洛必达法则完全证明42525.pdf

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1、洛必达法则完全证明 定理 1 00lim()lim()0 xxxxf xg x，0()lim()xxfxg x存在或为，则00()()lim=lim()()xxxxf xfxg xg x 证明见经典教材。定理 2 lim()lim()0 xxf xg x，0()lim()xxfxg x存在或为，则00()()lim=lim()()xxxxf xfxg xg x 证明：101lim()lim()0txxtf xft，101lim()lim()0txxtg xgt，由定理 1 11200021111()()()()()()lim=limlimlimlim1111()()()()()()txxtxt

2、ttxffff xfxttttg xg xgggtttt。定理 300lim()lim()xxxxf xg x，0()lim()xxfxg x存在或为，则00()()lim=lim()()xxxxf xfxg xg x 证明：001()()lim=lim1()()xxxxf xg xg xf x，由定理 1 00002221()()()()()()lim=lim=limlim()1()()()()()()xxxxxxxxg xf xf xg xg xgxfxg xg xfxf xfx 1）设0()lim()xxf xg x存在且不为 0，则 0002()()()limlim()lim()()(

3、)xxxxxxf xf xg xg xg xfx，00()()limlim()()xxxxf xfxg xg x 2）设0()lim()xxf xg x存在且为 0，设0k ，则 0()lim()0()xxf xkg x 有00()()+()lim()=lim()()xxxxf xf xkg xkg xg x()()f xg x，是不同阶无穷大，()+()f xkg x仍为无穷大，由 1）0000()()+()()+()()lim()=lim=lim=lim(+)()()()()xxxxxxxxf xf xkg xfxkg xfxkkg xg xg xg x 00()()lim=lim()()xxxxf xfxg xg x 3）设0()lim=()xxf xg x，则0()lim=0()xxg xf x，由 2）得 00()()lim=lim=0()()xxxxg xg xf xfx，00()()lim=lim=()()xxxxf xfxg xg x 综合 1）2）3）定理 3 证毕。定理 4 lim()lim()xxf xg x，0()lim()xxfxg x存在或为，则00()()lim=lim()()xxxxf xfxg xg x 证明方法类似定理 2。