2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析.docx

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1、2020考研（数学二）真题及解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1. 当 x 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是（）A. x (et2 -1)dtB. x ln(1+ t3 )dtC. sin x sin t 2 dtD. 1-cos xsin3 tdt0000()解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。用求导定阶法来判断。在 x 0+ 时，()x (et2 -1)dt= ex2 -1x2 ；0(x ln(1+ t3 )dt3=

2、ln(1+x3 )x 2 ；0( sin x sin t 2dt 01-cos x) = sin (sin x)2 cos xx2 ；x (x22)324x3 x 。)sin3 tdt0=sin3 (1- cos x) sin x2. 函数 f (x) = 1+ex-1 ln(1 x)(ex -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C. 3D.4解析：本题选 C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。间断点有 x = -1,0,1,2 ，由于limf (x) = lim1ex-1 ln(1+ x) = ；x-1+x-1+ (ex -1)(x - 2)1lim f (x)

3、= limex-1 ln(1+ x)= - 1 ；x0x0 (ex -1)(x - 2)2e1lim f (x) = limex-1 ln(1+ x) = ；x1+x1+ (ex -1)(x - 2) 1lim f (x) = limex-1 ln(1+ x) = x2x2 (ex -1)(x - 2)3. 1 arcsinxdx = ()0x(1- x)p 2p 2ppA. 4B. 8C. 4D. 8p 2解析：本题选A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。21 arcsinxdx arcsin= x =t pt2sin t cos tdt = t 2 |p /2 =.0x(1

4、- x)0 sin t cos t044.已知 f (x) = x2 ln(1- x), 当 n 3 时， f (n)(0) = ()A. - n!n!(n - 2)!B. C. -(n - 2)!D.n - 2n - 2nn11解析：选 A。本题考查了函数在 0 处的高阶导数的计算。有泰勒公式求解：f (x) = x2 ln(1- x) = x2 (-x -x2 -xn-2 ) + o(xn )2n - 2f (n) (0)1n!= -, f (n) (0) = -。n!n - 2n - 2xy, xy 0,5.关于 f (x, y) = x, y = 0,给出下列结论： y, x = 0,

5、f（1） x(0,0)= 1（2）= 1（3）limf (x, y) = 02 fxy(x, y )(0,0 )(0,0)（4） limlim f (x, y) = 0y0 x0其中正确的个数为（）A.4B. 3C. 2D. 1解析：本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法，二元函数极限与累次极限等计算。需要用到偏导数的定义式等。ff (x,0) - f (0,0)x - 0(1)= lim= lim=1x(0,0)x0xxy, xy 0,x0x(2)因为f (x, y) = x, y = 0,当xy 0f = y，2 f y, x = 0,f (0, y) - f(0,0)时，xy -

6、1此时xy 2 f x y故(0,0 )= lim xxy0y不存在.= lim= y0y(0,0)xy, xy 0,(3) 因 为f (x, y) = x, y = 0, y, x = 0,所 以 当xy 0 时 ，limf (x, y) =( x, y )(0,0)limxy = 0 ， 当( x, y )(0,0)y = 0 时 ，limf (x, y) =limx = 0 ，当 x = 0 时，( x, y )(0,0)( x, y )(0,0)limf (x, y) =limy = 0 ，所以点(x, y) 沿着任意方向趋近于(0,0) 时，极限均为 0,故limf (x, y) =

7、 0 .( x, y )(0,0)( x, y )(0,0)xy, xy 0,(x, y )(0,0 )(4)因为 f (x, y) = x, y = 0,，所以当 xy 0 时，当 y = 0 时， y, x = 0,limlim xy = lim0 = 0limlim x = lim0 = 0y0 x0y0y0 x0y0当 x = 0 时， limlim y = lim y = 0 ,综上limlim f (x, y) = 0 .y0 x0y0y0 x0选 B。6.设 f (x) 在-2, 2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）f (-2)f (0)f (1)f (2)A. 1

8、B. eC. e2D. f (x) 0 ，可知 f (x) - f (x) 0 ，可以构造辅助函数： F (x) =f (x)，ex由导数符号可知函数 F(x)在(-2, 2)单调递增。由F (0) F (-1)容易推得选B。7.四阶矩阵 A 不可逆， A 0 ， a ,a ,a ,a为矩阵A 的列向量组，则 A* X = 0 的通解为（）121234A. x = k a+ k a+ k aB. x = k a+ k a+ k a1 12 23 31 12 23 4B. x = k a+ k a+ k aD. x = k a+ k a+ k a1 12 33 41 22 33 4解析：本题选C

9、。考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。n, r( A) = n1,由于 A 0 ，故 r( A*) 1 ，再由 伴随矩阵秩的公式 r( A*) = r( A) = n -1 ，可知 r( A*) = 1, r( A) = 3 。120,r( A) 0)的斜渐近线。x1+ x【解析】：斜率k = lim y = lim(1+ x)x= lim1= 1x+ xx+xx+ 1+ 1 xexx1+ x1 11 b = lim (y - kx)= lim -x = lim x - x+x+ (1+ x)xe x+1+ 1 xex1e - (1+ t )11e1ln(1+t )

10、 - e1e1ln(1+t )-1 -1令t =limt = -lim t= -lim ttx t 0+ et (1+ t )1e2 t 0+t1e t 0+t1lim=- t 2lim= -lim= -= - 1ln(1+t )-1t1ln(1+ t) - t121e t 0+te t 0+t 211e t 0+t 22e所以斜渐近线方程为： y =x +e2e16.（本题满分 10 分） ( )x设 f (x)连续, 且lim f x= 1, g(x)= 1 f (xt )dt，求 g(x)且证明 g(x)在 x = 0 处连续.x0【解析】：因为lim f(x)0= 1, 且 f (x)

11、连续，则x0xf (0)= lim f (x)= 0 ， f (0)= lim f(x)= 1,x0x0x令 xt = u ，则 g (x)= 1 f (xt )dt = 1 x f (u )dt0x 0当 x 0 时， g (x)= 1 f (x)- 1 x f (u )duxx2 0因为 g (0)= 1 f (0)dt = 00所以 g (0)= limx0g (x)- g (0) x= limx0 x f (u )dt0x2= limx0f (x)1=2x2 f (x)-1 x f (u )du, x 0则 g (x)= xx2 01 2,x = 0( ) f (x)1 x( ) f

12、(x)x f (u )dulim g x = lim -f u du = lim- lim 0x0x0 xx2 0x0xx0x2f (x)11= 1- lim= 1-=( )x(0 )2x22则lim g x = g 0x0 ( )所以 g x 在 x = 0 处连续( )17.（本题满分 10 分）求 f x = x3 + 8 y3 - xy 的极值。 f (x, y)= 3x2 - y = 0解： x() f x, yy= 24 y2 - x = 0 x = 1=x = 06(0,0) 1 , 1 所以或y01 所以驻点为或6 12 y =12A = f (x, y)= 6xB = f x

13、x (x, y)= -1xy ()C = f ( yyx, y)= 48 y代入 0,0 ，此时 AC - B2 0 且 A 0 , 所以 f = , = -为极小值 6 12 6 12 216+=18.（本题满分 10 分）设 f (x)在(0, +)上有定义，且满足2 f(x) 1 x2 + 2x x2 f 1+ x2 x （I） 求 f (x)；（II） 求曲线 y = f (x), y = 1 , y =3及 y 围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积。22( ) 1 x2 + 2x【解析】（1）：由2 fx + x2 f =1+ x2 x 得 2 f 1 + 1f (x)=1 + 2x

14、1+ x2x2x =2x +1 x x21+ 1x2+ 1 则 2x2 f f(x)= 2x2 + x x 1+ x2 2 - 得： 3 f (x)=3x 1+ x2x1+ x2故 f (x)=, x (0, +)xx2 +1（2）体积： f (x)=V = 2p 12 x =y1- y223 yg(y)dy3= 2p 212y2dy 1- y23y =sin t 2p p sin 2 t cos tdtp cos t6pp 1- cos2t pp 1p = 2p 3 sin 2 tdt = 2p 3dt = p - -sin 2t 3 pp2 36 2p 666 = p p - 1 0 =

15、p 2 62619.（本题满分 10 分）计算二重积分Dx2 + y2 ds ，其中区域Dx由 x = 1, x = 2, y = x 及 x轴围成.【解析】： x2 + y2ds =p dq2cosqprq rdr =4 2 11q r 2 cosq dqx0 1Dcosqr cos0 cos 214cosq4= 3 p1dq2 0 cos3 q4= 3 p sec3 qdq 2 0其中sec3qdq = secqdtanq = secq tanq - tanqd secq= secq tanq - secq tan2 qdq()= secq tanq - secqsec2 q -1 dq=

16、 secq tanq - sec3 qdq + secqdq= secq tanq + ln secq + tanq - sec3 qdq所以 sec3qdq = 1 (secq tanq + ln secq + tanq )+ C2x2 + y23 p3 1 ( )p3 ()则 Dds = 4 sec3 qdq=x2 02 2secq tanq + ln secq + tanq 4 =042 + ln 1+220. (本题满分 11 分)已知 f (x)= x et 2 dt1 x()(x )= (x ) x2（1）证明： $ 1,2 , s.t f2 -e（2）证明： $h (1,2),

17、s.t f (2)= ln 2 h eh2解答： f (x)= x et 2 dt 所以 f (1)= 0 ，且 f (x)= ex2 , 当 x 1 时, f (x) 0( )1( ) ()( )（1）构造 F x = f x - 2 - x ex2 , 则 F x 在 1,2 上连续，且 F (1)= f (1)- e = -e 0,由零点定理知$x (1,2),st F (x )= 0 ,即 f (x )= (2 -x )x 2（2）构造 g(x)= ln x ， x 1,2 则 f (x), g(x)在(1,2)上可导.由柯西中值定理(知)：( )(h)$h (1,2)s, t f2

18、- f 1 = ff (2)eh2g(2)- g(1)g(h)( )即=ln 21 ，所以 fh2 = ln 2 h eh221.（本(题)满分 11 分）( )()( )( )已知 fx 可导, 且 f x 0 x 0. 曲线 y = fx 过原点, 点 M 为曲线 y = fx 上任意一点, 过点 M 的切线与 x 轴相交于点T , 过点 M 做 MP 垂直于 x 轴于点 P , 且曲线 y = f (x)与直线 MP 以及 x 轴所围成图形的面积与三角形 MTP 的(面积(比)恒) 为3 : 2 , 求曲线满足的方程.【解析】：设Ma, f a所以切线方程： y - f (a)= f (

19、a)(x - a)f (a)当 y = 0, x = a -且f (a)1( ) f (a)S MTP = fD2a a - a -f (a)1 f 2 (a)= 2 f (a) a f (x)dx3由题意得：01 f 2(a) = 22 f (a)3 f 2 (x)整理得： a f (x)dx =04 f (a)3 f 2 (x)换成熟悉的公式： x f (t )dt =04 f (x) （1）且 f (0)= 0对（1）两边同时求导整理后得：3 f (x) f (x)= f (x)2，所以 f (0)= 02令 f (x) = y, f (x) = p ， f (x) = dp dy =

20、p dpdy dxdy整理，得3dp=pyp22dy分离变量得， 3 dp = dy2pyp 2 = C y31所以 y = C y 322 - 2= C dx再分离变量，得 y3 dy21所以3y 3 = C x + C23 C x + C 3则 y = 2 33 又 f (0) = 0, f (0) = 0所以C = 03则 y = Cx3 ， C 为任意常数。22.（本题满分 11 分）二 次 型f (x , x , x)= x2 + x2 + x2 + 2ax x+ 2ax x+ 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 x = Py 变 换 为()1231231 21 32 3g y ,

21、 y , y= y2 + y2 + 4 y2 + 2 y y1231231 2（I） 求a 的值；（II） 求可逆矩阵 P . 1aa 【解析】：（I） f (x , x , x )的二次型矩阵 A = a1a 123 110 aa1 g (y , y , y123)的二次型矩阵B = 110 004 显然r(B) = 2 ，经可逆线性变换 x = Py ，则 r( A) = r(B)=21aa1aa1aaA = a1a = (1+ 2a)11a = (1+ 2a) 0 1- a0= (1+ 2a )(1- a )2 =0aa1a = 1或a = - 121a1001- a当 a = 1时,

22、r( A) = 1，舍去。故 a = - 1 。2（II） f (x , x , x)= x2 + x2 + x2 - x x- x x- x x1231231 21 32 31123= x -x -x +(x - x )2 12 22 3 4233z = x - 1 x - 1 xx = z + 1 z + z 112 22 3 11233令 z =3 (x - x )，得 x =2 z + z 2223 223 z =x x =z 33 33 1113 x z 1 2 1 322即 x = 01 z x z 3 001 3g (y , y , y )= y2 + y2 + 4 y2 + 2

23、 y y= (y + y)2 + 4 y212312z = y + y31 2123 112令 z =y 22 z =2 y33 z 110 y 1 1 得 z2 = 010 y2 z 002 y 33 1113 x 110 y 1 2 1 32所以 x = 01 010 y2 x 002 y 33 001 11+ 12 3 x y 1 2 1 32即 x = 02 y2 x y 33 002 32 1 1+ 132所求可逆矩阵P = 02 002 23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = (, A) ， 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I） 证明矩阵 P 可逆；（II

24、） 若 A2 + A - 6 = 0 ，求 P -1 AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。【解析】（I）设k + k12A = 0 若k2= 0 ，则由 0 知k1= 0 ； 若k2 0 ，则 A = - k1k2k ，所以 是 A 的属于特征值- k12的特征向量，与已知条件产生矛盾。所以， k = k12= 0 ，向量组, A 线性无关，故矩阵 P 可逆。（II）因为 A2 = 6 - A ，所以， 06 ( A, A2) = ( A,6 - A) = (, A) 1-1 ，记 B = 06 ，因此，1-1 1- 1A(, A) = (, A) 06 ， 06 即 AP = PB ，由 P 可逆知 A, B 相似且 P -1 AP = B = 1-1 。由 lE - B = l-6-1l +1= (l - 2)(l + 3) = 0 知，矩阵 A, B 的特征值均为l1= 2,l2= -3 ， 0-3因为特征值互不相同，故矩阵 A 相似于对角矩阵 20 。