高考数学一轮复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教学案文北师大版2389.pdf

《高考数学一轮复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教学案文北师大版2389.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教学案文北师大版2389.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三节 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 (对应学生用书第 16 页)1奇函数、偶函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于y轴对称的函数叫作偶函数 2奇(偶)函数的性质(1)对于函数f(x)，f(x)为奇函数f(x)f(x)；f(x)为偶函数f(x)f(x)(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性(3)如果奇函数yf(x)在原点有定义，那么f(0)0.3函数的周期性(1)对

2、于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，那么f(x)为周期函数(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(3)若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是函数yf(x)的一个周期 常用结论 1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0 处有定义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 2周期性的几个常用结论 对f(

3、x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)；(2)若f(xa)1fx，则T2a(a0)；(3)若f(xa)1fx，则T2a(a0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称 ()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数 ()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编 1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos x

4、 Cy|ln x|Dy2x B A 为奇函数，C，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选 B.2已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)x(1x)，则f(1)_.2 f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3 设f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数，当x 1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则f32_.1 f32f12412221.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0 的解集为_ (2,0)(2,5 由图像可知，当 0 x2 时，f(x)0；当 2x5

5、时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0 时，f(x)0，当5x2 时，f(x)0.综上，f(x)0 的解集为(2,0)(2,5 (对应学生用书第 17 页)考点 1 判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图像法：函数是奇(偶)函数函数图像关于原点(y轴)对称(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为 R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)3x2x23；f(x)lg1x2|x2|2；f(x

6、)x2x，x0，x2x，x0.(1)C 令F1(x)f(x)g(x)，则F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)，f(x)g(x)为奇函数，故 A 错误 令F2(x)|f(x)|g(x)，则F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x)，F2(x)为偶函数，故 B 错误 令F3(x)f(x)|g(x)|，则F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F3(x)为奇函数，故 C 正确 令F4(x)|f(x)g(x)|，则F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)，F4(x)为偶函数，故 D 错误(2)解 由 3x20，x230，得x23

7、，解得x 3，即函数f(x)的定义域为 3，3，从而f(x)3x2x230.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数 由 1x20，|x2|2，得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，x20，|x2|2x，f(x)lg1x2x.又f(x)lg1x2xlg1x2xf(x)，函数f(x)为奇函数 显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 当x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数 判断函数的奇偶性，其中包

8、括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域 (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立 1.(2019福州模拟)下列函数为偶函数的是()Aytanx4 Byx2e|x|Cyxcos x Dyln|x|sin x B 对于选项 A，易知ytanx4为非奇非偶函数；对于选项 B，设f(x)x2e|x|，则f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|为偶函数；对于选项 C，设f(x)xcos x，则f(x)x

9、cos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)ln|x|sin x，则f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x为非奇非偶函数，故选 B.2设函数f(x)exex2，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数 D f(x)exex2，则f(x)exex2f(x)f(x)是奇函数 f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 考点 2 函数奇偶性的应用 利用函数奇偶性可以解决

10、以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0 得到关于参数的恒等式由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图像：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值 利用奇偶性求参数的值 一题多解若函数f(x)x312x1a为偶函数，则a的值为_ 12 法一：(定义法)因为函数f(x)x312x1a为偶函数，所以f(x)f(x)，即(x)312x1ax31

11、2x1a，所以 2a12x112x1，所以 2a1，解得a12.法二：(特值法)因为函数f(x)x312x1a为偶函数，所以f(1)f(1)，所以(1)31211a131211a，解得a12，经检验，当a12时，函数f(x)为偶函数 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(x)f(x)(奇函数)或f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)0 求解，偶函数一般利用f(1)f(1)求解用特殊值法求得参数后，一定要注意验证 利用函数的奇偶性求值(1)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f(2)()A12 B.12

12、C2 D2(2)一题多解(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0 时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.(1)B(2)3(1)因为f(x)为偶函数，所以f(2)f(2)，又当x0 时，f(x)log2x，所以f(2)log2212，即f(2)12.(2)法一：由x0 可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0 时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)fln 12(ealn 12)8，aln 12ln 83ln 2，a3.利用奇偶性将所求值转

13、化为已知区间上的函数值 求函数解析式 (2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0 时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1 D 当x0，当x0 时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选 D.先设x为待求区间上的任意量，然后将x转化到已知区间上，从而求出f(x)，然后利用奇偶性求f(x)1.若函数f(x)k2x1k2x在定义域上为奇函数，则实数k_.1 若函数f(x)k2x1k2x在定义域上为奇函数，则f(x)f(x)，即k2x1k2xk2x1k2x，化简得(k21)(22x1)0，即k210，解得k1.2

14、 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_ 3 f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.3(2019湖南永州质检)已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)_.0 设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数 又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.考点 3 函数的周期性及其应用 函数周期性的判定与应用 判定 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的

15、周期性常与函数的其他性质综合命题 应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能 在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ 且k0)也是函数的周期(1)(2019贵阳模拟)已知定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f(2 019)()A5 B.12 C2 D2(2)函 数f(x)满 足f(x 4)f(x)(xR)，且 在 区 间(2，2 上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则f(f(15)的值为_(1)D(2)22(1)由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为 4的周期函数，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(12)f(1)(20)2.(2)由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的周期是 4，所以f(15)f(1)11212，所以f(f(15)f12cos 422.利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值 设f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当x2,1)时，f(x)4x22，2x0，x，0 x1，则ff214_.14 由题意可得f214f634f344342214，f1414.