二次函数综合练习题3175.pdf

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1、二次函数综合练习题 一、选择题 1（2013 江苏苏州，6，3 分）已知二次函数yx23xm（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x23xm0 的两实数根是（）Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23【答案】B【解析】二次函数yx23xm的图象与x轴的一个交点为（1，0），0123m，解得m2，二次函数为yx23x2设y0，则x23x20解得x21，x22，这就是一元二次方程x23xm0 的两实数根所以应选 B【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点的关系当b24ac0 时，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的两

2、个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c0 的两个根【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选 2（2013 江苏扬州，8，3 分）方程0132 xx的根可视为函数3 xy的图象与函数xy1的图象交点的横坐标，则方程3210 xx 的实根0 x所在的范围是（）A4100 x B31410 x C21310 x D1210 x【答案】C【解析】首先根据题意推断方程x32x1=0 的实根是函数y=x23 与xy1的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x32x1=0的实根x0

3、所在范围 解：依题意得方程x32x1=0 的实根是函数y=x22 与xy1的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限 当x=14时，y=x22=2116，1yx=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=13时，y=x22=219，1yx=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=12时，y=x22=214，1yx=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1 时，y=x22=3，1yx=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方 所以方程3210 xx 的实根0 x所在的范围是21310 x 所以应选 C【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类

4、识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错 3.（2013 重庆市(A)，12，4 分）一次函数yaxb（a0）、二次函数yax2bx和反比例函数ykx(k0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(2，0)则下列结论中，正确的是（）Ab2ak Babk Cab0 Dak0【答案】D【解析】一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为（2，0），2ab0，b2a 又抛物线开口向上，a0，则b0而反比例函数图象经过第一、三象限，k0 2ak2a，即b2ak故A选项错误 假设B选项正确，则将b2a代入abk，得a2ak

5、，ak又a0，k0，即k0，这与k0 相矛盾，abk不成立故B选项错误 再由a0，b2a，知a，b两数均是正数，且ab，ba0故C选项错误 这样，就只有D选项正确【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数yax2bx与反比例函数ykx(k0)的图象，知当x2ba22aa1时，yk24ba244aaa，即ka又因为a0，k0，所以ak0【易错警示】二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清 4.（201

6、3 湖南益阳，7，4 分）抛物线1)3(22xy的顶点坐标是（）A(3，1)B(3，1)C(3，1)D(3，1)【答案】：A【解析】抛物线2()ya xhk的顶点是（h，k）【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24bacbaa求顶点坐标。4（2013 徐州，28，10 分）如图，二次函数 yx2bx的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标：（3，4）；（2）当点 P 在

7、线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）将点 A 的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点 B 的坐标即可求得正方形 ABCD 的边长，从而求得点 D 的纵坐标；（2）PAt，OEl，利用DAPPOE 得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点 P 位于 y 轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积 解答：解：（1）（

8、3，4）；（2）设 PAt，OEl，由DAPPOEDPE90得DAPPOE，l（t）2 当 t时，l 有最大值，即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为；（3）存在 点 P 点在 y 轴左侧时，P 点的坐标为（4，0）由PADOEG 得 OEPA1，OPOAPA4。ADGOEG，AG：GOAD：OE4：1 AG 重叠部分的面积 当 P 点在 y 轴右侧时，P 点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为 点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大 5（2013鞍山，18，2 分）某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万

9、件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大每月的最大利润是多少 考点：二次函数的应用 分析：（1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润（售价成本）售出件数”，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值 解答：解：（1）由题意，可设 ykx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以 y 与 x 之间的关系式为：y10000 x+80000；（2）设

10、利润为 W，则 W（x4）（10000 x+80000）10000（x4）（x8）10000（x212x+32）10000（x6）24 10000（x6）2+40000 所以当 x6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元 答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元 点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题关键是要分析题意根据实际意义求解注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识 6（2013 东营，24，12 分）已知抛物线

11、y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为 B（0，1）(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标 A O（第 24 题图）x y B(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值 分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解（2）设 C 点坐标为（x，y），由题意可知090BAC过点 C 作CDx轴于点 D，连接AB，AC易证AOBCDA，根据对应线段成比例得出,x y的关系式24yx，再根

12、据点 C 在抛物线上得2114yxx，联立两个关系式组成方程组，求出,x y的值，再根据点 C 所在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线可得152OHOD，故点 H 的坐标为（5，0）再根据点 P 在 BC 上，可求出直线 BC 的解析式，求出点 P 的坐标。（3）根据BCNBMNCMNSSS，得11052BCNSMNMN，所以求BCNS的最大值就是求 MN 的最大值，而 M，N 两点的横坐标相同，所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标，从而形成关于 MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1)抛物线

13、的顶点是A(2，0)，设抛物线的解析式为2(2)ya x 由抛物线过B(0，1)得41a，14a2 分 抛物线的解析式为21(2)4yx 即2114yxx3 分 (2)设C的坐标为(x，y)A（第 24(2)答案图）x O y C B P H D A在以BC为直径的圆上BAC=90 作CDx轴于D，连接AB、AC 090BAODAC，090DACDCABAODCA AOBCDA4 分 OBOAADCD OBCD=OAAD 即 1y=2(x2)y=2x4 点 C 在第四象限 24yx5 分 由224,114yxyxx解得1212102,100 xxyy祆镲眄镲铑 点 C 在对 称轴右侧的抛物线上

14、 点C的坐标为(10，16)6 分 P为圆心，P为BC中点 取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线 PH=21(OB+CD)=2177 分 D(10，0)H(5，0)P(5，172)故点P坐标为(5，172)8 分(3)设点 N 的坐标为2114ttt骣琪琪桫，直线 x=t（0t10）与直线 BC 交于点 M 12BMNSMNt，1(10)2CMNSMNt 所以1102BCNBMNCMNSSSMN 9 分 设直线 BC 的解析式为ykxb，直线 BC 经过B(0，1)、C(10，16)所以1,1016bkb成立，解得：3,21kb10 分 所以直线 BC 的解析式为312yx，则点

15、 M 的坐标为312tt骣琪琪桫，MN=2114tt骣琪琪桫312t骣琪琪桫=21542tt11 分 2115()10242BCNStt =252542tt=25125(5)44t 所以，当 t=5 时，BCNS有最大值，最大值是125412 分 点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h，k）一般可设其解析式为2ya xhk(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解 A x O y C B M N x=t（第 24(3)答案图）7（2013济宁，23，分）如图，直线y=x4 与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒 1 个单位长度的速度从点O出发向点A做匀

16、速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大并求出最大值 考点：一次函数综合题 分析：（1）根据直线y=x4 与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EPBO，得出=，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2

17、）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可 解答：解：（1）直线y=x4 与坐标轴分别交于点A、B，x=0 时，y=4，y=0 时，x=8，=，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，=，AP=2t，动点Q以每秒 1 个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒 2 个单位长度；（2）如图 1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，83t=t，解得：t=2，如图 2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=82t，QP=t（82t）=3t8，t=3t8，解得：t=4；（

18、3）如图 1，当Q在P点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，S矩形PEFQ=QPQF=（83t）t=8t3t2，当t=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图 2，当Q在P点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t（82t）=3t8，S矩形PEFQ=QPQE=（3t8）t=3t28t，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，0t4，当t=时，S矩形PEFQ的最小，t=4 时，S矩形PEFQ的最大值为：34284=16，综上所述，当t=4 时，S矩形PEFQ的最大值为：16 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关

19、键 8（2013 河 北 省，25，12 分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比 试行中得到了表中的数据 （1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x=70，Q=450 时，求n的值；（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为 420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由 参考公式：抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点坐标是（b2a，4

20、acb24a）解析：（1）设212Wk xk nx，212100Qk xk nx 次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420 100 由表中数据，得212212420402 40100100601 60100kkkk ，解得121106kk 21610010Qxnx 4 分（2）由题意，得21450706 7010010n n=2 6 分（3）当 n=3 时，211810010Qxx 由1010a 可知，要使 Q 最大，1812()10 x =90 9 分（4）由题意，得 2142040(1%)6 2(1%)40(1%)10010mmm 10 分 即22(%)%0mm，解得1%2m，或

21、%m=0（舍去）m=50 12 分 9（2013 湖北省鄂州市，23，10 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量 y（件）100010 x 销售玩具获得利润 w（元）10 x2+1300 x30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价

22、 x 应定为多少元（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用 分析：（1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600（x40）x=1000 x，利润=（1000 x）（x30）=10 x2+1300 x30000；（2）令10 x2+1300 x30000=10000，求出 x 的值即可；（3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=10 x2+1300 x30000 转化成 y=10（x65）2+12250，结合 x 的取

23、值范围，求出最大利润 解答：解：（1）销售单价（元）x 销售量 y（件）100010 x 销售玩具获得利润 w（元）10 x2+1300 x30000（2）10 x2+1300 x30000=10000 解之得：x1=50，x2=80 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润，（3）根据题意得 解之得：44x46 w=10 x2+1300 x30000=10（x65）2+12250 a=100，对称轴 x=65 当 44x46 时，y 随 x 增大而增大 当 x=46 时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元 点评：本题

24、主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大 10（2013 湖北省咸宁市，1，9 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担 李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10 x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元（2）设李明

25、获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元 考点：二次函数的应用 分析：（1）把x=20 代入y=10 x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价成本价，得w=（x10）（10 x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令10 x2+600 x5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数

26、的性质求出总差价的最小值 解答：解：（1）当x=20 时，y=10 x+500=1020+500=300，300（1210）=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为 600 元 （2）依题意得，w=（x10）（10 x+500）=10 x2+600 x5000=10（x30）2+4000 a=100，当x=30 时，w有最大值 4000 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 （3）由题意得：10 x2+600 x5000=3000，解得：x1=20，x2=40 a=100，抛物线开口向下，结合图象可知：当 20 x40 时，w3000 又x25，当 20 x25 时，w3000 设政府每个月为他承担的总差价为p元，p=（1210）（10 x+500）=20 x+1000 k=200 p随x的增大而减小，当x=25 时，p有最小值 500 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大