八年级数学下册10.5分式方程细数分式学习点滴素材苏科版(2021-2022学年)8751.pdf

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1、细数分式学习点滴 分式是初中代数中的重要内容,其概念性强,涉及面广，解题方法灵活,因而容易出现错误.为防止错误的发生,学习时应注意以下几点。1.注意确定分式的关键是看分母中是否含有字母。一般地，用，B 表示两个整式，AB 就可以表示成的形式,如果 B 中含有字母，式子就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。例 1 下列各式中，哪些是整式,哪些是分式？，,，,(32y)，(x21).解 因为，,（x1）的分母中不含字母，所以它们是整式。因为,，(x-2)的分母中含有字母，所以它们是分式。说明:此题主要考查对分式的概念的理解，区分两者的关键是看分母中是否含有字母。是一个具体的数而

2、不是字母,不要误认为是分式,整式可以有字母,只要分母不含字母就不是分式。2。注意分式有无意义关键是看分母是否为零.分式是否有意义，与分子无关只要分母不等于零，分式就有意义.使分式无意义的条件是分母的值为零;使分式有意义的条件是分母的值不为零。例 2（1）当x_时,分式没有意义.(2)当 时,分式有意义 解：根据分式有无意义的条件得:(1)=3;（2）x-。说明:分式有无意义,取决于分母中字母取值是否使分母为零,所以只考虑分母即可。3.注意分式的值为零必受分母不为零的限制 BABA25a b237xx5 2xbabam14325a b5 2x43237xxbabam15 2x31xx11x要使分

3、式的值为零，必须在分式有意义的前提下，才能谈到它的值是多少.这就是说“分式的值为零”包含两层意思:一是分式有意义,二是分子的值为零,不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”.例 3 若分式的值为零,则x的值为 .解：由分式值为零的条件得：x1=且+0，得x=1;说明:在解分式值为零这类问题时必须注意到=0 且0 的条件,二者缺一不可.。注意正确使用分式基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于 0 的整式,分式值不变,用数学式子表示为:，其中是不等于零的整式.分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础,因此，我们要正确理解分式的

4、基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：(1)分式的基本性质中的A、M表示的都是整式.(2）在分式的基本性质中，M0.（）分子、分母必须“同时乘以（M)，不要只乘分子(或分母）.()性质中“分式的值不变这句话的实质,是当字母取同一值（零除外)时，变形前后分式的值是相等的.但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的。例 4 若分式中的、y的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值().不变 .是原来的 3 倍 C.是原来的 D.是原来的 解:本题考查对分式基本性的理解运用，x、y都扩大 3 倍时,分母y的值也扩大为原来 3 倍,分子x+y也扩大为原来的 3 倍，故分式的值不变。选 A

5、 说明:对分式的基本性质的理解要注意分子分母同乘（或除)同一个值不等于零的整式，一定要不等于零.例 不改变分式的值,把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数.（1)；（2)11xxABMBMABAMBMABA2xyx y131612351134xyyx0.5 0.30.2aba b 解：（1)=;(2）=。说明：解决这类问题,一般用下列方法:若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数,则分子、分母同时乘以 10n;若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数,再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。例 不

6、改变分式的值,使下列分式的分子、分母均不含有负号:(1);()-;(3）(n为正整数)解：（1)=-；（2）=；（）.说明：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变 5。注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1）先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分（约分是约去分子分母中的公因式,故约分前应先找出分子和分母的公因式);（)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否已为最简(分子分母无公因式可约）,否则应约分，化为最简。例 7 先化

7、简再求值:,其中满足.解：原式 由得原式 说明：分式的乘除运算实为约分，约分的关键是找出分子和分母的公因式，所以在解答过程中先要将分子分母进行因式分解.12351134xyyx12()603511()6034xyyx20242015xyyx0.5 0.30.2aba b(0.50.3)10(0.2)10aba b53210abab273yx23511nm12)()3(nnyx273yx273yx23511nm23511nm12)()3(nnyx12)3(nnyx12)3(nnyx2221412211aaaaaaa20aa 221(2)(2)(1)(1)(2)(1)22(1)1aaaaaaaaa

8、aa20aa 0 226。注意分式的通分关键是确定最简公分母。(1)把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分。()通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；例 8 通分,，解 2+x+2（x+1)(x+2)x2x6(x）（2)x2-2x-=(x3)（x）它们的最简公分母为（+)（x+2）(-）=2312xxx652xxx3272xxx)3()2)(1()3()1(2312xxxxxxxx)3)(2)(1(342xxxxx)1()2)(3(

9、)1()5(652xxxxxxxx)3()2)(1(562xxxxx)2()1)(3()2()7(3272xxxxxxxx =说明：如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.7。注意分式的加减法关键是通分化简(）同分母的分式加减法 同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减.即：(2）异分母的分式加减法 异分母的分式相加减，先通分,变为同分母的分式,然后再加减.即:例(1）计算;（2）计算（）解 原式=3（）解 原式=)3)(2)(1(1452xxxxxcbacbcabdbcadbdbcbdaddcba222222a12a21a1a5a21aa5a3652222xxxxx

10、x1221152153222222aaaaaaaa1)22()152()53(2222aaaaaa122152532222aaaaaa13322aa)3)(2()2)(1(2xxxxxx)3)(2)(1()1()3)(2(xxxxxxx)3)(2)(1(622xxxxxxx)3)(2)(1(62xxxx =说明:分式的加减运算,一般是先通分，通分的关键是找到最简公分母，如果最简公分母不易发现，常要将各分母进行因式分解.8注意分式的混合运算的顺序 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算过程较繁,关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行，即分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先进行乘方运算,其次进行乘、

11、除运算，再进行加、减运算,遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.例 10 先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值.解:当时，原式的值为 说明:这类题原本是化简求值题,但一改往常形式，给了我们“自主的空间，解它时,一是按常规先化简，二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件的约束（）。例 1 玉米试验田是边长为米的正方形减去边长为米的蓄水池后余下部分;B 玉米试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了 500 千克。（）哪种玉米田的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是

12、低的单位面积产量的多少倍？析解（1）玉米试验田面积是(a-1)米2,单位面积产量是 千克/米2；)3)(2)(1(62xxxx22121111xxxxxx22121111xxxxx222(1)21(1)(1)11xxxxxx2221(1)1xxx21x0 x11x15002aB玉米试验田面积是（）2米,单位面积产量是 千克/米；a21(a-1)=2(a-1）,a0,0（a1）2a21 B 玉米的单位面积产量高.（)=高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍。说明:将数学应用问题赋予实际生活背景,考查应用数学知识解决实际问题的能力,是近年来中考命题的思路之一。.注意解分式方程不能忘记验根 (）解分

13、式方程的基本思路:将分式方程转化成已学过的整式方程,进而求解为此一般采用去分母的方法,利用等式的性质将分式方程转化为整式方程，即在方程左右两边同时乘以各分母的最简公分母.()验根:由于将分式方程变形为整式方程有可能产生不适合原方程的根（即增根）,因此，解分式方程必须验根，验根的方法是将求得的根代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零,如果不为零，就是原方程根;如果值为零，就是增根，必须舍去.例 1(1)若方程有增根,则它的增根是（）A.0 .1 D1 和1 解:若方程有增根,则(x+1）（x-1)0 x=1 或x=1 2)1(500a15002a2)1(500a2)1(500a1500

14、2a2)1(500a50012a2)1()1)(1(aaa11aa11aa6(1)(1)xx1mx 故选 D(2)解分式方程：=1。解:=1 2x-1x-，2x=检验:把x=2 代入原方程得:左边=右边 x 2 是原方程的根(3)解分式方程：解:经检验：是原方程的解 原方程的解为 说明：分式方根产生增根,要全面考虑分母为零的情况.验根时将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根,若最简公分母不为零,则此根是原方程的解.10。列分式方程解应用题要理解题意 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须要验根.一方面要看原方程

15、是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.xxx3132xxx313222322xxx)4(2)2(3)2(22xxxx82634222xxxx27 x72x72x72x例 1 编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求:（1)要联系实际生活,其解符合实际;(2）根据题意列出的分式方程只含两个分式,不含常数项，分式的分母均含有未知数,并且可化为一元一次主程;(3）题目完整，题意清楚。分析:本题考查列分式方程解应用题，同学们的逆向思维能力,解题时应着重从以下三个步骤入手：第一，依题意,确定一个有实际意义的数字,如 5，当作所列应用题方

16、程的一个根；建立一个题设要求的等式,如;第二,把上述等式中的“5”用未知数x来代替,变等式为分式方程，即；第三,根据方程编出应用题。解：编题:甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 2 个，甲做 1个所用的时间与乙做 6 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？设甲每小时做个,那么乙每小时做(x2)个，根据题意，得，解得x=5 经检验,=是方程的根。答：甲每小题做个，乙每小时做 3 个。说明：这类考题，从深层次上考查学生的逆向思维能力和语言文字表达能力,解答时须根据方程特点,联想所见应用题,设计实际背景。编题本身是一种创造性劳动。因此,如何依据已知条件,按照课本上某一习题形式要求考生编拟试题,这不但可以使学生加深对解题思路的理解,而且可以培养学生的创新思维能力.2565102x6x102x6x10