鸡兔同笼-教师版11901.pdf

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1、-鸡兔同笼 第一局部：知识介绍 鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在1500年前，?*子算经?中就记载了这个有趣的问题。书中是这样表达的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.这四句话的意思是：有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚求笼中各有几只鸡和兔.你会解答这个问题吗.你想知道?*子算经?中是如何解答这个问题的吗.解鸡兔同笼的根本步骤 1.砍足法金鸡独立：解答思路是这样的：假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡，每只兔就变成了“双脚兔。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的

2、总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512只显然，鸡的只数就是351223只了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼问题的经典思路“假设法。2.假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很微妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比拟，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的根本关系式是：如果假设全是兔，则则有：鸡数=每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数每只兔子脚数-每只鸡的脚数 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，则就有：兔数=实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数每只兔子脚数-每只鸡的脚数 鸡数=鸡兔总数-兔

3、数 3.鸡兔关系：当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的 2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的 2 倍。在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、-行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二局部：例题精讲【例 1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只.【考点】鸡兔同笼【解析】假设46只都是兔，一共应有446184只脚，这和的128只脚相比多了18412856只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422只脚，则56只脚是我们把56228只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818只。【答案】鸡 28 只，兔

4、18 只【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有 多少.【考点】鸡兔同笼【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36218只，假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有4 1872只 脚，多了725220只脚，由假设引起的差值：422只，则鸵鸟数为20210只，大象数为18108头。【答案】鸵鸟 10 只，大象 8 头【例 3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿 和鸵鸟各有多少只.【考点】鸡兔同笼【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数一样，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：20820216

5、8(只)。这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数一样)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246(只)，所以梅花鹿的只数是：168628(只)，从而鸵鸟的只数是：282048(只)【答案】鸵鸟 48 只，梅花鹿 28 只【例 4】一个养殖园内，鸡比兔多 36 只，共有脚 792 只，鸡兔各几只.【考点】鸡兔同笼【解析】鸡比兔多 36 只，如果把多的 36 只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的 36只鸡有23672只脚，可知现在剩下79272720只脚，一只鸡与一只-兔有 6 只脚，则兔有7206120只，鸡有12036156只 【答案】兔 120 只，鸡

6、156 只【例 5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只.【考点】鸡兔同笼【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，则就有兔脚：1074428只，而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372只。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少426只。鸡的只数：372662只，兔的只数：1076245只。【答案】兔 45 只，鸡 62 只【例 6】每只完整的螃蟹有 2 只鳌、8 只脚。现有一批螃蟹，共有 25 只鳌，120 只脚。其中 可能有多少缺鳌少脚

7、的，但每只螃蟹至少保存 1 只鳌、4 只脚。这批螃蟹最多有 只，至少有只。【考点】鸡兔同笼【解析】假设要螃蟹尽量多，则螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为 1，螃蟹最多为 25 只，只看脚的话，脚最少为 4，螃蟹最多为120430只，所以螃蟹最多为 25 只，同理假设要螃蟹尽量少，则螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为 2，螃蟹最少为121 13 只，只看脚的话，脚最多为 8，螃蟹最少为120815只，所以螃蟹最少为 13 只。【答案】螃蟹最多有 25 只，至少有 13 只【例 7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些 车共有127个轮子，则三

8、轮摩托车有多少辆.【考点】鸡兔同笼【解析】假设都是三轮摩托车，应有3 41123(个)轮子，少了1271234(个)轮子。每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431(个)轮子汽车有4 14(辆)；从而求出三轮摩托车有41437(辆)，或者假设都是汽车，应有441164(个)轮子，多了16412737(个)轮子；所以摩托车有37(43)37(辆)-【答案】摩托车有 37 辆。【例 8】10 年上外口试题一*数学试卷，只有25道选择题做对一题得4分，做错一题 倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。假设小明得了78分，则他做对 题，做 错 题，没做 题。【考点】鸡兔同笼【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问

9、题，需要寻找一些特殊的线索。小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分。78419，所以可以知道小明至 少做对20道题目，否则一定低于4 1976(分)；再假设他做对21题，发现即使 另外四题都错，小明仍然有421 1 480(分)，超过了78分，所以小明至多做 对20道题目；综上，可以断定小明做对了20道题。至此此题转化为简单鸡兔同笼 问题。假设剩下5题全部没做，则小明应得42080(分)。但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做。所以小明做对了20道题，做错 了2道题，没做3道题。【答案】小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题。【例 9】大、小猴共35只，它们一

10、起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采 摘15千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监视的时候，每只猴子不管 大小每小时都可以多采摘12千克。一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小 时猴王在监视，结果共采摘了4400千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只.【考点】鸡兔同笼【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400352 123560(千克)；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采3560

11、8445(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘1535525(千克)，比实际多采了52544580(千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15114(千克)。因此可以求出小猴子有：80420(只)。【答案】小猴子有 20 只【例 10】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只 白球、15只红球如果经过假设干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球则 箱子里原有红球多少只.-【考点】鸡兔同笼【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白

12、球应该不变，仍然是3个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3 3211(只)。但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了4267(次)。所以可以知道原来有红球7 1553158(只)。【答案】红球有 158 只【例 11】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对(蜘蛛 8 条腿；蜻 蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只.【考点】鸡兔同笼【解析】这是在鸡兔同笼根底上开展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，

13、求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿数为6 18108(条)，所差11810810(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(118108)(86)5(只)蜘蛛。这样剩下的18513(只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设 13 只都是蝉，则总翅膀数1 1313(对)，比实际数少 20137(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7(21)7(只)。【答案】蜻蜓有 7 只【例 12】从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小 时 3 千米,平路上速度是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千

14、米.从甲地到 乙地,李强行走了 10 小时;从乙地到甲地,李强行走了 11 小时.问从甲地到 乙地,各种路段分别是多少千米.【考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程 452=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。把上坡和下坡合并成一种路程,平均速度是每小时 4 千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题。因此平路所用时间是(90-421)-(5-4)=6(小时)。单程平路行走时间是 62=3(小时)。从甲地至乙地,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是 45-53=30(千米)。又是一个鸡兔同笼问题。从 甲地至乙地,上坡行走的时间是(67-30)(6-3)=4(小时)

15、。行走路程是 34=12(千米)。下坡行走的时间是 7-4=3(小时)。行走路程是 63=18(千米)。【答案】上坡 12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米 第三局部：课堂检测【检测 1】体育教师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问教师买上衣和裤子各多少件.【考点】鸡兔同笼【解析】假设买的都是上衣，则裤子的件数为：(2421439)(2419)13件，上衣：21 138件。【答案】上衣 8 件，裤子 13 件【检测 2】*学校有 30 间宿舍，大宿舍每间住 6 人，小宿舍每间住 4 人这些宿舍中 共住了 168 人，则其中有多少间大宿舍.

16、【考点】鸡兔同笼【解析】如果 30 间都是小宿舍，则只能住4 30120人，而实际上住了 168 人。大宿舍比小宿舍每间多住642人，所以大宿舍有168120224（）间。【答案】大宿舍有 24 间【检测 3】春风小学 3 名同学参加数学竞赛，共 10 道题，答对一道题得 10 分，答错一道题 扣 3 分，这 3 名同学都答复了所有的题，小明得了 87 分，小红得了 74 分，小华 得了 9 分，他们三人一共答对了_ 道题。【考点】鸡兔同笼【解析】三人共得87749170(分)，比总分值10 103300(分)少300170130(分)因此三个人共做错：130(103)10(道)题，一共答对了

17、301020(道)题。【答案】一共答对了 20 道题。-【检测 4】*场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共 400*，甲类票 50 元*，乙类票 40 元/*，丙类票 30 元/*，共收入 15500 元，其中乙类、丙类门票*数一样 则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少*?【考点】鸡兔同笼【解析】乙类、丙类门票*数一样，则可以看成价格为 35 元*的同一类门票。容易得到甲类门票售出 40050400155005035100*，乙类、丙类各售出(400-100)2=150*。【答案】甲类售出 100*，乙类售出 150*，丙类售出 150*第四局部：家庭作业【作业 1】鸡兔共有45只，关在同一个笼

18、子中，笼中共有100条腿。试计算，笼中有鸡多少 只.兔子多少只.【考点】鸡兔同笼【解析】假设假设所有的45只动物都是兔子，则一共应该有445180(条)腿，比实际多算18010080(条)腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45405(只)兔子。【答案】鸡 40 只，兔子 18 只【作业 2】100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41 组。问：高、低年级学生各多少人?【考点】鸡兔同笼【解析】如全为高年级学生，则只需 41282人，实际 100 人，1008218人，所以有 18 组低年级学生，41

19、1823组高年级学生，高年级学生为 23246人，低年级学生为 18354人。【答案】高年级 46 人，低年级 54 人【作业 3】*次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪 得了79分，他做对了多少道题.【考点】鸡兔同笼【解析】做错(52079)(52)3(道)，因此，做对的20317(道)-【答案】做对了 17 道【作业 4】100个和尚160个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍问：大、小和 尚各有多少人.【考点】鸡兔同笼【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，则就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，则共需馍300

20、个，比实际多300160140(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3 12(个)，因为140270，故小和尚 70 人，大和尚1007030(人)。【答案】大和尚 30 人，小和尚 70 人【作业 5】现有大小油桶 50 个，每个大桶可装油 4 千克，每个小桶可装油 2 千克，大桶比 小桶共多装油 20 千克，问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼【解析】假设 50 个油桶都是大桶，则共装油(450)200千克，而这小桶所装油则为 0。这样大桶比小桶多装 200 千克，比条件所给的差数多了(20020)180千克，假设在 50 个大桶中把一局部大桶换成小桶，则每拿一个大

21、桶换成小桶，大桶装的油就减少 4 千克，而小桶共装的油就增加 2 千克，则大桶比小桶多装的数量就减少(42)6千克，所以小桶有：180630(个)，大桶有：503020(个)。【答案】大桶有 20 个，小桶有 30 个【作业 6】一份稿件,甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成,现在甲单独打假设 干小时后,因有事由乙接着打完,共用了 7 小时.甲打字用了多少小时.【考点】鸡兔同笼【解析】我们把这份稿件平均分成 30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数),甲每小时打 306=5(份),乙每小时打 3010=3(份)。现在把甲打字的时间看成 兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,

22、总头数是 7。兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3,总脚数是 30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5 小时,乙打字用了 2.5 小时.【答案】甲打字用了 4.5 小时-【作业 7】有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100*，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3。现在把这 些卡片放在桌子上，让每*卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所 显示的数字之和为234。假设把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之 和则变成123。问黄色卡片

23、有多少*.【考点】鸡兔同笼【解析】开场的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2。如果全部是红色卡片，则数字之和为：2 100200，比实际的少：23420034。每增加一*黄色或绿色卡片，则数字就会增加：321。则，黄色和绿色卡片之和：34134*，红色卡片有：1003466*。翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2。红色卡片有66*，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：1231 6657。如果34*卡片都是黄色的，则这34*卡片上的数字之和为：1 3434，比实际的少：573423。每增加一*绿色卡片，数字之和就会增加：2 1 1，所以，绿色卡片有：23 123*，黄色卡片有：342311*。【答案】黄色卡片有 11*【作业 8】车库中停放假设干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是2 5。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少.【考点】鸡兔同笼【解析】车库中，平均每 2 辆车有 5 个轮子，也就是说，平均每 4 辆车有 10 个轮子。简单的试凑可以知道，1 辆小卧车和 3 辆摩托车恰好有 10 个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为 31【答案】摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为 31