1_数学的魅力.ppt

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1、1.数学的魅力数学的魅力 数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有魅力的学科，数学美的魅力是诱人的，数学美的魅力的学科，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我们教力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我们教师可以让数学课堂变成师生寻找美的源泉，妙用师可以让数学课堂变成师生寻找美的源泉，妙用现代信息技术手段，让学生采撷数学的美，享受现代信息技术手段，让学生采撷

2、数学的美，享受数学的美，创造数学的美，领悟数学的魅力，从数学的美，创造数学的美，领悟数学的魅力，从而培养学生的美感和良好情操，促进学生创新素而培养学生的美感和良好情操，促进学生创新素质的发展。质的发展。新的数学课程标准指出：在数学教学过程中，新的数学课程标准指出：在数学教学过程中，教师要充分利用教学资源，对学生实施美的教育，教师要充分利用教学资源，对学生实施美的教育，培养学生高尚的审美情趣，培养学生善于发现美、培养学生高尚的审美情趣，培养学生善于发现美、鉴赏美、创造美的能力，使学生在学习过程中充鉴赏美、创造美的能力，使学生在学习过程中充分享受美、从而形成美的心灵、美的灵魂。分享受美、从而形成美

3、的心灵、美的灵魂。1 不管是在中小学数学中，还是大学数学中，不管是在中小学数学中，还是大学数学中，数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有魅力的学科，它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任魅力的学科，它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。正如美国数学家克莱因曾何学科都不能相比的。正如美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰音乐能激发或抚慰

4、情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。学却能提供以上一切。”2 这就需要我们教师在课堂教学中，采这就需要我们教师在课堂教学中，采撷数学的美育因素，妙用现代信息技术，撷数学的美育因素，妙用现代信息技术，运用色彩艳丽的插图、创设童话般的学习运用色彩艳丽的插图、创设童话般的学习情境、演示动感十足的数学课件等等这些情境、演示动感十足的数学课件等等这些充满充满“美美”的新鲜事物，紧紧地抓住学生的新鲜事物，紧紧地抓住学生的心灵，给学生展现数学中的美，让学生的

5、心灵，给学生展现数学中的美，让学生感受数学中的美，欣赏数学中的美，从而感受数学中的美，欣赏数学中的美，从而创造出数学的美，领悟数学的魅力。创造出数学的美，领悟数学的魅力。3 二、芝诺悖论二、芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。4 1.四个芝诺悖论之一：四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。52.症结：症结：无限段长度的和

6、，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？6 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所。在芝诺

7、看来，这两种理论都有毛病；所以，以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。不说是巨大的贡献。7 三、三、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 8 2.客客 满满 后后 又又 来来 了了

8、一一 个个 旅旅 游游 团团，旅旅 游游 团团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 9 3.客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 10 4.思思 该旅馆客满后又来了无穷该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？还能否安排？11 四、无限与有限的区别和联系四、无限与有限

9、的区别和联系 1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。部分总是小于全体。12 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体

10、”，又推，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。13伽利略（Galileo Galilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。14 2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立:(a+b)+ca+b)+c=a+(b+ca+(b+c)，a a，b b，c c 15 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如16

11、有限半群若满足消去律则一定是群。有限半群若满足消去律则一定是群。无限半群若满足消去律则一定是群。无限半群若满足消去律则一定是群。17 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。18 2.2.联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往间建立联系的手段，往往很重要。往很重要。1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。2）极限

12、）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。如：如：；自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时，。19 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 ,a a1 1=*=*5）因子链条件）因子链条件（抽象代数中的术语）20 3.数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的）2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀

13、合在一起的效果又是光滑的）21 3 3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准积越准 22 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形则图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，的面积：划分，求和，矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯

14、形面积；曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 限限 ，就得到曲，就得到曲边梯形的面积。边梯形的面积。23 五、五、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。种方式，不是一个实体。24 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集正整数集是无限的是无限的”来自

15、我们不能穷举所有正整数。例如，来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，就把该纸条装进一写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。可能的，它只能存在于人们的思维里。25 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。装有所有正整数的袋子看

16、作一个完整的实体。这就是实无限的观点。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。和待遇都不太好。26康托康托Georg Ferdinand Philip Cantor(18451918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E

17、.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。27 2无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一对应一一对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的有不同的“大小大小”。正整数集合是最正整数集合是最“小小”的无限集合。的无限集合。实数集合比正整数集实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函。实数集合上全体连续函数的集合又比实

18、数集合更大。数的集合又比实数集合更大。不存在最不存在最“大大”的无限集合（即对于任何无限集合，的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。28 这需要这需要“一一对应一一对应”的观点。的观点。1 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射）2 2）集合的势）集合的势|A|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3 3）|N|=|N|=可数无穷势可数无穷势 a ，|Q|=|Q|=a 4 4）|R|=|R|=不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势 c c）,：无理数比有理数多得多。：无理数比有理数多得多。29 5 5）无穷集合可能有不同

19、的势，其中最小的）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是势是 a a；不存在最大的势。；不存在最大的势。6 6）“连续统假设连续统假设”长期未彻底解决长期未彻底解决 “连续统假设连续统假设”：可数无穷：可数无穷 a a 是无限集中最小的是无限集中最小的势，连续统势势，连续统势 c c 是（否？）次小的势。是（否？）次小的势。？30 康康 托托1 18 88 82 2年年曾曾认认为为他他证证明明了了这这一一假假 设，后来发现证明有错。设，后来发现证明有错。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。的兴趣。31 六哲学中的无限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无

20、限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无无限限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：现在我们知道哲学中有下边一些命题：32 物质是无限的；时间与空间是无限的；物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。客观世界的认识是有限的。33 2数学对数学对“无限无限”的兴趣的兴趣 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高数学则更严密地研究有限与无限

21、的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学

22、的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。34思考题解答思考题解答35 思思 该旅馆客满后又来了无穷个该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？还能否安排？36 答答 ：能。能。法法I.I.将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入入1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，各号房间顺序入住，则所有人都有各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。房间住。一团：一团：1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 1.2 1.3 1.4 二团：二团：2.1 2.2 2.3

23、 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 三团：三团：3.1 3.2 3.3 3.4 3.1 3.2 3.3 3.4 37 法II.让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又“唯一析因”，知，能安排住下，且还有空房，一团 二团 三团 附：证明“素数有无穷多个”（反证法）38 思思 构造一个无穷多个运动员百米赛跑构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进实际：不能跑进9 9秒）秒）39解答运动员1234百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒另解40 思思：构造一个构造一个“部分到整体的一部分到整体的一一对应一对应”：从：从0 0，1 1）0 0，+）。）。41 答答：即即 42 的图像43象棋残局中的数学文化44本节结束谢谢45