八年级下册初二数学《因式分解》教案46137.pdf

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1、因式分解【知识梳理】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积 例：111()333axbxx ab 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法 提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字

2、或字母，也可以是一个单项式或多项式。【例题】333234221286a b ca b ca b c的公因式是 【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、8、6，它们的最大公约数为 2；字母部分33323422,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多项式的公因式是 232a b c 小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。【基础练习】1ax

3、、ay、ax 的公因式是_；6mn2、2m2n3、4mn 的公因式是_ 2下列各式变形中，是因式分解的是（）Aa22abb21（ab）21 B)11(22222xxxx C（x2）（x2）x24 Dx41（x21）（x1）（x1）3将多项式6x3y2 3x2y212x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）A3xy B3x2y C3x2y2 D3x3y3 4多项式 ana3nan2分解因式的结果是（）Aan（1a3a2）Ban（a2na2）Can（1a2na2）Dan（a3an）5把下列各式因式分解：5x2y10 xy215xy 3x（mn）2（mn）3（x3）26（3x）y（xy）2（yx）3

4、 2x2n4x n x（ab）2nxy（ba）2n1 6应用简便方法计算：（1）2012201 （2）（3）说明 320043199103198能被 7 整除【提高练习】1把下列各式因式分解：（1）16a2b8ab_；（2）x3（xy）2x2（yx）2_ 2在空白处填出适当的式子：（1）x（y1）（）（y1）（x1）；（2）cbab3294278（）（2a3bc）3如果多项式 x2mxn 可因式分解为（x1）（x2），则 m、n 的值为（）Am1，n2 Bm1，n2 Cm1，n2 Dm1，n2 4（2）10（2）11等于（）A210 B211 C210 D2 5已知 x，y 满足,13,62y

5、xyx求 7y（x3y）22（3yx）3的值 6已知 xy2，,21xy求 x（xy）2（1y）x（yx）2的值 7因式分解：（1）axaybxby；（2）2ax3am10bx15bm 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。平方差公式 式子：)(22bababa 语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。【例题 1】在括号内写出适当的式子：025m4（）2；ny294（）2；121a2b6（）2【例题 2】因式分解：（1）x2y2（）（）；（2）m216（）（）；（3）49a24（）（）；

6、（4）2b22（）（）【基础练习】1下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）Ay249x2 B4491x Cm4n2 D9)(412 qp 2下列因式分解错误的是（）A116a2（14a）（14a）Bx3xx（x21）Ca2b2c2（abc）（abc）D)l.032)(32l.0(l0.09422nmmnnm 3把下列各式因式分解：（ab）264 m481n4 （2a3b）2（ba）2 4利用公式简算：（1）20082008220092；（2）512492 5已知 x2y3，x24y215，（1）求 x2y 的值；（2）求 x 和 y 的值【提高练习】1因式分解下列各式：（1）mm 316

7、1_；（2）x416_；（3）11mmaa_；（4）x（x21）x21_ 2把（3m2n）2（3m2n）2分解因式，结果是（）A0 B16n2 C36m2 D24mn 3下列因式分解正确的是（）Aa29b2（2a3b）（2a3b）Ba581ab4a（a29b2）（a29b2）C)21)(21(212212aaa Dx24y23x6y（x2y）（x2y3）4把下列各式因式分解：m2（xy）n2（yx）3（xy）227 （3m2n2）2（m23n2）2 5已知,4425,7522yx求（xy）2（xy）2的值 6分别根据所给条件求出自然数 x 和 y 的值：（1）x、y 满足 x2xy35；（2）

8、x、y 满足 x2y245 完全平方公式（1）式子：222222)(2)(2babababababa 拓展：)()(22332233babababababababa【例题】分解因式：22222222)2(22244)7(7724914aaaaaxxxxx【变式练习】1分解因式：41242xx=；21449aa=2因式分解244aa，正确的是()A24(1)aa B2(2)a C(2)(2)aa D2(2)a【注意】公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】223)(9)(6)(nmnmnm 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】)2)(2(

9、2)2(2)4(2822223xxxxxxxxx【变式练习】1分解因式：222050 xx 2分解因式：2)(9)(124yxyx 3分解因式：2882x yxyy_ _ 4分解因式：(a+b)34(a+b)=_ 5分解因式：3m(2xy)23mn2_ 6因式分解：2222(1)2(1)(1)xyx yy 【基础练习】1在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x26x（）（）2；（2）x2（）4y2（）2；（3）a25a（）（）2；（4）4m212mn（）（）2 2若 4x2mxy25y2（2x5y）2，则 m_ 3将 a224a144 因式分解，结果为（）A（a18）（a8）B（a12）（

10、a12）C（a12）2 D（a12）2 4下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（）9a21；x24x4；m24mnn2；a2b22ab；;913222nmnm （xy）26z（xy）9z2 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5下列因式分解正确的是（）A4（mn）24（mn）1（2m2n1）2 B18x9x299（x1）2 C4（mn）24（nm）1（2m2n1）2 Da22abb2（ab）2 6把下列各式因式分解：a216a64 x24y24xy（ab）22（ab）（ab）（ab）2 4x34x2x 7计算：（1）2972 （2）8若 a22a1b26b90，求 a2b2的值【提高练

11、习】1把下列各式因式分解：（1）25（pq）210（pq）1_；（2）an1an12an_；（3）（a1）（a5）4_ 2如果 x2kxy9y2是一个完全平方公式，那么 k 是（）A6 B6 C6 D18 3如果 a2ab4m 是一个完全平方公式，那么 m 是（）A2161b B2161b C281b D281b 4如果 x22axb 是一个完全平方公式，那么 a 与 b 满足的关系是（）Aba Ba2b Cb2a Dba2 5把下列各式因式分解：2mx24mxy2my2 x3y2x2y2xy3 2341xxx（m2n2）24m2n2 x22x1y2 x22xyy22x2y1（a1）2（2a3

12、）2（a1）（32a）2a3 6若,31xx求221xx 的值 7若 a4b4a2b25，ab2，求 a2b2的值 8已知 x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方和公式，x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a38 （2）27a31 分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：bnbmanam、baba22等 步骤：1分组 2提取公因式【例题 1】把多项式1abab分解因式 解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)a bbab【变式练习】因式分解：bcacaba2 将多项式分组后能运用公式进行因式分

13、解(三一分项)形式：2222cbaba【例题 2】将多项式2221aabb 因式分解 解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab 【变式练习】因式分解：xyyx22522 19622yxyx 十字相乘法(拓展)形式：)()(2qxpxpqxqpx(二次项系数为 1)分析：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数。【例题 1】分解因式：322 xx 2因式分解：652 xx 形式：).)(22112cxacxacbxax(拓展)分析：a=21aa；c=21cc，1221cacab 形式如cbxax2的式子要进行因式分解，确定其中的2121,ccaa是一

14、个尝试的过程。【例题 2】分解因式322 xx 所以 )1)(32(322xxxx【基础练习】1将下列各式因式分解：（1）x25x6_；（2）x25x6_；（3）x25x6_；（4）x25x6_ 2将 a210a16 因式分解，结果是（）A（a2）（a8）B（a2）（a8）C（a2）（a8）D（a2）（a8）3因式分解的结果是（x3）（x4）的多项式是（）Ax27x12 Bx27x12 Cx27x12 Dx27x12 4如果 x2pxq（xa）（xb），那么 p 等于（）Aab Bab Cab Dab 5若 x2kx36（x12）（x3），则 k 的值为（）A9 B15 C15 D9 6把下列

15、各式因式分解 m212m20 x2xy6y2 x210 xy9y2（x1）（x4）36 ma218ma40m x35x2y24xy2 7已知 xy0，x3y1，求 3x212xy13y2的值【提高练习】1多项式 x23xyay2可分解为（x5y）（xby），则 a、b 的值为（）Aa10，b2 Ba10，b2 Ca10，b2 Da10，b2 2若 x2（ab）xabx2x30，且 ba，则 b 的值为（）A5 B6 C5 D6 3将（xy）25（xy）6 因式分解的结果是（）A（xy2）（xy3）B（xy2）（xy3）C（xy6）（xy1）D（xy6）（xy1）4观察下列各式：1234152；

16、23451112；34561192；判断是否任意四个连续正整数之积与 1 的和都是某个正整数的平方，并说明理由【全章巩固练习】1把(xy)2(yx)分解因式为()A(xy)(xy1)B(yx)(xy1)C(yx)(yx1)D(yx)(yx1)2若 a+b=4，则 a2+2ab+b2的值是()A8 B16 C2 D4 320062005(8)(8)能被下列数整除的是()A3 B5 C7 D9 4下列分解因式结果正确的是()A6(x2)+x(2x)=(x2)(6+x)Bx3+2x2+x=x(x2+2x)Ca(ab)2+ab(ab)=a(ab)D3xn+1+6xn=3xn(x+2)5如果 ba=6，

17、ab=7，那么 a2bab2的值是()A42 B42 C13 D13(1)(2)6已知x27xy+12y2=0，那么x与y的关系是_ 7利用因式分解简便计算57 9944 9999正确的是()A99(5744)99 1019999 B99(5744 1)99 1009900 C99(57441)99 10210098 D99(574499)992198 8 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式_ 9在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方 形()ab，再沿虚线剪开

18、，如图(1)，然后拼成一个 梯形，如图(2)根据这两个图形的面积关系，表明 下列式子成立的是()A22()()abab ab B222()2abaabb C222()2abaabb D222()abab 10利用简便方法计算：(1)23+59+18；(2)+(20)11分解多项式：(1)16x2y2z29 (2)81(a+b)24(ab)2 (3)x(xy)y(yx)(4)12x3+12x2y3xy2 (5)(x+y)2+mx+my (6)a(xa)(x+y)2b(xa)2(x+y)12已知ab2005，ab20082005，求a2bab2的值。13已知(4x2y1)2+2xy=0，求 4x2

19、y4x2y2+xy2的值 甲 乙 14求证：无论x、y为何值，3530912422yyxx的值恒为正。15用分解因式说明：127525 能被 60 整除。16已知cba、是ABC的三边的长，且满足0)(22222cabcba，试判断此三角形的形状 17观察下列各式：12+(12)2+22=9=32 22+(23)2+32=49=72 32+(34)2+42=169=132 你发现了什么规律 请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理 18阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+

20、x)3(1)上述分解因式的方法是 法，共应用了 次。(2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)2007，则需要应用上述方法 次，分解因式后的结果是 。(3)请用以上的方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)，必须有简要的过程。解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n 19阅读下列计算过程：9999+199=992+299+1=(99+1)2=100 2=10 4(1)计算：999999+1999=_=_=_=_；99999999+19999=_=_=_=_。(2)写出计算过程。20如图，边长为ab，的矩形，它的周长为 14，面积为 10，求22a bab的值。21如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片 1 张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少