广东省2021届高三数学1月八省联考考前热身押题卷及答案解析3848.pdf

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1、 广东省 2021 届高三数学1 月八省联考考前热身押题卷 一、单选题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1已知集合22(,)1Ax y xy，(,)Bx y yx，则AB中元素的个数为（）A3 B2 C1 D0 2若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）3 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c 已知sinsin(sincos)0BACC，a=2，c=2，则C=A12 B6 C4 D3 4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 A

2、-80 B-40 C40 D80 5新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选化学 6(本题 5 分)函数 2eexxf xx的图像大致为()A B C D 7在ABC中，E为AC上一点，3ACAE，P为BE上任一点，若(0,0)APmABnAC mn，则31mn的最小值是（）A9 B10 C11 D12 8设函数(21)xf xexa

3、xa，其中1a ，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（）A3,12e B33,2e 4 C33,2e 4 D3,12e 二、多选题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9若1ab，0c 则下列不等式中一定成立的是（）A11abab B11baab Cln()0ba D()()ccabba 10已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F且122FF，点 1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A1QFQP的最小值为21

4、a B椭圆C的短轴长可能为 2 C椭圆C的离心率的取值范围为510,2 D若11PFFQ，则椭圆C的长轴长为517 11已知数列 na的前n项和为S，11a，121nnnSSa，数列12nnnaa的前n项和为nT，*nN，则下列选项正确的为（）A数列1na 是等差数列 B数列1na 是等比数列 C数列 na的通项公式为21nna D1nT 12已知定义在0,2上的函数 f x的导函数为 fx，且 00f，()cos()sin0fxxf xx，则下列判断中正确的是()A6624ff Bln03f C363ff D243ff 三、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13(本题

5、5 分)已知向量,a b夹角为45，且1,210aab，则b _ 14(本题 5 分)ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A=45，cos C=513，a=1，则b=_.15(本题 5 分)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数 为_.(用数字作答)16(本题 5 分)如图，扇形AOB的圆心角为 90，半径为 1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP OQ的取值范围为_ 四、解答题本题共 6

6、小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题 10 分)ABC的内角、ABC的对边分别为abc、,已知ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1,3,BCa求ABC的周长.18(本题 12 分)设数列 na满足123(21)2naanan.（1）求 na的通项公式；（2）求数列21nan 的前n项和 19(本题12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有

7、5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000（1000,2000 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能

8、否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 20(本题 12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且1ADPD，平面 PCD平面 ABCD，PDC120，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个动点 （）求证：平面DEF 平面 PBC；（）设二面角CDEF的平面角为，试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F，使得tan2 3，若存在，求出|AFFB的值；若不存在，请说明理由 21(本题 12 分)已知点A(0，2)，椭圆E：22221xyab(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2

9、 33，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.22(本题 12 分)已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围 参考答案 1B 集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线yx上所有的点组成的集合，又圆221xy与直线yx相交于两点22,22，22,22，则AB中有 2 个元素.故选 B.2B 设 1 ii11izaaa，因为复数对应的点在第

10、二象限，所以1010aa，解得：1a ，故选B.3B 解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinC cosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，cosAsinC+sinAsinC=0，sinC 0，cosA=sinA，tanA=1，2A，A=34，由正弦定理可得csinsinaCA，a=2，c=2，sinC=sincAa=2212=22，ac，C=6，4C 555222xyxyxxyyxy，由52xy展开式的通项公式 515C2rrrrTxy可得：当3r 时，52xxy展开式中33x y的系数为

11、3325C2140 ；当2r时，52yxy展开式中33x y的系数为 2235C2180，则33x y的系数为804040.5D 根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学；又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B 不正确，D 正确 假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，

12、这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此 C 不正确 6B 解：20,()()()xxeexfxf xf xx 为奇函数，舍去 A,1(1)0fee 舍去 D;243()()2(2)(2)()2,()0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxx，7D 由题意可知：3APmABnACmABnAE，,P B E三点共线，则：31mn，据此有：313199366212nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当11,26mn时等号成立.综上可得：31mn的最小值是 12.8D 设 21xg xex，1ya x，由题意知，函数 yg x在直线yaxa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

13、21xgxex，当12x 时，0gx；当12x 时，0gx.所以，函数 yg x的最小值为12122ge.又 01g，10ge.直线yaxa恒过定点1,0且斜率为a，故 01ag 且 31gaae ，解得312ae，故选 D.9BD 由函数1yxx在(,1)上为增函数可知，当1ab 时，11abab，故选项A错误；由函数1yxx在(,1)上为增函数可知，当1ab 时，11abab，即11baab，故选项B正确；由于ab，则0ba，但不确定ba与 1 的大小关系，故ln()ba与 0 的大小关系不确定，故选项C错误；由1ab 可知，1ab，01ba，而0c，则10ccabba，故选项D正确 10

14、ACD A.因为122FF，所以221,0,1FPF，所以1222221QFQPaQFQPaPFa，当2,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C的短轴长为 2，则1,2ba，所以椭圆方程为22121xy，11121，则点P在椭圆外，故错误；C.因为点 1,1P在椭圆内部，所以111ab，又1ab，所以1ba，所以1111aa，即2310aa，解得2153562 5244a，所以152a，所以1512ea，所以椭圆C的离心率的取值范围为510,2，故正确；D.若11PFFQ，则1F为线段PQ的中点，所以3,1Q，所以911ab，又1ab，即21190aa，解得25171185222

15、 85244a，所以5172a，所以椭圆C的长轴长为517，11BCD 解：由121nnnSSa即为1121nnnnaSSa，可化为112(1)nnaa，由111Sa，可得数列1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则12nna ，即21nna，又1112211(21)(21)2121nnnnnnnna a，可得22311111111111212121212121nnnnT ，12CD 令()()cosf xg xx，0,2x，则2()cos()sin()cosfxxf xxg xx，因为()cos()sin0fxxf xx，所以2()cos()sin()0cosfxxf xxg xx在

16、0,2上恒成立，因此函数()()cosf xg xx在0,2上单调递减，因此64gg，即64coscos64ff，即6624ff，故 A 错；又 00f，所以(0)(0)0cos0fg，所以()()0cosf xg xx在0,2上恒成立，因为ln0,32，所以ln03f，故 B 错；又63gg，所以63coscos63ff，即363ff，故 C 正确；又43gg，所以43coscos43ff，即243ff，故 D 正确；133 2：的夹角，.142113 因为45cos,cos513AC，且,A C为三角形的内角，所以312sin,sin513AC，63sinsin()sin()sincosc

17、ossin65BACACACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.155040.分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为3214564265144036005040NA AC C A。填 5040.16211，.详解:以点O 为坐标原点,以 OA所在直线作x 轴，以OB所在直线作y 轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设 P(,sin)cos(0)2，00(,)Q xy，所以 PQ的中点00cossin(,)22xy，由题得000000sin1cos,1 sin1 coscossin1022PQykxx

18、yxy 所以OP OQ=cos(1sin)sin(1cos)sincos2sincos设sincos2sin(),1,24tt，所以21sincos2t，所以OP OQ=21 tt，1,2t所以当t=1时函数取最大值 1，当t=2时函数取最小值21.17(1)2sinsin3BC(2)333.（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsin sin23sinACBA.故2sin sin3BC.（2）由题设及（1）得1cos cossin sin,2BCBC，即1cos2BC.所以23BC，故3A.由题设得21sin23sinabcAA，即8

19、bc.由余弦定理得229bcbc，即239bcbc，得33bc.故ABC的周长为333.18(1)221nan；(2)221nn.（1）数列 na满足123212=naanan 2n 时,12132321naanan 212nna 221nan 当1n 时,12a,上式也成立 221nan（2）21121(21)(21)2121nannnnn 数列21nan的前n项和 1111113352121nn 1212121nnn 19()由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540 人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率4021005p.()由题意可知，仅使用A支付方法的学

20、生中，金额不大于 1000 的人数占35，金额大于 1000 的人数占25，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占25，金额大于 1000 的人数占35，且X可能的取值为 0,1,2.32605525p X，22321315525p X，32625525p X，X的分布列为：X 0 1 2 p X 625 1325 625 其数学期望：61360121252525E X .()我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率学校是一个相对消费稳定

21、的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.20 解：（）四边形ABCD是正方形，BCDC.平面PCD 平面,ABCD平面PCD平面ABCDCD，BC 平面PCD.DE 平面PDC，BCDE.ADPDDC，点E为线段PC的中点，PCDE.又PCCBC，DE 平面PBC.又DE 平面DEF，平面DEF 平面PBC.（）由（）知BC 平面PCD，/ADBC，AD 平面PCD.在平面PCD内过D作DGDC交PC于点G，ADDG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系

22、Dxyz.因为1ADPD，120PCD，3PC.AD 平面PCD，则0,0,0D，0,1,0C，130,22P 又E为PC的中点，130,44E，假设在线段AB上存在这样的点F，使得tan2 3,设1,0(0)Fmm，130,44DE，1,0DFm，设平面DEF的法向量为1,nx y z，则110,0,nDEnDF 013044xmyyz，令3y，则1,3zxm ，则13,3,1nm AD 平面PCD，平面PCD的一个法向量21,0,0n,tan2 3,则13cos13 122313coscos,1333 1mn nm.0m，解得13m，12AFFB 21（1）2214xy（2）722yx （

23、1）设,0F c，因为直线AF的斜率为2 33，0,2A 所以22 33c，3c.又2223,2cbaca 解得2,1ab，所以椭圆E的方程为2214xy.（2）解：设1122,P x yQ x y 由题意可设直线l的方程为：2ykx，联立22142,xyykx，消去y得221416120kxkx，当216 430k，所以234k，即32k 或32k 时 1212221612,1414kxxx xkk.所以22121214PQkxxx x 2222164811414kkkk 2224 14314kkk 点O到直线l的距离221dk 所以2214 43214OPQkSd PQk，设2430kt，

24、则2243kt，24441442 4OPQtSttt，当且仅当2t，即2432k，解得72k 时取等号，满足234k 所以OPQ的面积最大时直线l的方程为：722yx或722yx.22（1）2coscossin1cossin1fxxxxxxxx 令 cossin1g xxxx，则 sinsincoscosgxxxxxxx 当0,x时，令 0g x，解得：2x 当0,2x时，0gx；当,2x时，0gx g x在0,2上单调递增；在,2上单调递减 又 01 10g ，1022g，1 12g 即当0,2x时，0g x，此时 g x无零点，即 fx无零点 02gg 0,2x，使得 00g x 又 g

25、x在,2上单调递减 0 xx为 g x，即 fx在,2上的唯一零点 综上所述：fx在区间0,存在唯一零点 （2）若0,x时，f xax，即 0f xax恒成立 令 2sincos1h xf xaxxxxax 则 cossin1h xxxxa，coshxxxgx 由（1）可知，h x在0,2上单调递增；在,2上单调递减 且 0ha，222ha，2ha min2h xha ，max222hxha 当2a时，min20h xha ，即 0h x在0,上恒成立 h x在0,上单调递增 00h xh，即 0f xax，此时 f xax恒成立 当20a 时，00h，02h，0h 1,2x，使得 10h x h x在10,x上单调递增，在1,x上单调递减 又 00h，2sincos10haa 0h x在0,上恒成立，即 f xax恒成立 当202a时，00h，2022ha 20,2x，使得 20h x h x在20,x上单调递减，在2,2x上单调递增 20,xx 时，00h xh，可知 f xax不恒成立 当22a时，max2022hxha h x在0,2上单调递减 00h xh，可知 f xax不恒成立综上所述：,0a