柯西不等式的应用(整理篇).docx

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1、柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美， 结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（Cauchy）不等式：(a b + a b+L + a b )2 (a2 + a2 +L + a2 )b(2 + b2 +L + b2 )(a , b R, i = 1,2L n)1 12 2n n12n12nii等号当且仅当a = a12= L = an= 0 或bi= ka 时成立（k 为常数， i = 1,2L n ）i现将它的证明介绍如下：方法 1证明：构

2、造二次函数f (x) = (a x + b )2 + (a x + b )2 +L + (a x + b )21122nn()()()= a2 + a2 +L + a2 x2 + 2 a b + a b +L + a b x + b2 + b2 +L + b212n1 12 2n n12n由构造知f (x) 0 恒成立又 Q a2 + a2 +L + an 012n()2()()D = 4 a b + a b +L + a b- 4 a2 + a2 +L + a2 b2 + b2 +L + b2 01 12 2n n12n12n()2()()即 a b + a b +L + a b a2 +

3、a2 +L + a2 b2 + b2 +L + b21 12 2n n12n12n当且仅当a x + b= 0(i = 1,2L n即 1 =a2 = L = n 时等号成立)aaiibbb12n方法 2证明:数学归纳法（1） 当n = 1 时左式= (a b )21 1显然左式=右式右式= (a b )21 1当n = 2 时右式 = (a2 + a2 )(b2 + b2 )= (a b )2 + (a b )2 + a2b2 + a2b212121 12 22 11 2 (a b )2 + (a b )2 + 2a a b b= (a b+ a b )2 = 左式1 12 2故n = 1,

4、2 时 不等式成立1 2 1 21 22 2（2） 假设n = k (k N , k 2)时，不等式成立()2()()即a b + a b +L + a b a2 + a2 +L + a2 b2 + b2 +L + b21 12 2k k12k12k当 b = ma ，m 为常数， i = 1,2L k 或a = a = L = a= 0 时等号成立ii12k设A= a2 + a2 +L + a2B= b2 + b2 +L + b2C = a b + a b +L + a b12k AB C 212k1 12 2k k()()则 A + a2B + b2= AB + Ab2+ Ba 2+ a2

5、 b2k +1k +1k +1 C 2 + 2Cabk +1k +1+ a2 b2k +1= (C + ab)2()(k +1 k +1k +1k +1k +1 k +1 a2 + a2 +L + a2 + a2b2 + b2 +L + b2 + b2) (a b + a b+L + a b + ab)212kk +112kk +11 12 2k kk +1k +1当 b = ma ，m 为常数， i = 1,2L k +1 或a = a= L = a时等号成立ii12k +1即 n = k +1时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式

6、，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（1）证明不等式例 1 已知正数a, b, c 满足a + b + c = 1证明a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c23证明：利用柯西不等式() 313 13 1 2 3 2 3 2 3 2 a2 + b2 + c2 2 = a 2 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 a 2 +

7、b2 + c 2 a + b + c = (a3 + b3 + c3 )(a + b + c )2(Q a + b + c = 1)又 因 为a2 + b2 + c2 ab + bc + ca在 此 不 等 式 两 边 同 乘 以 2 ， 再 加 上 a2 + b2 + c2 得 ：3(a 2 + b2 + c2 ) a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2Q(a2 + b2 + c2 )2 (a3 + b3 + c3 )(a + b + c)2 (a3 + b3 + c3 )3(a2 + b2 + c2 )故 a3 + b3 + c3 a2

8、 + b2 + c23（2）三角形的相关问题例 2 设 p 是V ABC 的一点， x, y, z 是 p 到三边a, b, c 的距离， R 是V ABC 外接圆的半径，xyz12Ra2 + b2 + c2证明+证明：由柯西不等式得：xyz1axa1byb1czcax + by + cz g+111abc+=+记 S 为V ABC 的面积，则gax + by + cz = 2S = 2 abc = abc4R2Rxyzabcab + bc + ca2Rabc12Rab + bc + ca12Ra2 + b2 + c2+=故不等式成立。2、求解有关数学问题常用于求最值例 3已知实数a, b,

9、c , d 满足a + b + c + d = 3 ， a2 + 2b2 + 3c2 + 6d 2 = 5 试求a 的最值解：由柯西不等式得，有(2b2 + 3c2 + 6d 2 ) 1 + 1 + 1 (b + c + d )2236即由条件可得， 5 - a2 (3 - a)22b 1 23c 1 36d 1 6解得，1 a 2当且仅当=时等号成立，代入b = 1,c =11=, d时，a3621= 2maxb = 1,c =, d =时av33= 1min例 4空间中一向量a 与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g 均非象限角），求1+4+9的最小值。sin 2

10、 asin 2 bsin 2 g解 : 由柯西不等式得：123(sina )2 + (sin b )2 + (sin g )2 (sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g )123 (sina sina + sin b sin b + sin g sin g )2149() + () + ()(sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g ) (1 + 2 + 3)2 sin 2 asin 2 bsin 2 gsin2a+ sin2b + sin2g = 22 (1+4+9) 36(1+4+9) 18 sin 2 asin 2 bsin 2 gsin 2 asin 2

11、bsin 2 g1+4+9的最小值为 18sin 2 asin 2 bsin 2 g三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题柯西不等式的变形公式： 约定b R + , i = 1,2L nia2a2a2(a + a +L + a )2aaa有

12、1 +2 +L + n12n当且仅当 1 = 2 = L = n 等号成立bbbb + b+L + bbbb12n12n12n a2a2 a2 () ()2分析：由柯西不等式可得 1 + 2 +L +n b + b +L + b a + a +L + a bbb 12n12n12n例 1设 x , x ,L , x R+ ,且x + x +L + x = 1 ，12n12nx2x2x2x21+ x证明 x 112+2x + x23+L +n-1x+ xn-1n+ nx + x2n1x2x2x2x2+ x证明：由变形公式得： x 112+2x + x23+L +n-1x+ xn-1n+ nx +

13、 xn1(x + x +L + x )2 1 (x+ x ) 1(x2 x )n (x+ x )= 2+122+L +3n1求12a+1()22 / 2最小值(2 / 2 +1)22例2 (2007年市一模理科)已知a，b0，且a+b=1，b的11解析：Q a，b0，且a+b=1，由柯西不等知:+= + 12 = 3 +2ab2 / 2= 1a =-1, b = 2 -22ab 1 + 1 a + b2= 3 + 2当且仅当ab 即时等号成立2ab2minaaa111练习设a , a ,L , a N *且各不相同，证明a + 2 + 3 +L + n 1+L +12n12232n223n证明

14、：将a , a ,L , a12n则有从新排序设为a a L a12n n 1n 1a 1, a 2,L , a n12nkak =1k =1 kkn an 1 n a n 1 n 1 2而所需证目标：k 2k =1k =1 k =1k kkkk 2 k =1 k =1结合柯西不等式得： n 1 2 n1 2 n a n 1 n a n 1 akak = k k k得结论n k =1akk 2k n k =1k1kk =1k 2 ak =1 k k =1k 2 k =1k =1k =1柯西不等式在解题中的几点应用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在

15、教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育高中代数下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15 练习第 2 题）：求证：ac+bd a 2 + b2c 2 + d 2*这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。ac + bda 2 + b 2 * c 2 + d 2ac + bda 2 + b 2 * c 2 + d 2证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设a 2 + b 2 0 且c 2 + d 2 0,则aca 2 + b 2 * c 2

16、+ d 2bda 2 + b 2 * c 2 + d 2=+=1 a 2c 2+a 2c 2a 2 + b 2c 2 + d 2*b 2d 2a 2 + b 2c 2 + d 2*1 b 2d 2+2 a 2 + b 2=1+c 2 + d 2 2 a 2 + b 2 +c 2 + d 2 a 2 + b 2c 2 + d 2故 ac+bd ac + bd ac + bd *(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。柯西不等式的一般形式为：对任意的实数a , a12,K , an及b , b12,K , b 有n n2 n na b a 2 b2 ,(2) i =1ini i i =1i

17、ii =1n或i =1a b i i*n ai =12ii =1aab 2 ,(3)ia其中等号当且仅当 1 =2bb12= K =n 时成立（当bbkn= 0 时，认为ak= 0,1 k a K a a, 求证：12nn+11a - a+1a - a+ L +1a - a+1 0a- a1223nn+1n+11分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：(a - a1n+1) 1+1+ L +1 1, a - aa - aa - a1223nn+1证明：为了运用柯西不等式，我们将a - a写成1n +1a - a= (a - a )+ (a - a )+ L + (

18、a - a)于是1n+11223nn+1() ()() 111a - a+ a - a+ L + a - a + L +1223nn+1a - a12a - a23a - ann+1 n 2 1.(a - a) 1+1+ L +1 11n+1即a - a12a - a23a - ann+1 1a - a12+1a - a23+ L +an1- an+11a - a1,n+1故1+1+ L +1+1 0.a - a12a - a23a - ann+1a - an+11我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和， 右边是左边中对立的两两乘积之和

19、的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。例：求证：+y 2 + y 2 (x + y)2 + (x+ y )2 .x 2 + x 212(1 )21122y 2 + y 2122() ()() ()证明：Qx 2 + x 2 += x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + 2x 2 + x 2 y 2 + y 212由柯西不等式得12121212() () ()2x 2 + x 2 y 2 + y 2 x y + x y12121 12 2其中等号当且仅当 x1= ky1， x = ky22时成立。()()x 2 + x 2 y 2 + y 2 x y +

20、x y( 12121 )12 22()()()x 21+ x 2 +2y 2 + y 212 x 21+ x 22+ y 21+ y 22+ 2 x y1 1+ x y22= (x1+ y )21+ (x2+ y )22x 21+ x 2 +2y 2 + y 212(x1+ y )21+ (x2+ y )2 .2其中等号当且仅当 x1= ky1， x = ky22时成立。巧拆常数：例：设a 、b 、c 为正数且各不相等。2求证：+2+29a + bb + cc + aa + b + c分析： a 、b 、c 均为正为证结论正确只需证： 2(a + b + c) 1+1+1 9a + bb +

21、cc + a而2(a + b + d ) = (a + b) + (b + c) + (c + a)又9 = (1 + 1 + 1) 2证明：Q 2(a + b + c)( 1+1+1 ) a + bb + cc + a= (a + b) + (b + c) + (c + a)( 1+1+1 )a + bb + cc + a (1 + 1 + 1) 2 = 9 又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立原不等式成立。重新安排某些项的次序：例： a 、b 为非负数， a + b =1， x , x12 R +求证： (ax1+ bx2)(bx1+ ax2) x x1 2分析：不等号左边为两个二项

22、式积， a, b R- , x , x12 R+ ，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证：(ax1+ bx2)(bx1+ ax )x x1 2x x1 22= (ax1+ bx2)(ax2+ bx ) (a1+ b)2= (a + b)2 x x1 2= x x1 2（ a + b =1）结构的改变从而达到使用柯西不等式： 例若a b c1求证：+14a - bb - ca - c分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了Q a - c = (a - b) + (b - c)Q a ca - c 0结论

23、改为(a - c)( 1+1 ) 4a - bb - c证明：(a - c)( 1+1 ) = (a - b) + (b - c)( 1+1 ) a - bb - ca - bb - c (1 + 1)2 = 41+14a - bb - ca - c添项：例： a, b, c R +a求证：+b +c 3b + cc + aa + b2abc分析：左端变形 b + c + 1 + c + a + 1 + a + b + 1= (a + b + c)( 1+1+1 )b + cc + aa + b只需证此式 9 即可2abcabc证明Q b + c + c + a + C + b + 3 = (

24、b + c + 1) + ( a + c + 1) + ( c + b + 1)= (a + b + c)( 1+1+1 )b + cc + aa + b= 1 (b + c) + (c + a) + (a + b)( 1+1+1 )192b + cc + aa + b(1 + 1 + 1)2 =22abc93+- 3 =b + ca + ca + b22ab注：柯西不等式： a 、b R + ，则a + b 211推论： (a + b)( a + b ) 4 = (1 + 1)2其中a 、b R +111(a + b + c)( a + b + c ) 9 = (1 + 1 + 1)2其中a

25、 、b 、c R + 例.已知a ,a ,a ,a ，b ,b ,b 为正数，求证：证明：左边=123n12n例.对实数a ,a ,a ,求证：证明：左边=12n例.设a,b,c 为正数，且a+b+c=1,求证：=证明：左边=例.若n 是不小于 2 的正整数，试证：证明：由柯西不等式有于是：所以求证式等价于又由柯西不等式有例.设x ,x ,x 都是正数(n2)且，求证：12n证明：不等式左端即(1)，取则(2)由柯西不等式有(3)综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：即d) 用柯西不等式证明条件不等式22柯西不等式中有三个因式n a， n b， na b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了

26、运用柯西不ii =1ii =1i ii =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量a， bii具有广泛的选择余地，任意两个元素 ai， a（或b ， bjij）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。例：已知a,b R +，a+b=1, x , x12 R + ,求证： (ax1+ bx2) (bx1+ ax2) x x1 2分析：如果对不等

27、式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号的前后项对调一下， 情况就不同了。证明： (ax1+ bx2) (bx1+ ax )2= (ax1+ bx2) (ax2+ bx )1()x x1 2x x1 2 a+ b2= (a + b)2 x x = x x。1 21 2例、设 x , x12,L , xn R + , 求证：x 2xxx 21 + L +n x + x + L + xxxxx12n23n1（1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+ x + L + x3n+ x )，也即嵌以因式1(x + x12+ L + xn)，由柯西不等式，得

28、( x 2xxx 2)1 + L +n (x + x + L + x + x )xxxx23n123n1 x2 x2 x2 x2 ()()()() 1x2= + +L + + x2 +x2 +L +x2 +2 2x3n-1xnnx1x2x xxx3n-1xnx 23xn x xn11x22x3 +L +x1n1 = (x + x12+L + xn)2 ,x 2xxx 2于 是 1 + L +n x + x + L + x.xxxx12n23n1e) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。例 设非负实数a ,a12a an满足a12a+a + +a2 n= 1, 求na1 + a21+ + an_+ 1 + a + a13+ an+ 1 + a + a12+ an-1的最小值。（1982 年西德数学奥林匹克度题）解：易验证a1 + (a + a+ a )21 + a2