)2(2 cos x 1)sin2 x cos 3x(x R)，求函数 f(x)的最大值.2.（2014 年山东

28、 2）函数 f(x)sin x 1 cos2 x(x R)的值域为 .2 3 （2014 福建）2函数 f(x)3 sin x sin x cos x （x ，）的值域 2 为 。（2014 江西）2已知sin cos 12 2 2，则sin4 cos4 2 sin A 3 cos A cos A 3 sin A 3 3 3 （2014 年河南高二 2）1 sin6 cos6 1 sin4 cos4 .2.(2014 湖北高二 2)函数 y sin2 x sin x cos x 2 cos2 x 的值域为 .(2014 湖北高一)10、已知 0 ，且tan 3tan ，则 u 的最大值为 2.

29、（2014 湖北高一）13、已知函数 f x sin x cos x sin 2x 1.（）求函数 f x 的最值；（）如果函数 f x 在0,M 上恰有 2014 个零点，求M 的取值范围.（2014 年四川 14）14 已知对一切 x R 恒有3sin2 x cos2 x 4a cos x a2 31.求实数a 的取值范围.4.(2014 年陕西 4)已知 sin,cos 的等差中项为 sin，等比中项为 sin ，则 cos 2 1 cos 2.2(2014 年陕西 11)点 A 是两条平行直线l1,l2 之间的一个定点，且点 A 到直线l1,l2 的距离分别 为 AM 1,AN .设

30、ABC 的另两个顶点 C、B 分别在 l1,l2 上运动，且满足 AB AC,AB cos B AC.cos C 1（I）判断ABC 的形状，并证明;(II)求 的最大值.|AB|AC|（2014 甘 肃）12.在 ABC 中，设 A,B,C 的 对 边 依 次 为 a,b,c 满 足 tan A tan B tan A tan B .（1）求C 的大小；（2）若c 2，且ABC 为锐角三角形，求a2 b2 的取值范围.（2014 黑 龙 江）4.在 ABC 中，已知 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 1 tan A 2c，则A 的大小等于.tan B b（2014 黑 龙 江）17

31、.在 ABC 中，设 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c，满 足 a cos C (2b c)cos A.3 3 5 3 2 2 （1）求A 的大小；（2）若a ，D 为边 BC 的中点，求 AD 的取值范围.（2014 江苏）6设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等 5 5 于 4（2014 贵 州）1 在 ABC tan B 中，已 知 AB AC 2 AB CB，若 cos A ，则 5 （2014 贵州）6已知 x(0,)，则函数 y 2 sin 2 3 x cos4 x 的最小值是 （2014安徽）2.函数 y tan(2013x)tan(2014x)tan(

32、2015x)在0,中的零点个数是 （2014 浙江）10.已知函数 f(x)cos(a sin x)sin(b cos x)无零点，则a2 b2 取值范围为 （）2 2 A.0,)4 B.0,)2 C.0,)4 D.0,)2 （2014 浙 江）16.设 f(x)是 定 义 在 R 上 的 函 数，满 足|f(x)cos2 x|3,|f(x)sin2 x|1,则函数 f(x)4（2014 湖南）8.已知0 x 为正整数），则a b c 4 ,sin x cos x 2 4.,若tan x 1 可表示为 tan x a b c （a,b,c 10、（2014 全国）数列an 满足 a1 6,an1 arctan(sec an)(n N)求正整数m，使得 sin a sin a.sin a 1 1 2 m 100 （2014 广东）6已知 为锐角，向量a cos,sin ,b 1,1满足 a b ，则 3 sin 5 12（2014 广西）1.已知 为锐角，且有 2 tan 3cos 2 5 0，tan 6 sin 1 0，则sin 的值是 .（2014 内 蒙 古）7 已 知 是 锐 角，则 1 1 11 的 最 小 值 为 sin co s ;