与抛物线有关的结论23107.pdf

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1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 与抛物线有结论 抛物线中有一些常见、常2()22pyk xypx用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若 AB 是抛物线22(0)ypx p的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Ax y，22(,)Bx y，则：21 24pxx，21 2y yp。证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：()2pyk x，由得:2220kypykp 212y yp，2242121222244yyppx xppp。当 ABx 轴时，直线 AB 方程为2px，则1yp，2y

2、p，212y yp，同上也有：2124px x。例：已知直线 AB 是过抛物线22(0)ypx p焦点 F，求证：11AFBF为定值。证明：设11(,)A x y，22(,)B xy，由抛物线的定义知：12pAFx，22pBFx，又AF+BF=AB，所以1x+2x=AB-p，且由结论一知：2124px x。则：2121 21211()()()2224AFBFABABppppAFBFAF BFxxxxxx =222()424ABppppABp（常数）结论二：（1）若 AB 是抛物线22(0)ypx p的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为，则22sinPAB（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于

3、抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设11(,)A x y，22(,)B xy，设直线 AB:()2pyk x 由2()22pyk xypx得:,2220kypykp 122pyyk，212y yp，2212121 2222111 2111()41pkAByyyyyykkkk222222(1)2(1 tan)2tansinpkpPk。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）：AB 为通径时，90，2sin的值最大，AB最小。例：已知过抛物线29yx的焦点的弦 AB 长为 12，则直线 AB 倾斜角为 。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 解：由结论二，12=29sin（其中为直线

4、AB 的倾斜角），则3sin2，所以直线 AB 倾斜角为3或23。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知 AB 是抛物线22(0)ypx p的过焦点 F 的弦，求证：（1）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M、N，求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。证明：(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N，连结 AP、BP。由抛物线定义：AMAF，BNBF，111()()222QPAMBNAFB

5、FAB，以 AB 为直径为圆与准线 l 相切（2）作图如（1），取 MN 中点 P，连结 PF、MF、NF，AMAF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=12（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，12MPNPFPMN，PFM=FMP AFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB 以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。结论四：若抛物线方程为22(0)ypxp，过（2p，0）的直线与之交于 A、B 两点，则 OAOB。反之也成立。证明：设直线 AB 方程为:(2)yk xp，由 2(2)2yk xpypx得，0，12xx

6、k，12x xb AOBO，AOBO22121212121212()()(1)()0 x xy yx xkxb kxbkx xkb xxb 将12xxk，12x xb 代入得，1b。直线 AB 恒过定点（0，1）。221212121111()441222AOBSxxxxx xk B A M N Q P y x O F O A M N P y x F B word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 当且仅当 k=0 时，AOBS取最小值 1。结论五（了解）：对于抛物线22(0)xpy p，其参数方程为222xptypt，设抛物线22xpy上动点P坐标为2(22)ptpt，O为抛物线的顶点，显然22

7、2OPptktpt，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率 例 直线2yx与抛物线22(0)ypx p相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为5 13，求P的值 解析：设点A B，分别为22(22)(22)AABBptptptpt，则112AOAtk，12BOAOBtkk A B，的坐标分别为(84)2pppp，228(4)2pABppp5135 132p2p 练习：1.过抛物线2(0)yaxa的焦点F作一直线交抛物线于PQ，两点，若线段PF与FQ的长分别是pq，则11pq=【解析：化为标准方程，得21(0)xy aa，从而12pa取特殊情况，过焦点F的弦PQ

8、垂直于对称轴，则PQ为通径，即12PQpa，从而12pqa，故114apq】2.设抛物线22(0)ypx p的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A B，两点点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O【证明：抛物线焦点为02pF，设直线AB的方程为2pxmy，代入抛物线方程，得2220ypmyp若设1122()()A xyB xy，则212y yp BCx轴，且点C在准线12COpky；又由2112ypx，得1112AOypkxy，故COAOkk，即直线AC经过原点O】3.已知抛物线的焦点是(11)F，准线方程是20 xy，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程【解：设()P xy，

9、是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得222(1)(1)2xyxy 整理，得222880 xyxyxy，此即为所求抛物线的方程 抛物线的对称轴应是过焦点(11)F，且与准线20 xy垂直的直线，因此有对称轴方程word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 yx 设对称轴与准线的交点为M，可求得(11)M，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(0 0)，】4.抛物线的顶点坐标是(10)A，准线l的方程是220 xy，试求该抛物线的焦点坐标和方程 解：依题意，抛物线的对称轴方程为220 xy 设对称轴和准线的交点是M，可以求得6255M，设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点坐标为4 25 5F，再设()P xy，是抛物线上的任一点，根 据 抛 物 线 的 定 义 得222242555xyxy，化 简 整 理 得22444120 xyxyxy，即为所求抛物线的方程 5.已知A B，为抛物线24xy上两点，且OAOB，求线段AB中点的轨迹方程 解析：设OAkt，1OBOBOAkt，据t的几何意义，可得224 4(4 4)At tBt t，设线段中点()P xy，则222214142214142.2xttttytttt，消去参数t得P点的轨迹方程为22(4)xy