平面向量的概念及线性运算42603.pdf

《平面向量的概念及线性运算42603.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的概念及线性运算42603.pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量 零向量 长度为_的向量；其方向是任意的 记作_ 单位向量 长度等于_的向量 非零向量a的单位向量为a|a|平行向量 方向_或_的非零向量 0 与任一向量_或共线 共线向量 _的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度_且方向_的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度_且方向_的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_

2、.减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差 _法则 aba(b)数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|_；(2)当0 时，a的方向与a的方向_；当|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二 向量的线性运算 例 2 在ABC中，

3、D、E分别为BC、AC边 上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设ABa，ACb，试用a，b表示AD，AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.在ABC中，E、F分别为AC、AB的 中点，BE与CF相交于G点，设ABa，ACb，试用a，b表示AG.题型三 平面向量的共线问题 例 3 设两个非零向量a与b不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A、B、D三点共

4、线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立，若1a2b0，当且仅当120 时成立，则向量a、b不共线.如图所示，ABC中，在AC上取一点N，使得AN13AC，在AB上取一点M，使得AM13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP12BN，在CM的延长 线上取点Q，使得MQCM时，APQA，试确定的值.11.用方程思想解决平面向量 的线性运算问题 试题：(14 分)如图所示，在ABO中，OC14

5、OA，OD12OB，AD与BC相交于点M，设OAa，OBb.试用a和b表示向量OM.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然OM能用a、b表示，那我们不妨设出OMmanb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答 解 设OMmanb，则AMOMOAmanba(m1)anb.ADODOA12OBOAa12b.3 分 又A、M、D三点共线，AM与AD共线.存在实数t，使得AMtAD，即(m1)anbta12b.5 分(m1)anbta12tb.m1tnt2，消去t得，m12n，即m2n1.7 分 又CMOMO

6、Cmanb14am14anb，CBOBOCb14a14ab.又C、M、B三点共线，CM与CB共线.10 分 存在实数t1，使得CMt1CB，m14anbt114ab，m1414t1nt1，消去t1得，4mn1.12 分 由得m17，n37，OM17a37b.14 分 批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧

7、.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧 1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如ABCD且AB与CD不共线，则ABCD；若ABBC，则A、B、C三点共线.失误与防范 1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.平面向量的概念及线性运算(时间：6

8、0 分钟)A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为 ()B.2 2.设P是ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则 ()PB0 PA0 PC0 PBPC0 3.已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么 ()1 且c与d同向 1 且c与d反向 1 且c与d同向 1 且c与d反向 二、填空题 4.设a、b是两个不共线向量，AB2apb，BCab，CDa2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_.5

9、.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若ACAEAF，其中，R，则_.6.如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为_.三、解答题 7.如图，以向量OAa，OBb为边作OADB，BM13BC，CN13CD，用a、b表示OM、ON、MN.8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上 B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.已知P是ABC所在平面内的一点，若CBPAPB，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部 边所在直线上 边所在直线上 边所在直线上 2.已

10、知ABC和点M满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m等于 ()是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OPOA AB|AB|AC|AC|，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的 ()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 二、填空题 4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是_(将正确的序号填在横线上).2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使ab0；xayb0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则AB与CD共线.5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的 两

11、点M、N，若ABmAM，ACnAN，则 mn的值为_.6.在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD13CACB，则_.7.已知直线xya与圆x2y24 交于A、B两点，且|OAOB|OAOB|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_.三、解答题 8.已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求GAGBGO；(2)若PQ过ABO的重心G，且OAa，OBb，OPma，OQnb，求证：1m1n3.答案 要点梳理 1.大小 方向 长度 模 零 0 1 个单位 相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 2.三角形 平行四边形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)

12、相同 相反 0 a aa ab a 基础自测 12a 3.4.2 题型分类深度剖析 例 1 变式训练 1 解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB与CD共线，而AB与CD可以不共线即ABCD.(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例 2 解 AD12(ABAC)12a12b；AGABBGAB23BEAB13(BABC)23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b.变式

13、训练 2 解 AGABBG ABBEAB2(BABC)12AB2(ACAB)(1)AB2AC(1)a2b.又AGACCGACmCF ACm2(CACB)(1m)ACm2ABm2a(1m)b，1m21m2，解得m23，AG13a13b.例 3 (1)证明 ABab，BC2a8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB、BD共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)解 kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.变式训练 3 12 课时规范训练 A

14、 组 4.1 7.解 BAOAOBab，BM16BA16a16b，OMOBBM16a56b.又ODab，ONOC13CD12OD16OD 23OD23(ab).MNONOM23a23b16a56b12a16b.即OM16a56b，ON23a23b，MN12a16b.8.解 设OAa，OBtb，OC13(ab)，ACOCOA23a13b，ABOBOAtba.要使A、B、C三点共线，只需ACAB.即23a13btba.有 23，13t，23，t12.当t12时，三向量终点在同一直线上.B 组 4.7.2 8.(1)解 GAGB2GM，又 2GMGO，GAGBGOGOGO0.(2)证明 显然OM12(ab).因为G是ABO的重心，所以OG23OM13(ab).由P、G、Q三点共线，得PGGQ，所以，有且只有一个实数，使PGGQ.而PGOGOP13(ab)ma 13m a13b，GQOQOGnb13(ab)13an13b，所以13m a13b 13an13b.又因为a、b不共线，所以 13m1313n13，消去，整理得 3mnmn，故1m1n3.