钢管切割问题建模.docx

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1、数学建模课程论文摘要本文分析了钢管切割最优问题，并建立了钢管下料切割费用最省的数学模型。如何能使自己的物品在满足顾客要求的前提下花费的总费用最少是众商家考虑的问题， 本文针对现已知的案例，进行假设，问题分析，建立线性规划模型，借助 lingo 软件求解模型，获得对原材料钢管的最佳下料方案，使用三种模式切割原材料钢管 19 根， 使得总费用最省。模型求解后，将求出的数值代入原模型进行真实有效性检验。 关键词：钢管下料、切割模式、费用最少7一问题提出与分析某钢管从钢管厂进货，然后根据顾客的要求进行切割出售。假设进货的原料钢管都是 1850mm，现有一顾客需要 15 根 290mm，28 根 315

2、mm，21 根 350mm 和 30 根455mm 的钢管。为了简化切割过程，如果使用的切割模式不超过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多， 一根原料钢管最多生产 5 根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm。为了使得总费用最小，问应如何下料？二条件假设1. 忽略外界环境对钢管的加工2. 忽略原料钢管切割过程中的原料损耗；3. 忽略原料钢管切割过程因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；4. 假设都符合客户要求

3、；三符号说明x ：按照第i 种模式切割的原料钢管的根数 (i = 1,2,3,4)；ir 、r1i2i、r 、r3i4i：第i 种切割模式下每根原料钢管切割长 290mm 、315mm 、350mm 和455mm 的钢管数量。四问题分析对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求 的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850 mm 的钢管切割成4 根长 455mm 的钢管，余料为 30mm ；或者将长1850 mm 的钢管切割成长 290mm 1 根， 长350mm 和455mm 的钢管各2 根，余料为 20mm 。显然，可行的切割模式是很多的， 应

4、当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式要求每种切割模式下的余料浪费不 能超过100mm 。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩 余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。若要求最省的下料方法则要分 别对两种目标分别进行讨论。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些 切割模式是合理的，并从中选出不超过 4 种模式，但是这种方法比较复杂。我们在这采用比较普遍性的方法，同时确定切割模式和切割数量，只使用合理的切割模式，其 余料不应大于100mm 。五模型分析及求解由于不同切割模式不能超

5、过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 110 增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的2 10 增加费用，依次类推。为方便求解，在此假设原料钢管费用为单位 1，于是以总费用最小为目标，即min Z = 1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4(1)满足客户需求的约束条件为r x + r x + r x + r x11 1122133144r x + rx + rx + rx21 1222233244r x + rx + r x + rx 15 28 21(2)(3)(4)31 1322333344r x + rx + rx + rx41 14224334

6、44 30(5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850 mm ， 也不能少于1750 mm （余料不能大于100mm ），于是1750 290 r111750 290 r121750 290 r131750 290 r14+ 315r21+ 315r22+ 315r23+ 315r24+ 350 r31+ 350 r32+ 350 r33+ 350 r34+ 455r41+ 455r42+ 455r43+ 455r44 1850 1850 1850 1850(6)(7)(8 )(9)最后，加上非负整数约束：x ,riji z + ，i = 1,2,3,4; j

7、= 1,2,3,4;(10)于是，归结为在在约束条件(1) (10)下，求 x 和ri(i, j = 1,2,3,4)使目标(1)达到最ji小。显然这是线性整数规划模型。线性整数规划模型(1) (10)虽然用 LINGO 软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于 4 种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：x x x x1234(11)又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界。首先，原料钢管的根 数不可能少于290 15 + 315 28 + 350 21 + 455 30 19 （根）。1850其次，考虑

8、一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产290mm 钢管，一根原料钢管切割成6 根290mm 钢管，为满足15 根290mm 钢管的需求，需要3 根原料钢管；第二种切割模式下只生产315mm 钢管，一根原料钢管切割成5 根315mm 钢管，为满足28 根315mm 钢管的需求，需要6 根原料钢管；第三种切割模式下只生产350mm 钢管，一根原料钢管切割成5 根350mm 钢管，为满足21 根350mm 钢管的需求，需要5 根原料钢管;第四种切割模式下只生产 455mm 钢管，一根原料钢管切割成 4 根455mm 钢管，为满足30 根455mm 钢管的需求，需要8 根原料钢管。于是满足要求

9、的这种生产计划共需要3 + 6 + 5 + 8 = 22 根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：19 x + x12+ x + x34 22(12 )将式(1) (12)构成的模型输入LINGO如下：Model: Min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4; r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15; r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28; r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21; r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=30; 290*r11+315*r21+350*r

10、31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750; X1=x2;X2=x3;X3=x4;X1+x2+x3+x4=19;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(

11、x4);gin(r11);gin(r12);g in(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gi n(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin (r43);gin(r44);End求解得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value:21.50000Extended solver steps:732Total solver iterations:15492VariableValueReduced CostX114.

12、00000-0.1000000X24.0000000.000000X31.0000000.1000000X40.0000000.2000000R111.0000000.000000R120.0000000.000000R132.0000000.000000R141.0000000.000000R212.0000000.000000R220.0000000.000000R230.0000000.000000R240.0000000.000000R310.0000000.000000R325.0000000.000000R331.0000000.000000R343.0000000.000000R

13、412.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000R441.0000000.000000RowSlack or SurplusDual Price121.50000-1.00000021.0000000.0000003-0.9329838E-080.00000040.0000000.0000005-0.9329838E-080.000000620.000000.0000007100.00000.000000810.000000.000000955.000000.0000001080.000000.000000110.0000000.

14、0000001290.000000.0000001345.000000.0000001410.000000.000000153.0000000.000000161.0000000.000000173.0000000.00000018-0.4664919E-08-1.200000即按照模式1， 2 ，3 分别切割14 根， 4 根， 1根原料钢管，使用原料钢管总根数为19 根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成1根290mm 钢管， 2 根315mm 钢管和2 根455mm 钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成5 根350mm 钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成 2 根290mm 钢管

15、，1根350mm 钢管和2 根455mm 钢管。六模型检验本次生产计划根据目标函数 min Z = x + x12+ x + x34得出需 19 根原料钢管下料，有多种切割模式，最优即按照模式1， 2 ， 3 分别切割14 根， 4 根， 1根原料钢管。290mm 的钢管有：114 + 2 1 = 16 15315mm 的钢管有： 2 14 = 28 28350mm 的钢管有： 5 4 + 11 = 21 21455mm 的钢管有： 2 14 + 2 1 = 30 30第一种切割模式下余料：1850 - (1 290 + 2 315 + 2 455)= 20 100 ； 第二种切割模式下余料： 1850 - 5 350 = 100 100 ；第三种切割模式下余料：1850 - (2 290 + 1 350 + 2 455)= 10 100 。所以这就是最优费用的切割方案，所有的约束都满足。七评价缺点是不可能不现没有原料损失，那只是理想状态，假设的。本文的优点是既考 虑了消费者，又满足了生产费用最少，实现了双赢的局面。八参考文献