第三讲--托勒密定理及其应用30764.pdf

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1、第三讲 托勒密定理及其应用 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：；内接于圆，则有：设四边形BDACBCADCDABABCD；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCDBDACBCADCDABABCD 一、直接应用托勒密定理 例 1 如图 2，P 是正ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与 B、C 重合)，求证：PA=PBPC 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗 若借助托勒密定理论证，则有PABC=PBACPCAB，AB=BC=AC

2、PA=PB+PC 二、完善图形 借助托勒密定理 例 2 证明“勾股定理”：四点共圆时成立；、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似和且又相似和则：，使内取点证：在四边形DCBABDEBDACBCADCDABEDBEACBCADCDABEDACBCADADEDACBCAEDABCEADBACADAEACABBEACCDABCDBEACABACDABEACDABECADBAEEABCD)(E D C B A 在 RtABC 中，B=90，求证：AC2=AB2BC2 证明：如图，作以 RtABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD，显然 ABCD 是圆内接四边形 由托勒密定理，有 ACBD=

3、ABCDADBC 又ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得 AC2=AB2BC2 例 3 如图，在ABC 中，A 的平分 线交外接圆于 D，连结 BD，求证：ADBC=BD(ABAC)证明：连结 CD，依托勒密定理，有 ADBCABCDACBD 1=2，BD=CD 故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形 借助托勒密定理 例 4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2b2=1，x2y2=1 求证：axby1 证明：如图作直径 AB=1 的圆，在 AB 两边任作 RtACB 和 RtADB，使 ACa，BC=b，BDx，ADy 由勾股定理知 a、b、x

4、、y 是满足题设条件的 据托勒密定理，有 ACBDBCAD=ABCD CDAB1，axby1 四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例 5 已知 a、b、c 是ABC 的三边，且 a2=b(bc)，求证：A=2B 分析：将 a2=b(bc)变形为 aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一底边为 c 证明：如图，作ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于 D，连结 BD、DC、DA AD=BC，ABD=BAC 又BDA=ACB(对同弧)，1=2 依托勒密定理，有 BCAD=ABCDBDAC 而已知 a2=b(bc)，即 aa=

5、bcb2 BAC=2ABC 五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例 6 在ABC 中，已知ABC=124，分析：将结论变形为 ACBCABBC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形 如图，作ABC 的外接圆，作弦 BD=BC，边结 AD、CD 在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，有 ACBDBCAD=ABCD 易证 AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，1.已知ABC 中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。2 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证：。（第 21 届全苏数学竞赛）PMABPLACPKBCPNPLPKABACBCPBCABC求证：，和、作垂线与、分别向边上一点外接圆的弧由.3 PMABPLACPKBCPMCPPMABPLBPPLACPKAPPKBCPMCPPLBPPLBPPKAPPAPBPLPKLAPRtKBPRtLAPKBPPMCPPMABPLBPPLACPKAPPKBCCPABBPACAPBCABPCPCPBPA可得：由同理可得：相似和可知由即：利用托勒密定理有：，对于四边形、证：连接