胡元明开放式基金投资最优决策777.pdf
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1、开放式基金投资最优决策 一、问 题 某开放式基金现有总额为 15 亿元的资金可用于投资,目前共有 8 个项目可供管理人选择,每个项目可重复投资。根据专家经验,对每个项目投资总额不能太高,应有上限。这些项目所需要的投资额已知,一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来,如表 1 所示。表 1 单位:万元 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资额 6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500 年利润 1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 1575 上 限 34000 27000 30000 22000 3
2、0000 23000 25000 23000 请帮该公司解决以下问题:(1)就表 1 提供的数据,应该投资哪些项目,使得第一年所得利润最高?(2)在具体投资这些项目时,实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后,得到以下可靠信息:同时投资项目A1,A3,它们的年利润分别是 1005万元,1018.5 万元;同时投资项目A4,A5,它们的年利润分别是 1045 万元,1276万元;同时投资项目A2,A6,A7,A8,它们的年利润分别是 1353 万元,840 万元,1610万元,1350 万元,该基金应如何投资?(3)如果考虑投资风险,则应如何投资,使收益尽可能大,而风险尽可能小。投
3、资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率,如表 2 所示。表 2 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 风险率(%)32 15.5 23 31 35 6.5 42 35(4)开放式基金一般要保留适当的现金,降低客户无法兑现的风险。在这种情况下,将专家的信息都考虑进来,基金该如何决策,使得尽可能降低风险,而一年后所得利润尽可能多?(5)这个项目投资,是必须资金全部到位才有利润,还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资,然后利润率按第一期利润和投资之比来计算?二、模型的建立及求解 1模型 1(线性整数规划)(1)假设 1)不考虑其他因素,单纯
4、追求利润最大;2)预计利润能正确反映各项投资的利润;3)若对某项目投资,则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍;4)投资过程中交易费为 0;5)该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。(2)建模 设xi为对项目Ai的投资股数,H表示基金总额,mi表示项目Ai的投资上限,bi表示项目Ai每股的预计年利润,ci表示项目Ai每股的投资额,则一年后总投资利润iiixbR81,基金总额约束:Hxciii81,各项目投资额上限约束:iiimxc(i=1,2,8),从而建立如下模型。s.t.8,2,1,8,2,1,81iNximxcHxciiiiiii(3)求解 应用 Lindo 软件包,以题中
5、所给数据为例,编程求得结果,如表 3 所示。表 3 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数(股)5 1 1 4 5 2 5 5 投资额 33500 6600 4850 22000 29000 8400 23000 22500 总投资 149850 年利润 5695 1056 727.5 5060 5800 1428 9200 7875 利润率(%)17 16 15 23 20 17 40 35 总利润 36841.5 从表 3 可以看出,基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头,但有的投资项目虽然利润率较高,却未得到相应的投资势头,这说明利润率并不是影响投资的唯
6、一因素,还有另外的因素尚未考虑到,需要继续深入讨论。2模型 2(非线性整数规划)考虑到专家的信息,投资项目之间相互影响,修正模型 1。(1)假设 1)专家的信息有较高的可信度,单纯追求利润最大。2)满足模型 1 的假设 2)5)。(2)建模 由于不知道是否各相互影响的项目同时投资时,利润较大,引入 01 变量否则同时投资,0,131AAy,否则同时投资,0,154AAz,否则同时投资,0,18762AAAAu。设ib表示受同时投资影响时项目Ai每股的预计年利润,可建立如下模型。s.t.10,8,2,1,50020308,2,1,8762543181或uzyiNxuxxxxuzxxzyxxyim
7、xcHxciiiiiii 其中yxxy3031中的 30 表示A1,A3各最多投资 5 股,6 股;zxxz2054中的 20 表示A4,A5各最多投资 4 股,5 股;uxxxxu5008762 中的 500 表示A2,A6,A7,A8各最多投资 4 股,5 股,5 股,5 股。当A1,A3同时投资时,x1x30,y=1;当A1,A3不同时投资时,x1x3=0,y=0,故得A1,A3是否相互影响的约束可表示为:yxxy3031。同理可得其他两个是否相互影响的约束。(3)求解 应用 Lingo 软件包,以题中所给数据为例,编程求得结果,如表 4 所示。表 4 项目编号 A1 A2 A3 A4
8、A5 A6 A7 A8 投资股数 1 0 6 4 5 4 5 5 投资额 6700 0 29100 22000 29000 16800 23000 22500 总投资额 149100 年利润 1005 0 6111 4180 6380 2856 9200 7875 利润率(%)15 16 21 19 22 17 40 35 总利润 37607 从表 4 可以看出,随着利润率的提高,投资势头也相应增强,利润率下降,投资势头也相应减弱,这又一次反映了利润率对投资势头的强大影响。3模型 3(多目标规划&非线性整数规划)考虑到专家提供的风险损失率方面的约束,进一步修正模型 2。(1)假设 1)考虑专家
9、预测出的各项目风险率,总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量,追求利润尽可能大、风险尽可能小;2)满足模型 2 的假设 2)。(2)建模 设qi表示项目Ai的风险率,则总体风险max81iiiixcqQ,投资总利润R同模型 2,从而可建立如下模型。max R min Q s.t.同模型 2 利用法构造评价函数QRP)1(,其中权系数)0(*)0()0(*QQRRQQ,R*,Q*分别为R,Q的最优值,R(0),Q(0)分别为Q,R取最优值时R,Q的取值,可以把上述双目标规划化为如下单目标规划。s.t.同模型 2 不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出。(3)求解 引入变量s=Q,目标
10、函数化为sRP)1(,在满足上述约束条件的基础上,还要对s加以约束:sxcqiii,i=1,2,8。应用 Lingo 软件包,以题中所给的数据为例,编程求得结果,如表 5 所示,即在考虑利润和风险的基础上,均衡两者的权,得出的最佳折中方案。表 5 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数 5 4 0 4 0 0 5 5 投资额 33500 26400 0 22000 0 0 23000 22500 总投资额 127400 利润率(%)17 16 15 23 20 17 40 35 风险率(%)32 15.5 23 31 35 6.5 42 35 年利润 5965 42
11、24 0 5060 0 0 9200 7875 总利润 32054 总体风险 10720(A1的风险)从表 5 可以看出,利润率和风险率对投资的影响都很大,对利润率和风险率都大的项目应谨慎投资,对风险大,利润过小的项目应少投资,甚至不投资。但对风险较大而利润较小的项目A1投资最多,说明权系数的选择不适当。4模型 4(多目标规划&非线性整数规划)模型 3 中未考虑保留适当的现金,从开放式基金具有由投资者随时赎回的特性来理解,相比交易所挂牌上市的证券,开放式基金以其单位基金净值作为赎回标准,可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。对于突发性的赎回请示,基金管理人往往会通过保留一定的
12、资金来应付。基于此,我们在模型 3 的基础上追加考虑保留适当的现金,用以降低客户无法兑付的风险,进一步修正模型 3。(1)假设 1)考虑保留部分资金,追求利润最大、风险最小;2)不考虑原始投资人 1%的认购费率、0.5%的赎回费率;3)考虑保留资金的存储利润;4)满足模型 3 中的假设。(2)建模 模型 3 中未考虑投资者的风险偏好,而这个因素直接涉及投资方向和势头,对模型结果的影响很大。在实际中,对于不同风险偏好的投资者,其最佳投资方案有所不同。为了反映实际情况,我们把投资者偏好合并分类,各自对应的权值为:高度冒险:WR=0.8,WQ=0.2;比较冒险:WR=0.6,WQ=0.4;中性冒险:
13、WR=0.5,WQ=0.5;比较保守:WR=0.4,WQ=0.6;高度保守:WR=0.2,WQ=0.8。WR,WQ在满足WR+WQ=1 的条件下,具体取值可适当调整,这并不影响算法的实现。1)风险偏好与效用函数。投资的目的是为了将来更大的消费,即财富的增加。不同的财富水平投资者获得的效用是不同的,同样的财富增加量对不同的投资者,其带来的效用增加也有所不同。财富x与效用U之间的数量关系通常称为财富的效用函数,记为U(x)。U(x)一般是增函数,即0)(xU,但对于不同的投资者其增长的形态不同。以下是三种典型效用函数形态。风险回避型 这种人对财富的增加不很敏感,或财富增加的边际效用是递减的,通常不
14、愿意为增加财富而冒大风险,如图 1 所示。风险中性型 这种人对财富增加的态度始终是相同的,边际效用是一常数,如图 2 所示。风险偏爱型 这种人对财富具有强烈的渴望,越富越想富,财富增加的边际效用是递增的,因而愿意为增加财富而承担较大的风险,如图 3 所示。图 1 图 2 图 3 以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示:虽然实际的效用函数有可能不是二次的,但二次效用函数具有更好的概率特性。2)投资心理曲线。一般来说,人们的心理变化是一个模糊的概念,在此,对一个投资方案的看法(即对投资者的吸引力)的变化就是一个典型的模糊概念。通过查找心理学的相关资料,我们定义投资者的心理曲线为2)/(1)(x
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