随机变量的特征函数10920.pdf

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1、.第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 特征函数 容提要 1.特征函数的定义 设*是一个随机变量,称)()(itXeEt 为*的特征函数,其表达式如下 由于1sincos22txtxeitx,所以随机变量*的特征函数)(t总是存在的.2.特征函数的性质(1)1)0()(t;(2),()(tt其中)(t表示)(t的共 轭;(3)假设Y=a*+b,其中a,b是常数.则);()(atetXibtY(4)假设*与Y是相互独立的随机变量,则);()()(tttYXYX(5)假设()lE X存在,则)(tX可l次求导,且对lk 1,有);()0()(kkkXEi(6)一致连续性 特征函数)(t在),(上

2、一致连续(7)非负定性 特征函数)(t是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数nttt,21和n个复数nzzz,21,有;0)(11jkjnknjkzztt(8)逆转公式 设F(*)和)(t分别为*的分布函数和特征函数,则对F(*)的任意两个点21xx,有 特别对F(*)的任意两个连续点21xx,有(9)唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10)假设连续随机变量*的密度函数为p(*),特征函数为).(t如果 dtt)(,则 3.常用的分布函数特征表 分布 特征函数.退化分布P(*=a)=1 itaet)(二项分布 pqpeqtnit1,)()(几何分布 pqtititqepe

3、1,)(1 正态分布 222exp)(ttit 标准正态分布 22)(tet 均匀分布 U(a,b)itabeeitaitbt)(均匀分布U(-a,b)atattsin)(指数分布 1)1()(itt 伽玛分布 Ga(,)()(1)itt 2分布 2)21()(nitt 泊松分布)1(exp)(itet 习题与解答 4.1 1.设离散随机变量*的分布列如下,试求*的特征函数.*0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 解 titiitxeeet321.02.03.04.0)(2.设离散变量*服从几何分布 .,2,1,)1()(1kppkXPk 试求*的特征函数,并以此求 E(*)和

4、Var(*).解 记q=1-p,则 ititKititkkitkitxqepeqepepqeeEt1)()()(111,21)(ititqeipet,42)1()1(2)1()(ititititititqeqeqepeqepet,pqpiXE1)1()0(1)(2,.242 21)1()1(2)1()0(1)(pqqqpqqpiXE,3设离散随机变量*服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rkrpprkkXP,1,kr r试求*的特征函数.解 设rXXX,21是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几何分布 Ge(p),则由上一题知jX的特征函数为 其中q=1-p.又因为rXXXX21,所以*

5、的特征函数为 rjrititxXqepettj1)1()()(.4求以下分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dteaxFxta2)(1 (a0);(2)dtataxFx2221)(a0).解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xaeaxp.x 所以此分布的特征函数为 =.cos2220taadxtxeaax 又因为,)(2)(22221tatat,0)0(1,)()3(2)(322222 1taatat,2)0(2 1a 所以 0,(0)1)(1iXE Var(*)=.a2(0)1)(2 122iXE(2)因为此分布的密度函数为 ,1)(222axaxp.x 所以此

6、分布的特征函数为 又因为当t0 时,有(见菲赫金哥尔茨微积分学教程第二卷第三分册或查积分表).2cos022ateadxaxtx 所以当t0 时,有 .22)(2atateeaat 而当t 又因为)(2t在t=0 处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：dxaxeaxitx222)(也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t0 时,5.设),(2NX试用特征函数的方法求*的 3 阶及 4 阶中心矩.解 因为正态分布),(2N的特征函数为,)(2/22ttiet所以 由此得*的 3 阶及 4 阶中心矩为 6.试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：假设*b(n,p),Y b(m

7、,p),且*与Y独立,则*+Y b(n+m,p).证 记q=1-p,因为nitXqpet)()(,mitYqpet)()(,所以由*与Y的独立性得()()()()itn mXYXYtttpeq,这正是二项分布b(n+m,p)的特征函数,由唯一性定理知*+Yb(n+m,P).7.试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：假设*P(1),Y P(2),且*与Y独立,则*+YP(1+2).证：因为,)(,)()1()1(21ititeYeXetet 所以由*与Y独立性得 这正是泊松分布 P(1+2).的特征函数,由唯一性定理知*+Y P(1+2).8.试 用 特 征 函 数 的 方 法 证 明 伽 玛

8、 分 布 的 可 加 性：假 设),(1aGaX),(2aGaY,且*与Y独立,则),(21aaGaYX.证 因为 1)1()(aXitt,2)1()(aYitt,所以由*与Y的独立性得)(21)1()()()(aaYXYXitttt,这正是伽玛分布),(21aaGa的特征函数,由唯一性定理知 ),(21aaGaYX.9.试用特征函数的方法证明2分布的可加性：假设)(2nX,)(2mY,且*与Y独立,则).(2mnYX 证 因为2)21()(nXitt,2)21()(mYitt,所以由*与Y的独立性得 2)()21()()()(mnYXYXitttt,.这正是2分布2(n+m)的特征函数,由唯

9、一性定理知).(2mnYX 10.设iX独立同分布,且niExpXi,2,1),(.试用特征函数的方法证明:niinnGaXY1),(.证 因为1)1()(ittiX,所以由诸iX的相互独立性得nY的特征函数为 nYittn)1()(,这正是伽玛分布),(nGa的特征函数,由唯一性定理知),(nGaYn.11.设连续随机变量*服从柯西分布,其密度函数如下：xxxp,)(1)(22,其中参数,0,常记为),(ChX,(1)试证*的特征函数为ttiexp,且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2)当1,0时,记Y=*,试证)()()(tttYXYX,但是*与不独立；(3)假设nXXX,21相互独立,

10、且服从同一柯西分布,试证：与*i同分布.证 (1)因为 XY的密度函数为xyxp,1)(22,由本节第 4 题(2)知Y 的特征函数为()exp|Ytt.由此得 YX的特征函数 ttittittYYXexp)(exp)()(.下证柯西分布的可加性:设)2,1(iXi服从参数为ii,的柯西分布,其密度函数为:2,1,)(1)(22ixxxpii.假设1X与2X相互独立,则 ttitttXXXX)(exp)()()(21212121,.这正是参数为2121,柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,21XX 服从参数为2121,的柯西分布.(2)当1,0时有 ttX exp)(,ttY exp)(,

11、所以 tttexpexp2exp)()(ttYX.由于Y=*,当然*与Y不独立.此题说明,由)()()(tttYXYX不能推得*与Y独立.(3)设iX都 服 从 参 数 为,的 柯 西 分 布,则 特 征 函 数 为ttit exp)(.由 相 互 独 立 性 得,niiXn11 的 特 征 函 数 为 ttintn exp)/(,即 niiXn11与*1具有一样的特征函数,由唯一性定理知它们具有一样的分布.12.设连续随机变量*的密度函数为p(*),试证：p(*)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记*的特征函数为)(tX.先证充分性,假设)(tX是实的偶函数,则)()(t

12、tXX或)()(ttXX,这说明*与-*有一样的特征函数,从而*与-*有一样的密度函数,而-*的密度函数为p(-*),所以得p(*)=p(-*),即p(*)关于原点是对称的.再证必要性.假设p(*)=p(-*),则*与-*有一样的密度函数,所以*与-*有一样的特征函数.由于-*的特征函数为)(tX,所以)()(ttXX=_)(tX,故)(tX是实的偶函数.13.设nXXX,21独立同分布,且都服从N(2,)分布,试求niiXnX1_1的分布.解：因为*j的特征函数为2/22)(ttijet,所以由诸*i互相独立得_X的特征函数为)2/(22)/()(nttiniXentt这是正态分布N(n/,2)的特征函数,所以由唯一性定理知niiXnX1_1N(n/,2)