二次函数与相似问题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（解析版）【江苏专用】.docx

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1、2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题3 二次函数与相似问题【真题再现】1（2021江苏镇江中考真题）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(6，0)，点B(0，2)，点C(4，8)，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，

2、不写作法，保留作图痕迹）连接MP，NP，在下列选项中：A折痕与AB垂直，B折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.，D.，所有正确选项的序号是点Q在二次函数yax2+bx+c（a0）的图象上，当PDQPMN时，求点Q的坐标【答案】（1）y，D(4，)；（2）见解析；A，D；(2，)或(10，)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据要求作出图形即可如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MHCD，过点Q作QJCD于J，QTMH于T想办法证明PMN是等腰直角三角形，可得结论设P（4，m）由PDQPMN，PMN是等腰直角三角形，推出PDQ是等腰

3、直角三角形，推出DPQ90，DPPQm+，推出Q（+m，m），构建方程求出m即可【详解】解（1）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A(6，0)，点B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点C(4，8)，解之得：，y，当x4时，y，D(4，)（2）如图1中，点N，直线l即为所求如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MHCD，过点Q作QJCD于J，QTMH于T由题意A（6，0），B（0，2），C（4，8），直线AC的解析式为y4x+24，直线AB的解析式为yx+2，直线BC的解析式为yx+2，MNAB，可以假设直线MN的解析式为yx+t，由，解得，M（，）

4、，由解得，N（，），Q（，），QJCD，QTMH，QJ+4，QT，QJQT，PJQMTQ90，QPJQMT，QJQT，PJQMTQ（AAS），PQMQ，PQM90，PMNMPQ45，PMPN，PMNPNM45，MPN90，PMN是等腰直角三角形，故选项D正确，B，C错误，将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，折痕与AB垂直，故选项A正确，故答案为：A，D设P（4，m）PDQPMN，PMN是等腰直角三角形，PDQ是等腰直角三角形，DPQ90，DPPQm+，Q（4+m+，m），即Q（+m，m），把Q的坐标代入，得到，整理得，9m242m320，解得m或（舍弃），Q（2

5、，），根据对称性可知Q（10，）也满足条件，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，)或(10，)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明PMN是等腰直角三角形是本题的突破点2（2021江苏无锡中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求

6、线段的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【解析】【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；（2）先推出MBF=FBM=CFE=45，可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，根据比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，从而得CN=EF=，进而即可得到答案【详解】解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，B(3，0)，C(0，3)，二次函数的图象过B、C两点，解得：，二次函

7、数解析式为：；（2）B(3，0)，C(0，3)，ly轴，OB=OC，MBF=FBM=CFE=45，以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，EF=-(-m+3)= ，CF=，或，或（舍去）或或（舍去），EF=或；（3）ly轴，点N是y轴上的点，EFC=NCG，点N、F关于直线对称，CNE=EFC，CNE=NCG，NEFC，四边形NCFE是平行四边形，点N、F关于直线对称，NCE=FCE，ly轴，NCE=FEC，FCE=FEC，FE=FC，=，解得：或（舍去），CN=EF=，ON=+3=，N(0，)【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握

8、函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键3（2020年连云港中考第26题）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”如图，抛物线L1：y=12x2-32x2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P（1）若抛物线L2经过点（2，12），求L2对应的函数表达式；（2）当BPCP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧若DPQ与ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为ya（x+1）（x

9、4），利用待定系数法求出a即可解决问题（2）由题意BPAP，如图1中，当A，C，P共线时，BPPC的值最大，此时点P为直线AC与直线x=32的交点（3）由题意，顶点D（32，-258），PDQ不可能是直角，第一种情形：当DPQ90时，如图31中，当QDPABC时如图32中，当DQPABC时第二种情形：当DQP90如图33中，当PDQABC时当DPQABC时，分别求解即可解决问题【解析】（1）当y0时，12x2-32x20，解得x1或4，A（1，0），B（4，0），C（0，2），由题意设抛物线L2的解析式为ya（x+1）（x4），把（2，12）代入ya（x+1）（x4），126a，解得a2，抛物

10、线的解析式为y2（x+1）（x4）2x26x8（2）抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（1，0），B（4，0），抛物线L1，L2的对称轴是直线x=32，点P在直线x=32上，BPAP，如图1中，当A，C，P共线时，BPPC的值最大，此时点P为直线AC与直线x=32的交点，直线AC的解析式为y2x2，P（32，5）（3）由题意，AB5，CB25，CA=5，AB2BC2+AC2，ACB90，CB2CA，y=12x2-32x2=12（x-32）2-258，顶点D（32，-258），由题意，PDQ不可能是直角，第一种情形：当DPQ90时，如图31中，当QDPABC时，QPDP=ACBC=12，设Q（

11、x，12x2-32x2），则P（32，12x2-32x2），DP=12x2-32x2（-258）=12x2-32x+98，QPx-32，PD2QP，2x3=12x2-32x+98，解得x=112或32（舍弃），P（32，398）如图32中，当DQPABC时，同法可得PQ2PD，x-32=x23x+94，解得x=52或32（舍弃），P（32，-218）第二种情形：当DQP90如图33中，当PDQABC时，PQDQ=ACBC=12，过点Q作QMPD于M则QDMPDQ，QMMD=PQDQ=12，由图33可知，M（32，398），Q（112，398），MD8，MQ4，DQ45，由DQDM=PDDQ，可

12、得PD10，D（32，-258）P（32，558）当DPQABC时，过点Q作QMPD于M同法可得M（32，-218），Q（52，-218），DM=12，QM1，QD=52，由QDDM=PDDQ，可得PD=52，P（32，-58）综上所述：P点坐标为（32，398）或（32，-218）或（32，558）或（32，-58）4（2019年镇江第27题）如图，二次函数yx2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B（1）点D的坐标是（2，9）；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵

13、坐标为n过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得DPQ与DAB相似当n=275时，求DP的长；若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ与DAB相似，请直接写出n的取值范围95n215【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C（2，95），A（-52，0），点A关于对称轴对称的点（132，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；当n=275时，N（2，275），可求DA=952，DN=185，CD=365当PQAB时，DPQDAB，DPDP=945；当PQ与AB不平行时，DP=325，；当PQAB，DBDP时，DB35，DN=245，所以N（2，215），则

14、有且只有一个DPQ与DAB相似时，95n215；【解析】（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x2，C（2，95），由已知可求A（-52，0），点A关于x2对称点为（132，0），则AD关于x2对称的直线为y2x+13，B（5，3），当n=275时，N（2，275），DA=952，DN=185，CD=365当PQAB时，DPQDAB，DACDPN，DPDA=DNDC，DP=945；当PQ与AB不平行时，DPQDBA，DNQDCA，DPDB=DNDC，DP=325；综上所述，DP=325，DP=945；当PQAB，DBDP时，DB35，DPDA=DNDC，DN=245，N（2

15、，215），有且只有一个DPQ与DAB相似时，95n215；故答案为95n215；点睛：本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键【专项突破】1（2020常州一模）如图1，已知抛物线yx2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQPQ于点Q，连接AP（AP不平行x轴）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上运动，若AQPAOC（点P与点C对应），求点P的坐标；（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q，当点Q落在x轴

16、上时，求点P的坐标【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；（2）利用AQPAOC得到AQ4PQ，设P（m，m2+3m+4），所以m4|4（m2+3m+4|，然后解方程4（m23m）m和方程4（m23m）m得P点坐标；（3）设P（m，m2+3m+4）（m32），当点Q落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQm23m，证明RtAOQRtQHP，利用相似比得到QH4m12，则OQ123m，在RtAOQ中，利用勾股定理得到方程42+（123m）2m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q落在y轴上，易得点A、Q、P、Q

17、所组成的四边形为正方形，利用PQPQ得到|m23m|m，然后解方程m23mm和方程m23mm得此时P点坐标【解析】（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入yx2+bx+c得 c=4-16+4b+c=0，解得b=3c=4，抛物线解析式为yx2+3x+4（2）当y0时，x2+3x+40，解得x11，x24，C（1，0），OC1，A（0，4），OA4，AQPAOC，AQAO=PQCO，AQPQ=AOCO=4，即AQ4PQ，设P（m，m2+3m+4），m4|4（m2+3m+4|，即4|m23m|m，解方程4（m23m）m得m10（舍去），m2=134，此时P点坐标为（134，5116）；解方程4（m

18、23m）m得m10（舍去），m2=114，此时P点坐标为（114，7516）；综上所述，点P的坐标为（134，5116）或（114，7516）（3）设P（m，m2+3m+4）（m32），当点Q落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ4（m2+3m+4）m23m，APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q，AQPAQP90，AQAQm，PQPQm23m，AQOQPH，RtAOQRtQHP，OA：QHAQ：QP，解得QH4m12，OQm（4m12）123m，在RtAOQ中，42+（123m）2m2，整理得m29m+200，解得m14，m25，此时P点坐标为（4，0）或（5，6）；综上所述，点P的坐

19、标为（4，0）或（5，6）2（2020灌云县一模）如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为yx+6（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；（2）作点O关于BC的对称点O，则O（6，6），则OP+AP的最小值为AO的长，然后求得AP的解析式，联立直线AP和BC的解析式可求得点P的坐标；（3）先判断出BCD是直角

20、三角形，求出tanBDC=BCCD=3，tanCAO=OCOA=3，得出BDCCAO分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案【解析】（1）把x0代入yx+6，得：y6，C（0，6），把y0代入yx+6得：x6，B（6，0），将C（0，6）、B（6，0）代入y=-12x2+bx+c得：-1236+6b+c=0c=6，解得b=2c=6抛物线的解析式为y=-12x2+2x+6；（2）如图1所示：作点O关于BC的对称点O，则O（6，6），O与O关于BC对称，POPOPO+APPO+AP当A、P、O在一条直线上时，OP+AP有最小值y=-12x2+2x+6，当y0时，-12

21、x2+2x+60，解得：x12，x26，A（2，0），设AP的解析式为ymx+n，把A（2，0）、O（6，6）代入得：-2m+n=06m+n=6，解得：m=34n=32，AP的解析式为y=34x+32将y=34x+32与yx+6联立y=34x+32y=-x+6，解得：x=187y=247，点P的坐标为(187，247)；（3）如图2，y=-12x2+2x+6=-12(x-2)2+8，D（2，8），又C（0，6）、B（6，0），CD22，BC62，BD45CD2+BC2BD2，BCD是直角三角形，tanBDC=BCCD=3，A（2，0），C（0，6），OA2，OC6，AC210tanCAO=OC

22、OA=3，BDCCAO当ACQDCB时，有ACDC=AQDB，即21022=AQ45，解得AQ20，Q（18，0）；当ACQDBC时，有ACDB=AQDC，即21045=AQ22，解得AQ2，Q（0，0）；综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似3（2021江苏姑苏二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标【答

23、案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EFy轴交BC于点F，过点D作DGEF于点G，证明DFGBCO，再证EDGCAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案；（3）CPD与DEF中，已有CDP=EDF，分两种情况讨论：DPCDEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；DCPDEF先求tanDCP=tan

24、ACO=，过点B作BQCB交CP于点Q，过点Q作QMBO于点M，在RtCBQ中，证明OCBMBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，解得，二次函数的解析式为：；（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，解得，BC的函数解析式为：，过点E作EFy轴交BC于点F，过点D作DGEF于点G，GFD=BCO，BOC=DGF，DFGBCO，ACEP，DGAO，GDE=OAC，COA=EGD=

25、90，EDGCAO，设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），EF=；当时，EF最大=，ED最大=EF=；（3）CPD与DEF中，已有CDP=EDF，分两种情况讨论：DPCDEF，点C与点F对应，PCD=EFD，CPEF，即P与O重合，点P坐标为（0，0）；DCPDEF，点E与点C重合，DEF=PCD，DEF=ACO，DCP=ACO，tanDCP=tanACO=；过点B作BQCB交CP于点Q，过点Q作QMBO于点M，在RtCBQ中，CBO+MBQ=90，CBO+OCB=90，MBQ=OCB，COB

26、=BMQ，OCBMBQ，BM=OC=1，MQ=BO=，点Q坐标为（2，），设CQ的关系为：，解得：，直线CQ的解析式为：，当y=0时，点P坐标为（，0），综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略，4（2021江苏射阳三模）如图，抛物线经过、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线

27、上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；（4）点是轴上的动点，连接，求的最小值【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或或或；（3）存在，点坐标为或或；（4）【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得解析式；（2）分和两种情况，分别利用相似三角形的边对应成比例即可求解即可；（3）由于与共底，利用平行线的性质，只要两个三角形等高即可；分两种情况找平行线，过点作交轴于点，直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为；由点关于点对称的点为，过点与直线平行的直线解析式为，该直线与抛物线的交点即为；（4）连接，在上截取使得，过点作交于点，过点作轴交于点，在中，当、三点共线，并且

28、时，值最小在中，求出，进而求出直线的解析式，再求出，由于，在中，可求，则即为所求的最小值【详解】解：（1）将点、代入中，得到，解得，；（2）函数对称轴为直线，设，由已知可得，轴，轴，当以、为顶点的三角形与相似时，时，或；当时，即，或；：以、为顶点的三角形与相似时，满足条件的点坐标为或或或；（3）当时，设直线的解析式为，将点、代入，可得，解得，过点作交轴于点，直线的解析式为，联立，解得或，或（舍）；当时，点关于点对称的点为，过点与直线平行的直线解析式为，联立，解得或，或；与的面积相等时，点坐标为或或；（4）连接，在上截取使得，过点作交于点，过点作轴交于点，在中，此时的值最小；，设直线的解析式为，

29、将点，代入，可得，解得，在中，的最小值为【点睛】本题属于考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法、三角形相似的判定与性质、三角函数、共边的三角形面积相等知识点，综合应用所学知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键5（2021江苏徐州二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、F求MFNE最小值；（3）点J是抛物线顶点，连接JC、JA，点H为抛物线对称轴上一动点，设纵坐标为m，过点H的直线交边CJ于P，交边JA

30、于Q，若对于每个确定的m值，有且只有一个JQP与JCA相似，请直接写出m的取值范围【答案】（1）yx2+2x+3；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设抛物线为交点式，代入点C坐标即可求得表达式；（2）由轴对称性质可证得是等腰直角三角形，再证明，得到 ，即 当 时，AD最小，利用三角形的面积公式 求出AD的长，从而求得 的最小值；（3）当H在AC上时，容易证得临界值m2，此时有且只有一个JQP与 JCA相似；当H在AC上方时，过点C作CR AJ于点R，交直线x=1于点H，过点R作直线RFy轴于点 F，过点A作AERF于点 E可证RFCAER从而得到点R坐标，由此知直线CR的解析式，令 x1，即

31、可得H点的纵坐标 m ，此为另一临界值，若 ，则不存在唯一的 JQP与JCA相似根据m的两个临界值，可得m的取值范围【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（3，0），B（-1,0），设抛物线表达式为点C（0，3）在抛物线上，a（0+1）（03）=3，解得，a1该抛物线表达式为y（x+1）（x3）x2+2x+3（2）如图，连接 A（3，0），B（-1，0），OCOA3，OB1，OCAOAC45，BC点D与点M关于直线AC对称，AM=AD，MACDAC同理：AN=AD，BANBAD，AM=AN=ADMAN2OAC24590MAN为等腰直角三角形AMNANM45AEN为AEM的外角，AENAME+M

32、AE45+MAE，MAOCAO+MAE45+MAE，AENMAOAENFAM，即MFNEANAMAD2点D在线段BC上，当ADBC时，AD最小，此时，AD即MFNE的最小值为（3）抛物线解析式yx2+2x+3，当时，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点J（1，4）A（3，0）、C（0，3），JC2CA232+3218，AJ24+1620，AJ2CA2+JC2，故JCA为直角三角形，JCA90若JQP与JCA相似，则JQP也为直角三角形设直线AJ的解析式为ykx+b，根据题意，得，解得：故直线AJ解析式为y2x+6同理可得直线AC的解析式为yx+3当H在直线AC上时，此时作为一个临界条件（若H在AC

33、下方，则过点H的直线必有一边不与CJ或JA相交）抛物线对称轴为x1，点H在AC上，当x=1时，y=-1+3=2H（1，2）此时m2；当H在直线AC的上方时，过点C作CRAJ于点R，交直线x=1于点H，过点R作直线RFy轴于点F，过点A作AERF于点E如图（为了避免干扰，略去了抛物线图象）REA90点R在直线AJ：y=-2x+6上，设点R坐标为（a，2a+6）CRA90RFC，FRC+ERA90又EAR+ERA90FRCEARRFCAER，即，整理得，5a221a+180，解得：，a23（不合题意，舍去）点R（，）设直线CR解析式为ypx+q，根据题意，得，解得，直线CR解析式为y令x1，得y点

34、H的纵坐标m此时m的值为另一临界值，若H再向上（包含此点（1，），则不存在唯一的JQP与JCA相似符合条件的m的取值范围为【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、轴对称、最值、相似三角形的判定与性质等知识点，求函数解析式是解题的基础，而第（2）题求的最小值，将解题目标锁定在证明上是关键；第（3）题求m的取值范围，将目标锁定在求m的两个临界值上是关键6（2021江苏新吴二模）在矩形中，已知，E为上一点，若沿直线翻折，使点A落在边上点F处，折痕为（1）如图1，求证：；（2）如图2，矩形的一边落在平面直角坐标系的x轴上，轴，且点C坐标为，点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请

35、直接写出n的值；（3）如图3，二次函数的图像经过A、F两点，其顶点为，连接，若，求此二次函数的表达式【答案】（1）见解析；（2）或或；（3）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和等角的余角相等可证得，进而可证得结论；（2）分当OB、BF为菱形的边；当OB、OF为菱形的边；当BF、OF为菱形的边三种情况讨论求解即可；（3）设抛物线的表达式为，将点A、F坐标代入求出a、h，过M作，交的延长线于点G，证明，利用相似三角形的性质列出关于n的方程，求出n值，即可得出抛物线的表达式【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，由折叠得，；（2）解：连接OF，由折叠性质得BF=15，C点坐标为（n，0）（n0），O

36、C=n，即OB=9n，当OB、BF为菱形的边时，OB=BF，即9n=15，解得：n=6；当OB、OF为菱形的边时，OB=OF，BC=9，BF=15，CF=12，在RtOCF中，由勾股定理得：OF2=122+（n）2=144+n2，（9n）2=144+n2，解得：n=3.5；当BF、OF为菱形的边时，BF=OF，由152=144+n2得：n=9或n=9（不符题意，舍去），综上，满足题意的n的值为或或（3）设二次函数表达式为，由题意得，将A、F坐标代入抛物线得解得：，过M作，交的延长线于点G，如图所示，即，解得，二次函数表达式，即【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合应用，涉及矩形的性质、折叠性

37、质、相似三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形、菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式、解方程等知识，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质与运用，利用数形结合和分类讨论的数学思想方法进行推理、探究和计算7（2021江苏苏州市金阊实验中学校一模）如图，二次函数与轴交于两点，点在点左边，与轴交于点，点与点关于轴对称，为轴上一动点， （1）直接写出的面积=_；（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）若点在线段上运动，延长交于点，过作/轴交抛物线于点，点在运动过程中，直接写出能够使面积的值为整数的点的个数_【答案】（1）3；（2）(0，1)，(0，-6)；（3）6【解析】【分

38、析】（1）先求出A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，即可求解；（2）分两种情况：若，若，分别列出比例式，进而即可求解；（3）设M(a，3-a)，则N(a，)，根据待定系数法得，直线MD的解析式为：y=x+，从而得P(0，)，进而得，进而即可得到答案【详解】解：（1）二次函数与轴交于两点，与轴交于点，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，的面积=，故答案是：3；（2）OC=OB=3，COB=90，ABC=45，BC=，点与点关于轴对称，D(-3，0)，同理：DCO=45，CD=，若，设P(0，a)，则CP=3-a，即：，解得：a=1，P(0，1)，若， ，即：，解得：a=-6，P(0，

39、-6)，综上所述：P的坐标为：(0，1)，(0，-6)；（3）B(3，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为：y=-x+3，设M(a，3-a)，则N(a，)，设直线MD的解析式为：y=kx+b，解得：，直线MD的解析式为：y=x+，P(0，)，=，要使面积的值为整数，的值为或或，03，0a3，当=时，解得：a=1或2，符合题意；当=时，解得：a=或，符合题意；当=时，解得：a=或，符合题意；能够使面积的值为整数的点的个数有6个，故答案是：6【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，函数图像上点的坐标特征，是解题的关键8（2021江苏镇江一模）如图1，二次函数

40、的图像记为，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数的图像记为，其顶点为D，图像、相交于点P，设点P的横坐标为m（1）求证：点D在直线上；（2）求m和h的数量关系；（3）平行于x轴的直线经过点P，与图像交于另一点E，与图像交于另一点F，若，求h的值；（4）如图2，过点P作平行于的直线，与图像交于另一点Q，连接当时，_（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）m= h；（3）h的值为8；（4）4或20【解析】【分析】（1）先求出A、B的坐标，再代入，最后验证即可；（2）联立 ，得出x与h的关系，再根据图象交于点P，即可得出结论；（3）求出P、E、F的坐标轴即可得出结果；（4）得出四边形BPQD为矩

41、形，再分两种情况解得即可【详解】（1）证明：由，令x=0时，y=1，即A(0，1)，令y=0时，x=2，即B(2，0)，设A，B的解析式为： ，把A，B的坐标代入得，解得，顶点D的坐标为，令x=h，则 ，点D在直线上；（2）联立 ，得出，根据图象交于点P，设点P的横坐标为m,则；（3）由点P的横坐标为x=，代入，得出E点的横坐标为4-，将P的横坐标为x=，代入得出F点的横坐标为，则，解得h=8；（4）由题意得由平移得到，BD=PQ且BDPQ，得出四边形BPQD为矩形，作DMx轴，得出AOBBMP，当h=4时，一定成立；又有 ，得出h=20，综上所述h=4或20【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，矩形的性质，相似