课例数轴.31253.pdf

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1、 课例：数轴 第一步 出示课例 教师：前面我们通过温度计、海平面等（屏幕显示温度计，见图 2-7）引进了负数的概念，从而将小学学过的数扩充到有理数，请问，什么叫做有理数？图 2-7 学生 1：整数和分数统称有理数 教师：整数和分数统称有理数由于整数有正整数、0、负整数，分数也有正分数、负分数，因而有理数又可以根据符号分成三类：正有理数、0、负有理数现在问，温度计显示零上 20、零下 5时，你如何用有理数来表示？学生 1：零度以上我用正数表示，记为+20；零度以下我用负数表示，记为-5 教师：很好，零上 20我们用正整数来表示，“”号可以省略，零下 5我们用负整数来表示下面，我们来看一道应用题（

2、屏幕显示题目）例 1 王明同学的家向东走 40 米是学校，向西走 60 米是书店现在规定，王明向东走为正，向西走为负，那么，王明同学从家出发，走到学校应记作什么？走到书店应记作什么？学生 2：走到学校记作+40 米，走到书店记作-60 米（屏幕显示行程路线图2-8)图 2-8 教师：（对照着图线）对，从家向东走到学校记作 40 米，从家向西走到书店记作-60 米我这里增加了“从家向东”、“从家向西”是想作两点强调，第一是强调计算的起点；第二是强调相反意义的量从而使意思表达更为规范（稍事停顿）不知大家注意到没有，在我们的大屏幕上出现过 2 个图形（大屏幕左边显示出图 2-7,右边显示出图 2-8

3、),它们虽然形状、位置、物质的构成等都很不相同，但却有共同的性质，就是通过图线从数量上表示事物，如表示温度、路程等（屏幕同时显示：）用图线表示事物的数量特征 为了表示事物的数量特征，这些图线应该有便于表示数量的构造，大家仔细观察一下温度计，其刻度线在结构上都有些什么特点？（屏幕回到图 2-7,图 2-8)学生 3：为了计算，它们都有一个起点，温度计的计算起点在 0的地方；王明走路的计算起点在出发的地方 学生 4：为了表示相反意义的量，它们都有方向，温度计是上正下负，有上下方向；王明走路是东正西负，有东西方向（讨论稍事停顿，教师及时出来调控）教师：通过观察，总结出来的两个结构特征非常好（屏幕显示

4、，在下继续出现、）有计算的起点（0；家）有表示相反意义的方向（上、下；东、西）有了这两条“表示事物的数量特征”是不是就够了呢？换句话来说，还能不能继续找出更多的特点来 学生 5：都标有数字 学生 6：温度计上有刻度 学生 7：刻度线是等距离分布的 教师：怎样才能把这些刻度的位置确定下来呢？学生 8：确定好一格的位置就行了，余下的位置只须截取 教师：对，一格就是一个测量温度的单位，叫做度，有了起点，有了单位，就可以去测量了，用测量出来的数值就可以表示温度了 所以，用图线表示事物的数量特征还要有一个单位长度（屏幕在、下方加上）有计算的单位（度；米）同学们，屏幕上显示的这 4 条性质，与温度计是否用

5、玻璃做成无关，也与温度计竖放、平放等具体位置无关，抓住这些特点，我们可以在一条直线上画出刻度，标上读数，来表示有理数（屏幕显示：温度计越变越窄，成为一条有刻度的线段，旋转为水平位置，然后加以伸长，标上刻度 0,1,2,3,4,5 及一 1，-2，-3，-4，-5，再删除其余部分，画个箭头，如图 2-9)图 2-9 教师：这是一条水平放置的特殊直线，可以用来表示数，其上有温度计或行程路线图的那 3 个特征：(1)确定了原点 有相当于 0或出发点的点，即图 2-9 中的 0 点，叫做原点 (2)规定了方向图 2-9 中从原点向右为正方向，向左为负方向，相当于温度计中 0以上为正，0以下为负(3)选

6、取了适当长度作为单位长度相当于温度计上每 1占 1 小格的长度 这样的直线比原先多了原点、正方向、单位长度，我们给它起个新名字，叫做数轴（屏幕显示数轴的定义）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 教师：这就是我们今天要进行的新课：数轴事实上，我们已经研究了这个课题的两个向题（教师在黑板上板书：22 数轴 1.数轴的体验与提炼 2.数轴的定义）有了数轴的名称和定义之后，我们来介绍数轴怎么画，然后说数轴有什么用（教师板书:3.数轴的画法）在数轴的定义中出现了4 个词：原点、正方向、单位长度、直线，画数轴主要就是落实这 4 个词，大家先对照图 2-9 画一条数轴，然后总结步骤（教师巡视，学生画

7、完数轴）教师：第 1 步先画什么好呢？学生（众）：直线 教师：因为我们是在直线上添原点、方向和单位的，所以先画直线顺理成章 学生 9：老师，画直线不也得从点开始吧？我看先取原点，然后过原点画一条直线也可以 教师：大胆的发言很有道理，我们就把“画直线、定原点，”作为画数轴的第1 步好了 第 1 步，画直线，定原点直线通常画在水平位置；原点可以任取，通常居中画一竖短线，并在该位置的下方记上数字 0(如图 2-10)图 2-10 教师：第 2 步该画什么呢？学生 10：选方向，有了方向就可以确定是在原点右方或左方取单位长度了 学生 11：我认为先取单位长度并无不可画完原点之后，跟着画单位并等距截取，

8、可能还更顺手一些 教师：取多长一段线为单位长度确实与方向无关，但给单位长度的线段端点标上数字时，就与方向有关了按照习惯，我们先选方向 第 2 步，选方向通常取原点向左的方向为正方向，画一个小箭头（如图2-11）图 2-11 第 3 步，取单位 选取适当的长度为单位长度，置于原点的右方，记为 1 通常要考虑到所表示数的大小或范围，当数字较大时，单位长度就短一些（如图2-12)图 2-12 第 4 步，完成数轴，在原点右方（正方向）用单位长度等距离截取若干点，记为 2，3，；在原点左方（负方向）用单位长度等距离截取若干点，记为一 1，-2，-3，（这些数字通常写在数轴的下方），得到图 2-9，这就

9、是一条数轴 教师：大家总结得不错，下面做一个练习，判别所画的各图，哪个是数轴？哪个不是数轴？（屏幕显示题目）例 2 判断下列各图，哪个是数轴，哪个不是数轴 图 2-13 学生 12：第(1)个图不是数轴，因为还缺少方向 学生 13：第(2)个图不是数轴，因为原点两边的单位不一致 学生 14：第(3)个图不是数轴，因为刻度下方没有标数字；学生 15：第(4)个图不是数轴，因为数字不是从左到右递增排列，-1 与-3 交换位置就成为数轴了 学生 16：第(5)个图不是数轴，因为还缺少原点 教师：掌握了数轴之后，我们用数轴来表示数分两步进行：（板书：4用数轴表示数）第 1 步，表示整数如图 2-9，将

10、整数放在数轴的刻度点上，0 与原点对应，正整数与原点右方的刻度点对应，负整数与原点左方的刻度点对应（即将整数分为主类放到数轴上）于是，每一个整数都可以在数轴上找到一个刻度点；反之，每一个刻度点都可以找到一个整数，不同的整数对应不同的刻度点，不同的刻度点对应不同的整数 第 2 步，表示分数 由午每一个分数都一定在某两个相邻的整数之间，于是，我们就在这两个相邻的整数所对应的相邻刻度点之间表示分数这样，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示数与点的互相转换，使得我们能够把数的特性显示在数轴上，反过来又可以在数轴上研究数的性质 比如，在数轴上看负数就非常直观、非常具体、非常实在了数轴上，不仅原点的右边有

11、点，左边也有点，左边的点也（对应负数）是具体的、实在的从下一节课开始，我们将借助于数轴来比较有理数的大小，并进行有理数的运算 现在，我们先来巩固一下，如何使用数轴把数表示为点，又如何把点表示为数（屏幕显示题目）（板书:5 练习）例 3 在所给数轴上画出表示下列各数的点：解 数 1 在原点右方第 1 个刻度处，我们在该刻度上画一实心黑点，并在黑点的上方记上 1 数5 在原点左方第 5 个刻度处，我们在该刻度上画一实心黑点，并在黑点上方记上5.数2.5 在原点左方第 2 与第 3 个刻度之间，我们取3 与2 的中点画一实心黑点，并在黑点上方记上2.5.下面请个同学来完成后面两个数 学生 17：数1

12、42在原点右边第4 格与第 5 格之间，取 4 与 5 的中点画一实心黑点，并在黑点上方记上142数在原点处，将原点画成实心黑点，并在黑点上方记上 0(图 2-15）图 2-15 教师：说得很规范，操作得也很准确，这里再对规范性作 4 点强调：刻度线画在直线上方，刻度点的编号写在直线下方，表示数时用实心黑点，该数字写在黑点的上方 现在我们回到例 1，建立数轴，以王明家为原点，由西向东为正方向，单位长度为 10 米，则学校的位置用什么数来表示？学生（众）：4 教师：请把 4 画在数轴上（停顿）再回答书店的位置用什么数表示？学生（众）：6 教师：请把6 画在同一数轴上下面，我们来做一个游戏，请第

13、3 排同学站起来（有 8 个学生站起来，教师给他们一条细绳子、拉直），把你们的位置调整为等距离，规定第 4 个同学为原点，由西向东为正方向，每个同学都有一个整数编号，请大家记住现在请第一排的同学依次发出口令，口令为数字时，该同学要回答“到”；口令为该同学的名字时，该同学要报出他所在的“数字”（游戏在兴趣盎然的气氛中进行，下课前2 分钟，教师做总结、布置作业）教师：今天学习的内容可以概括为两句话：(1)一个概念三个要素；(2)三个操作一个思想 这一个概念是：数轴构成数轴有三个要素，即原点、正方向、单位长度 这三个操作是：怎样画数轴，怎样把数画在数轴上，怎样把数轴上的点用数表示出来这三者的共同思想

14、是构成数与点的对应，也叫数形结合 其中，掌握概念、学会操作是重点，理解思想是难点，所有这些都还要通过后续内容来巩固 翻开第 56 页，习题 2.2 第 1 题做在书上，第 2、3 题写在作业本上 重点思考题(1)这节课的主要内容是什么（包括对重点、难点的认识）？对于接受这节课而言，学生原有哪些知识？教师怎样根据学生的认识规律来组织学习？(2）分析这堂课的教学性质，分析这堂课的教学过程如何体现教学性质？(3)从常规教学的角度分析这堂课的优点、缺点 附：课本原文 2.2 数轴 1能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数 2知道数轴有原点、正方向和单位长度，能画出数轴 3会比较数轴上

15、的数的大小 利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度(图 2-5)，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度在 0上 20 个刻度，表示 20；在 0 下 5 个刻度，表示5；等等 图 2-5 与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和 0，具体方法如下 画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（图 2-6），用这点表示0（相当于温度计上的 0）规定直线上从原点向右为正方向（图 2-7 中箭头所指的方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向（相当于温度计上 0以上为正，0以下为负）图 2-6 图 2-7 选取适

16、当的长度作为单位长度（相当于温度计上每 1占一小格的长度），在直线上，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示 1,2,3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3，（图 2-8)图 2-8 我们也可以在直线上找出表示分数或小数的点如图 2-9，从原点向右 1.4个单位长度的 A 点表示 1.4，从原点向左112 个单位长度的 B 点表示112，等等 图 2-9 像上面这样规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴所有的有理数都可以用数轴上的点表示 例 1 在所给数轴上画出表示下列各数的点：解：练习 1.在所给数轴上画出表示下列各数的点：2.指出数轴上 A，B,C,D,

17、E 各点分别表示什么数 3.先阅读课文，然后依照下列步骤画数轴：第一，画直线，定原点第二，取原点向右的方向为正方向第三，选取适当长度（例知 lcm）为单位长度第四，在数轴上标出 1,2,3，-1，-2，-3 各点（参见：中学数学教学参考，2001 年第 1-2 期）第二步 学员讨论 学员 1：我从三个方面来发言（一）教学内容上的分析 1本节课的内容主要有：(1)数轴的概念概念；(2)数轴的画法技能；(3)数轴上点与数的对应数形结合的思想这种思想第一次进人学生的头脑，应该说这是数学思想方法上的一次飞跃、一次革命所以本节课非常重要，今后的很多知识都将建立在数轴上 2.本节课融概念、技能、思想方法的

18、教学于一体，我认为其教学组织是：概念的体验概念的提炼概念的形成概念的巩固概念的应用 3本节课的认知基础有：(1)有理数的概念；(2)用有理数表示具有相反意义的量；(3)画行程图，并用有理数表示行程等；(4)实际生活体会上有温度计及其读法 这些都是构建新知识的基础 4.本节课的重点是理解数轴的概念，会画数轴，会由数描点、由点读数，以体会数形结合思想 难点有 2 个：(1)将实际问题提炼为数学问题；(2）数形结合思想的体验（二）教学设计上的分析 1优点(1)整个设计条理清楚，层次分明，以“概念的体验概念的提炼概念的形成概念的巩固概念的应用”为线索来设计(2）设计体现了建构主义的现代教学思想，重视学

19、生能力的培养，较好地暴露了知识的发生过程，而不是重结果的传输(3）本设计突出地体现了教学服务于学生的宗旨，设计符合学生的认知规律，重视新旧知识之间的作用，新认知结构是学生从已有的旧知识基础上产生的，不是老师硬灌的(4）重点突出，突破难点有力度，用了相当的篇幅来让学生体验如何形成概念，并以各种形式（包括游戏）突破数形结合思想(5)学生的参与程度高，仅个人回答就有 10 多个，还有游戏就更多了 2缺点(1)有的问题较大，学生会不知所问，茫然不知所答 如问温度计的刻度线“在结构上有什么特点？”(2)学生回答问题多，动手较少(3)有的语言过于专业化，初中生接受起来会有困难如“用图线来表示事物的数量特征

20、”（三）建议 1.关于对数轴的提炼过程，可以先请同学们将温度计用一个最简易的图形表示出来，然后观察简易温度计与行程路线图的共同性质，对于“有表示相反意义的方向”，立即说用箭头“”表示正方向，并请同学们将箭头标在直线上，去掉实际意义将使两个图变为一个图一条特殊直线，得出数轴 2.对于例 2，可以请同学们画一个像数轴而又不是数轴的图形，并说明为什么不是数轴这可能比直接给出例2 好 教师：发言有理论、有分析、有建议，比较系统，接下来的发言可就某一侧面作深层次的分析 学员 2：有的老师做一个大的温度计模型，然后去掉一些构件，得出一条带刻度的直线，这有利于提炼出数轴 学员 3：1本课例的优点有：(1)通

21、过揭示“数轴”概念的形成过程，使学生经历了“温度计（实物）图线表示事物的数量特征（数学属性）数轴（数学概念）”的过程，符合建构主义的基本原则，即知识的建构是在原有认知结构的基础上，经过顺应或同化，建立起新的认知结构(2)在数轴的画法中，进行了秩序化的教学，同时也体现了属加种差定义概念的逻辑知识，学生先画正例，后判断反例，能使学生更加准确地理解数轴的概念及其画法(3)游戏是有趣，学生参与度很高，还可以训练学生的反应能力 (4)总结非常精彩，并提出了要求：掌握概念，学会操作是重点 2缺点(1)在例 1 中“原点”的提炼不够，加问一句“家在图线上该怎么说呢？”就可把原点凸现出来(2)学生会觉得很奇怪

22、，明明是数轴上的点，怎么会又是数呢？课例缺少解决此问题的设计(3)练习中应该加上13、213，53的描点或由点找数 (4）提问是否太多了？教师：由温度计到数轴的过程也是一个数学建模的过程，中间经历了一个“感知、表象、抽象”的思维过程，这也是第 1 位学员说的思想方法教学中的一个内容，现在的问题是，有助于初一学生参与的游戏设计，体现着什么样的课型？学员 4：这是活动课对于活动之后的总结，我认为教学中一般 不向学生提“重点”、“难点”，这是教师掌握的问题，弄不好会误导学生只要掌握“重点就行了”，我建议改为让学生提出不明白的问题，既体现教学的反馈环节，又体现教学民主 教师：让学生提问题是个好主意，带

23、着问号进来，带着更多的问号出去，是认识的提高 学员 5：这个课例有活动性、完整性、趣味性和简捷美 (1)活动性让学生从实际问题的体验中提炼出概念，思维活动的空间很大；小游戏，画图操作都有活动(2)完整性，教学过程的设计完整（图 2-16)(3)趣味性用游戏让学生把所学知识应用于实际，同时可激发学生的学习兴趣，具有趣味性(4）简捷美小结简练、简单、明确 缺点提 3 条：（1)有几个地方语言太专业化；(2）有的地方语言啰嗦；(3）数轴的定义应板书，做得更规范些 教师：关于完整性的阐述，已经提炼出了数学学习的一般过程 学员 6：课例设计的引人与收尾都很有特点，引人来源于生活，例 1 选取的角度比较好

24、，家、学校、书店都是学生最熟悉的地方收尾在游戏中结束，总结方式非常精练 学员 7：数轴的三要素缺一不可，例 2 起了很好的强调作用，这是教材中没有的但题目问了“哪个是数轴？哪个不是数轴？”是不是要加上“是数轴”的图呢？请考虑 教师：这是一个有益的建议 学员 8：创设情景，让学生经历发现的过程，我赞成，但是，一节很简单的数轴课被上难了，对于初一的学生，是否需要这么专业化的思考？学员 9：这样的设计看起来似乎有些繁琐，但这些正是有意展示知识的发生过程、发展过程，展示教师的思维过程，它有助于学生“学会学习”，从而提高学习数学的能力，这些恰好是我们在实际教学中欠缺的 建议加上一个与例 1 类似的应用题

25、为好 学员 10：例 1 的设置对于形成数轴概念很有必要，但又增加了学生在抽象出数轴第 4 个特征“有计算单位”的难度可否在图 2-8 中添上刻度 教师：大家的发言已经体现了教学风格的多样性和教学设计的完善，也体现了大家丰富的教学积累 学员 11：总体上说，这是一个比较成功的课例，改变了传统中灌输式的教学方式，这对实施素质教育是非常有益的 提两点意见：一是在数轴概念的形成过程中，更多地体现了教师的意见，而学生的主动成分较少；二是教学中抽象语言出现的略多，如“数量特征”，这会增加学生学习的困难 第三步：总结评议 本总结发言包括三个部分，首先是对课例的教学过程进行分析和提炼；然后是对学习过程进行分

26、析与总结；最后是综合大家对课例优缺点的看法，其中也有教师个人的看法（一）课例的教学过程分析 1数轴概念的教学过程 本节课的教学内容可以从知识、技能、素质三个维度上去认识，但都围绕着一个中心内容：数轴因此，这节课的教学性质属于“概念教学”，具体采用了“概念形成”的方式从学习论的角度我们将其概括为 4 个阶段（图 2-17 的左边）(1)第 1 阶段，从开头到例 1 的处理结束，主要是通过复习提问的方式，呈现建立数轴的相关知识，数轴要沟通有理数（数）与直线（形）之间的联系，这涉及两个知识“直线”作为原始概念没有提问，但暗中出现在例 1 的路线图中或温度计中对“有理数”进行了提问，一方面是上节课的自

27、然复习，另方面是本节课的有意铺垫教师还特别作补充，整数分为正整数,0,负整数，以备后面将“有理数对应到直线上”使用 为了建立数轴的概念，本课例提供了两个知识基础，其一是日常生活中的“数轴”实物温度计；其二是数学中非形式化的“数轴”知识行程路线图，它们都是通过复习有理数而自然地提出来的，其中例 1 是参照上节课例 2 的结构而设置的、新添的这些生活实物与数学实例的共同特点是：具有数轴的必要因素与必要形式 这主要是指具有第二阶段要提炼的几何结构 由于温度计是等距量表而不是比率量表，没有绝对的零点，不能乘除（23没有意义），因而只是“必要”的因素而已 建立在学法需要的基础上，能激发学生从中产生问题解

28、决的必要性与启发性 从温度计、行程路线图中提炼出数轴，具有接受性、障碍性、探究性，这正是问题解决中所要求的问题的基本特征 有利于教学活动的展开与学习目标的完成 (2)第 2 阶段，从教师说“不知大家注意到没有”开始，以“引入新课”的形式，提炼出温度计与行程路线图的 4 个共同属性：用图线来表示事物的数量特征；有计算的起点；有表示相反意义的方向；有计算的单位 把这些特征逐一落实就形成数轴的画法 事实上，完全可以将共同特征与几何图示并列陈述（见图 2-17）(3)第 3 阶段，从共同属性中提炼出数轴的定义，包括课例中的两块内容，其一是从“同学们，屏幕上显示的这 4 条性质”，到写出本课题的板书之间

29、；其二是教师对“我们用数轴来表示数”的两步陈述 前者是从几何结构的外形上描述数轴，后者是从两个无穷集合之间建立对应的实质来描述数轴 学习概念通常要掌握 4 个要素：名称、定义、示例、属性此处概念的名称是“数轴”；概念的定义是“规定了原点、正方向和单位长度的直线”，概念的示例首先有图 2-9 的正例，后面还有图 2-13 的反例；概念的属性就是第 2 阶段提炼出来的 4 条共同属性，简单说就是直线、原点、方向、单位(4)第 4 阶段通过例 2、例 3、小游戏，以及对例 1 的前后照应等来巩固概念，并体现数轴的初步使用把数表示为点，把点表示为数至于数轴的应用，将是非常广泛的如：巩固相反意义的量：原

30、点的两个对称点 加深对负数的理解：原点左边的点 可借助于数轴学习相反数，学习绝对值，比较有理数的大小，建立有理数的运算，表示方程或不等式的解集等 进一步建立坐标系，研究函数，创立解析几何 由这个过程可以提炼出数轴学习的结构图示（图 2-18）图 2-18 2.由数轴的教学过程到概念教学的一般过程 对应着数轴概念教学过程的四个阶段，可以得出概念学习的一般过程（如图2-17 的右边）(1)第一阶段，感性认识阶段：提供感性材料或具体实例等思维材料，以形成对概念的感性认识，通过辨认，对其各种属性加以分化 (2）第二阶段，分化本质属性阶段：从各个不同的角度和侧面去分析比较，舍弃非本质属性，分化出概念的本

31、质属性，形成对概念的理性认识(3）第三阶段，概括形成定义阶段：给概念下定义，明确概念的内涵和外延 (4)第四阶段，应用和强化阶段：运用概念，使概念具体化，并把概念纳人概念系统，形成新的认知结构，达到概念的掌握 至于数学学习的一般过程，已如图 2-16 所示，分成四个段段：输入相互作用操作阶段输出（二）课例的学习观分析 由课例的阅读和上面对教学过程的 4 个阶段的分析可以感受到，教师没有满足于“从书本上力图准确无误地搬运知识”，而是千方百计地将教学组织为学生的学习过程教师创设情景、启发思维、组织讨论、指导游戏等等，都是为了学生的学，为了学生能在已有知识经验的基础上，主动建构出新的知识来下面的观点

32、是鲜明的 1学习是认知结构的变化 在小学的时候，已有这样的知识基础：温度计、行程路线图，直线和非负有理数进人中学之后非负有理数扩充为有理数（如图 2-19 左边）这时候 4 个知识（温度计、行程路线图、直线、有理数）是彼此无关的，特别是在有理数与直线之间，差异非常显著数轴学习的过程，就是沟通有理数与直线的联系的过程首先由温度计、行程路线图提炼出数轴的几何结构，然后建立有理数与直线上点的对应，这就得出数轴而这个数轴作为桥梁就把看上去无关的两个无穷集合建立起联系，一方面数的性质可以直观地表示在图形上，另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质（如图 2-19 右边）图 2-19 这时候，在原先

33、各自孤立而空旷的画面上，既增加了内容，又增加了联系，产生出新的认知结构在新认知结构中，一方面是知识量的增加，另一方面是结构的优化，表现在三个维度上：(1)在知识维度上，表现为增加了数轴的知识(2）在技能的维度上，表现为：学会了画数轴；会把数描到数轴上；会由数轴上的点找出相应的数(3)在素质的维度上，表现为：经历了一个由观察到抽象的数学活动过程，这是一个数学建模的过程，一个问题解决的过程，在这个过程中，积累了数学活动的经验；初步体验了数形结合的思想；初步体验了对应的思想 在对应的观点之下，有理数与直线已浑然一体了 2.要努力帮助学生提取出必要的经验和预备知识本课例没有直接从温度计飞跃到数轴，而是

34、设计了一个“概念形成”的提炼过程，这是教材留给教师的创造空间，教师也在这个空间中进行了创造教师在深入钻研教材的基础上，为学生主动建构“数轴”概念提供了 4 个必要的认识基础（学员 1 已提到过）：(1)现实具体模型：温度计（还有刻度尺、称秤、水位标杆等）(2）非形式化的“数轴”知识：行程路线图(3)有理数：用复习提问的方式呈现(4）直线：作为原始概念已存在于学生的头脑中，也在温度计、行程路线图中体现着 如此清楚地认识间题，说明教师是非常清醒的，学习观也是比较新的在这种观点的指导下，“数轴的画法”（师生共同讨论）还体现了学习是一种组织化了的社会行为 3.要善于引起学生观念上的不平衡 在复习引进中

35、，提问了“有理数”、“温度表示”、“例 1 行程图”之后，学生满以为这一阶段已经结束，殊不知这才是新问题的开始教师关于分析“温度计”、“行程路线图”中共同几何结构的问题一提出来，就打破了学生心理中潜在的平衡，引起了认知冲突 在这背后，还有一个更大的观念冲突 以前，学生心目中的数与形是截然不同的两码事，当教师提出“用数轴来表示数”时（直观上就是把无穷个有理数放到数轴上），这无论是对应的思想还是对应的操作，对学生的观念都是一个重大的挑战 通过图 2-9 总结出画数轴的 4 个步骤，也是在学生得到图 2-9,自认“平衡”的时候提出来的 由这些冲突可以看到，数轴学习主要是一个“顺应”的过程知识结构上不

36、仅有量的变化，而且有质的优化当有理数与直线沟通之后，数的比较大小、有理数的运算、方程或不等式解集的表示，进一步建立坐标系，创建解析几何等都有了直观、先进的物质基础当然，在数轴上还留下了一些“空”，隐含着引进新数的必要性（无理数）（三）从常规教学的角度分析优点、缺点 1优点表现在 3 个方面(1)教学过程完整，突出学习过程 教的方面有完整的过程：复习提问引入新课学习新课课堂练习课堂小结课后作业 这些环节不是平均用力的，重点放在帮助学生构建新知识的相应环节上 学的方面有概念学习的完整的 4 个阶段（如图 2-17），即从实例出发，以学生原有的知识经验为基础，让学生主动建构出新知识来这遵循了学生的认

37、知规律 从认识论上看，由生活实例中提炼出数学模式，再应用于数学或实际生活，这个过程也是完整的，而不仅仅是“烧中段”(2)教学内容熟悉，教学目的明确 教学性质清楚认定为概念教学，采用了“概念形成”的方式 基本内容清楚 学生原有哪些知识？这节课要建立什么新知识？它们之间有什么关系？还要补充什么必要的基础？等等，教师是一清二楚的，因而能从容不迫地发挥出深谋远虑的设计者、组织者、参与者的作用（参见图 2-17，图 2-19），并用两句话作了精练的总结 重点、难点清楚如同教师在最后总结中所说的，重点是掌握数轴的概念及画法，难点是体现在素质维度上的两方面内容：其一是从生活原型中提炼出“数轴”的几何结构；其

38、二是把无穷个有理数对应到数轴上 思想方法清楚课例不仅对知识、技能及其脉络很清楚，而且对思想方法的渗透也很清楚，其着力渗透的有“感知、表象、抽象”的思维方法，有数形结合的数学思想，有对应的数学思想(3)教学组织灵活，课堂气氛活跃 对教材进行了灵活的组织，表现在：1）参照上节课例 2 的结构编拟了个本课的例 1，充实了学生建构数轴的认知基础，并在得出数轴之后，再一次与例 1 前后照应，处理得很必要也很艺术，讨论中大家提出给图 2-8 加刻度，是有好处的，2)把“画数轴”从课堂练习移到了正课来讲，但不是作为纯技能的训练，而是作为学生总结规律的发现情景，这对培养学生的创新精神与实践能力是有好处的 3）

39、增加了例 2，让学生能从正、反两方面更本质地认识数轴，认识到数轴确实是三要素缺一不可 4)设计了“小游戏”的活动，既有数学味又有趣味性，具体进行中，原点的确定、方向的选取、单位长度的设置都可以灵活处理，可以体现画数轴的灵活性，同时也象征着数学从实际生活中来（温度计、行程问题）又回到实际生活中去 此外，游戏有利于学生的参与，有利于学生学习兴趣的激发，有利于学生应变能力的展示 5）增加了“将有理数表示到数轴上”的两步骤讲解，既是对“对应思想”的自觉渗透，又是对难点的努力突破 采用了多媒体技术其好处是：1）增加了信息量；2）增加了趣味性；3）作了一些动态的展开如温度计演变为有刻度的直线 学生的活动比

40、较充分表现在：1）从复习提问到概念的获得，从总结数轴的画法到在数轴上找点与描数，自始至终都有学生的参与，这不仅表现在学生发言的数量上，而且表现在学生思维的参与程度上 2）小游戏的展开，使学生在趣味活动中不知不觉地体会“对应的思想”，获得数学学习的体验这种学习数学的体验，在提炼“温度计”与“行程路线图”的共同属性时经历过，在发现“画数轴”的程序时也经历过 组合型的教学方法 1）在课型上，是新授课、练习课与活动课的组合，以新授课为主 2）在教法上，是讲解法、发现法、讨论法与谈话法的组合，以讲解法为主体，可以认为是一堂“有意义接受学习”课 由于教学方法的互补性、课堂活动的动态性、教学内容的差异性，囿

41、于一种课型与一种教法是不明智的 2商榷与建议(1)重视了问题的解决，缺少学生的提出问题 课例中，问题基本上都是由老师提出来的，学生的活动主要是回答问题，特别是在“概念形成”与“构成数与点的对应”中，教师控制得比较紧（学生的回答也有点理想化），在“数轴的画法”中出现了学生的发散思考，教师也是一见就收有的学员还提到，老师的问题是否有点大，学生不好回答；还有的学员提到，学生的动手是否充分(2)多媒体主要发挥了板书的作用，深层次教学技术革命尚待深入 并且，由于屏幕与黑板同时板书，内容交错呈现，是否影响板书的条理性值得思考，黑板上的板书只有几行干条条：2.2 数轴 1数轴的体验与提炼 2数轴的定义 3数轴的画法 4用数轴表示数 5练习 已经有学员提出，应板书出数轴的定义 (3)素材提炼的处理还不够细大家提出了一些建议，如“用最简单的图形”表示温度计，问例1 中“王明的家如何表示”以凸显原点等都是好建议(4)语言不够儿童化，有些地方过于成人化，另一些地方又过于专业化(5)课例中处处追求准确、完整，显得平均用力，一堂初一的课是否应该上得这么长？另外，提问是否需要这么多人？在这个问题上，大家已经有了一些认识上的碰撞(6)在概念形成与技能的训练上，本课把重点放在概念的形成上，从而也就把难点显化了 现在的问题是，难点的突破是否充分？如果不充分，反而做了夹生饭，有的学员已经表现出这方面的担心