(人)版初中数学讲义第5章二次函数5.4二次函数和一元二次方程(2)17053.pdf

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1、 5.4 二次函数与一元二次方程（2）教学目标 1能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；2经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；3通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力 教学重点 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 教学难点 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 教学过程（教师）学生活动 设计思路 情境创设 回忆：函数322xxy的图 像如图 1 所示，你能看出方程 03

2、22 xx的解吗？创设：函数122xxy的图 像如图 2 所示，你能看出方程 0122 xx的解吗？学生思考并讲解方法 借助上节课的知识，学生较容易回答出“回忆”部分的答案为：x11，x2 3，当遇到“创设”问题时学生较难回答出，只能估计值的围 通 过 回忆，复习二次函数的图像与一元二次方程根 之 间 的 关系，而紧接着的“创设”会让学生陷入沉思，进而激发兴趣，寻求解决的办法 图 1 图 2 探究活动 从图像上来看，二次函数122xxy的图像与x轴交点的横坐标一个在1 与 0 之间，另一个在 2 与 3之间，所以方程0122 xx的两个根一个在1 与 0之间，另一个在 2 与 3 之间这只是大

3、概围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决 如右边表格所示，当我们算到0.5 时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在0.4 与0.5 之间，那会是多少呢？我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的围了 学生思考并讲解方法，必要时让学生板演并讲解，教师点拨 有关估算问题我们在前面已学习过了，即用试一试的方法进行的既然一个根在1 与 0 之间，那这个根一定是负 4 点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上

4、的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x0.1，0.2，0.9 代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方程的根（或近似根）如：利用计算器进行探索 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y 0.79 0.6 0.31 0.04 0.25 从表格中可以看出，0.4 与0.5 所对的值由负变正，所以可以确定该根应在0.4 与0.5 之间，又从0.04 与 0.25的值来看，0.04 更接近于 0，所以我们判断x0.4 我们可以继续取值来缩小它的围：通过引导学生正确观察图形，计算不同的值代入后越来越接近 0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想，方程

5、根的取值围的进一步缩小，让学生体会方程根的取值的进一步精确性 通过取另 比如：再进一步取值：则x0.4 以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值围 你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！x 0.41 0.42 y 0.0119 0.0164 当我们算到0.42 时，也没有必要继续算下去了，因为它的值已经由负变正了，所以可以确定这个根一定在0.41 与0.42 之间，即0.41x0.42，又从0.0119 与 0.0164的值来看，0.0119 更接近于 0，所以我们判断x0.41 我们还可以继续取值来缩小它的围：x 0.411 0.412 0.413 0.414 0.415 y-0.0

6、09079-0.006256-0.003431-0.000604 0.002225 从0.000604 与 0.002225 的值来看，0.000604 更接近于 0，所以我们判断x0.414 以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值围 我们可以用同样的方法去求方程的另一个根 利用计算器进行探索：一 个 根 的 过程，巩固和强化寻找的过程和方法 另外，用不同的方法（二分法）去寻找根，让学生感受其寻找根的过程和方法的区别和优劣 可由学生独立思考后再小组交流，既留有学生独立 再进一步取值：以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值围 （注：以上二分法的相关容根据情况适当选用）x 2.1 2.2

7、2.3 2.4 2.5 y 0.79 0.56 0.31 0.04 0.25 所以x2.4 我们可以继续取值来缩小它的围：x 2.41 2.42 y 0.0119 0.0164 所以x2.41 我们还可以继续取值来缩小它的围：x 2.411 2.412 2.413 2.414 2.415 y-0.009079-0.006256-0.003431-0.000604 0.002225 所以x2.414 以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值围 思考的时间和空间，且培养了学生小组合作的意识和团队精神 拓展延伸 利用二次函数的图像求一元二次方程x22x103 的近似根 现在我们应该利用什么函数图像

8、求方程x22x103 的根呢？函数yx22x13 的图像如右图所示：由图可知，图像与x轴的两个交点的横坐标中，一个在5 与4 之间，一个在 2 与 3 之间，因此两个根分别为负 4 点几和 2 点几，下面用计算器进行探索 x 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 利用函数yx22x13 的图像求方程x22x103 的近似根也可以利用函数yx22x10 的图像与直线y3 的交点的横坐标求方程x22x103 的解 分别画出函数yx22x10 的图像和直线y3，找它们交点的横坐标即可 由图可知两根分别为x4.7 和x2.7 选用不同的方法，让学生感受不同的处理方法所带来的特点 y 1.75 1.0

9、4 0.31 0.44 1.21 因此x4.7 是方程的一个近似根 另一个根可以类似地求出：x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 1.75 1.04 0.31 0.44 1.21 因此x2.7 是方程的另一个近似根 以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值围 练习巩固（1）利用二次函数522xxy的图像，借助计算器探索方程0522 xx根的近似值（精确到0.01）；（2）补充习题 学生板演并讲解，教师点拨 参考答案：45.31x，45.12x 通 过 练习，帮助学生巩固新知 课堂小结 通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享 如何确定方程根的近似值？学生思考，交流并汇报 小结能将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享 作业布置 1（必做题）课本P28习题第3 题；2（选做题）思考（2014 年改编）已知二次函数yax2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x 0 1 2 3 y 5 0.1 0.2 0.1 （1）当y5 时，x的取值围是 ；（2）方程的两个根（）A1 和 0，0 和 1 之间 B0 和 1，1 和 2 课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题选做题参考答案：（1）0 x4；（2）C 设置分层作业，尊重学生 的 个 体 差异，为不同学生的发展创造不同的条件 之间 C1 和 2，2 和 3 之间 D2 和 3，3 和 4之间