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1、作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法 -二次函数教学反思 铅垂高 如图,过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”(a),中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高”(h)我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S ABC=12 ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:如图 1,过ABC 的三个顶点分别作出与水
2、平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a),中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ahSABC21,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例 1(2013 深圳)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),连结 OA,将线段 OA 绕原点 OB C 铅垂高 水平宽 h a 图 1 C B A O y x D B A O y x P 顺时针旋转 120,得到线段 OB.(1)求点 B 的坐标;(2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使B
3、OC 的周长最小若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么PAB 是否有最大面积若有,求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.解:(1)B(1,3)(2)设抛物线的解析式为 y=ax(x+a),代入点 B(1,3),得33a,因此232 333yxx(3)如图,抛物线的对称轴是直线 x=1,当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时,BOC 的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以33,320.2 33kkbkbb解得,因此直线AB为32 333yx,当x=1时,33y,因此点 C 的坐标为
4、(1,3/3).(4)如图,过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D.2221()()2132 332 332333333322319 3228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx 当 x=12时,PAB 的面积的最大值为9 38,此时13,24P.例 2(2014 益阳)如图 2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式;(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求CAB 的铅垂高 CD 及CABS;(3)是否存在一点 P,使 SPAB=
5、89SCAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线的解析式为:4)1(21xay把 A(3,0)代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy设直线AB的解析式为:bkxy2由3221xxy求得 B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A,)3,0(B代入bkxy2中 解得:图-2 x C O y A B D 1 1 yCPyCQ3,1bk所以32xy (2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时,y14,y22 所以 CD4-2232321CABS(平方单位)(3)假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,PAB 的铅垂高为 h,则xxxxxyyh3)
6、3()32(2221由 SPAB=89SCAB得389)3(3212xx化简得:091242xx解得,23x将23x代入3221xxy中,解得 P 点坐标为)415,23(例 3(2015 江津)如图,抛物线cbxxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(-3,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交 y 轴于 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得QAC 的周长最小若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使PBC 的面积最大,若存在,求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.解
7、:(1)将 A(1,0),B(3,0)代2yxbxc 中得10930bcbc 23bc 抛物线解析式为:223yxx (2)存在。理由如下:由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴1x 对称 直线 BC 与1x 的交点即为 Q 点,此时AQC 周长最小 223yxx C 的坐标为:(0,3)直线 BC 解析式为:3yx Q 点坐标即为13xyx 的解 12xy Q(1,2)(3)答:存在。理由如下:设 P 点2(23)(30)xxxx,92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形有最大值,则BPCS就最大,BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形11()22BE
8、PEOE PEOC 2211(3)(23)()(233)22xxxxxx 233927()2228x 当32x 时,BPCOS四边形最大值92728 BPCS最大9279272828 当32x 时,215234xx 点P坐 标 为315()24,同学们可以做以下练习:1(2015 浙江湖州)已知如图,矩形 OABC 的长 OA=3,宽 OC=1,将AOC 沿 AC 翻折得APC。(1)填空:PCB=_度,P 点坐标为(,);(2)若 P,A 两点在抛物线 y=43x2+bx+c 上,求 b,c 的值,并说明点 C 在此抛物线上;(3)在(2)中的抛物线 CP 段(不包括 C,P 点)上,是否存
9、在一点 M,使得四边形 MCAP 的面积最大若存在,求出这个最大值及此时 M 点的坐标;若不存在,请说明理由。2(湖北省十堰市 2014)如图,已知抛物线32bxaxy(a0)与x轴交于点 A(1,0)和点B(3,0),与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M,问在对称轴上是否存在点 P,使CMP 为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3)如图,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标 图 图 3.(2015 年恩施)如图 11,在平面直角
10、坐标系中,二次函数cbxxy2的图象与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),与 y 轴交于 C(0,-3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式(2)连结 PO、PC,并把POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP/C,那么是否存在点 P,使四边形 POP/C为菱形若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.解:(1)将 B、C 两点的坐标代入得303ccb 解得:32cb 所以二次函数的表达式
11、为:322xxy (2)存在点 P,使四边形 POP/C 为菱形 设 P 点坐标为(x,322 xx),PP/交 CO 于 E 若四边形 POP/C 是菱形,则有 PCPO 连结 PP/则 PECO 于 E,OE=EC=23 y=23 322 xx=23 解得1x=2102,2x=2102(不合题意,舍去)P 点的坐标为(2102,23)图 11(3)过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P(x,322 xx),易得,直线 BC 的解析式为3 xy则 Q 点的坐标为(x,x3).EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形 3)
12、3(2134212xx=87523232x 当23x时,四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为415,23,四边形 ABPC 的面积875的最大值为 25(2015 绵阳)如图,抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A(4,0)、B(2,0),与 y轴交于点 C,顶点为 DE(1,2)为线段 BC 的中点,BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D 的坐标;(2)在直线 EF 上求一点 H,使CDH 的周长最小,并求出最小周长;(3)若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动,当 K 运动到什么位置时,EFK的面积
13、最大并求出最大面积 【解析】(1)由题意,得,0424,04416baba 解得21a,b=1 所以抛物线的解析式为4212xxy,顶点 D 的坐标为(1,29)(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC,即 C 关于直线 EG 的对称点为 B,连结 BD交于 EF 于一点,则这一点为所求点 H,使 DH+CH 最小,即最小为 DH+CH=DH+HB=BD=132322 DMBM 而 25)429(122CD CDH 的周长最小值为 CD+DR+CH=21335 C E D G A x y O B F K N C E D G A x y O B F 设直线 BD 的解
14、析式为 y=k1x+b,则,29,021111bkbk 解得 231k,b1=3 所以直线 BD 的解析式为 y=23x+3由于 BC=25,CE=BC2=5,RtCEGCOB,得 CE:CO=CG:CB,所以 CG=,GO=G(0,)同理可求得直线 EF 的解析式为 y=21x+23 联立直线 BD 与 EF 的方程,解得使CDH 的周长最小的点 H(43,815)(3)如图所示,设 K(t,4212tt),xFtxE过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N 则 KN=yKyN=4212tt(21t+23)=2523212tt 所以 SEFK=SKFN+SKNE=21KN(t+3)+21KN
15、(1t)=2KN=t23t+5=(t+23)2+429 即当 t=23时,EFK 的面积最大,最大面积为429,此时 K(23,835)平面直角坐标系中三角形面积的求法 我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1 有一边在坐标轴上:例 1:如图 1,平面直角坐标系中,ABC 的顶点坐标分别为(3,0),(0,3),(0,1),求ABC 的面积.分析:根据三个顶点的坐标特征可以看出,ABC 的边 BC 在 y 轴上,由图形可得 BC4,点 A 到 BC 边的距离就是 A 点到 y 轴的距离,也就是 A 点横坐标的绝对值 3,然后根据三角形的面
16、积公式求解.2 有一边与坐标轴平行:例 2:如图 2,三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4,1),B(4,5),C(-1,2),求ABC 的面积.分析:由 A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同,可知边 AB 与 y 轴平行,因而 AB 的长度易求.作 AB 边上的高 CD,就可求得线段 CD 的长,进而可求得三角形 ABC 的面积.3 三边均不与坐标轴平行:例 3:分析:由于三边均不平行于坐标轴,所以我们无法直接 求边长,也无法求高,因此得另想办法.4 三角形面积公式的推广:过ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,外侧两条 直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a),中间
17、的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高”(h)我们可得出 一种计算三角形面积的新方法:SABC=21ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例 4:已知:直线 l1:y=2x+6 与 x 轴交于点 A,直线 l2:y=x+3 与 y 轴交于点 B,直线 l1、l2交于点 C ()建立平面直角坐标系,画出示意图并求出 C 点的坐标;()利用阅读材料提供的方法求 ABC 的面积 5 巩固练习:(1)已知:如图,直线bkxy与反比例函数kyx(x0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C,其中点A的坐标为(2,4),点B的横坐标为4.()试确定反比例函数的关系式;()求AOC的面积 (2)如图,在直角坐标平面内,函数myx(0 x,m是常数)的图象经过(14)A,()B ab,其中1a 过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结AD,DC,CB 若ABD的面积为 4,求点B的坐标;(3)已知,直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt ABC,BAC=90且点 P(1,a)为坐标系中的一个动点()求三角形 ABC 的面积 S ABC;()请说明不论 a 取任何实数,三角形 BOP 的面积是一个常数;()要使得 ABC 和 ABP 的面积相等,求实数 a 的值
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