三角函数辅助角公式化简46424.pdf

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1、 三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1已知函数 22sincos3fxxx，xR（1）求 f x的对称中心；（2）讨论 f x在区间,3 4 上的单调性.2已知函数 4sin cos33fxxx.（1）将 f x化简为 sinf xAx的形式，并求 f x最小正周期；（2）求 f x在区间,4 6 上的最大值和最小值及取得最值时x的值.3已知函数 4tan sincos323fxxxx（1）求 f x的最小正周期；（2）求 f x在区间,4 4 上的单调递增区间及最大值与最小值 4设函数 233cossin cos2fxxxx.（1）求函数 f x的最小正周期T及最大值；（2）求函数 f x

2、的单调递增区间.5已知函数 cos 22sinsin344fxxxx（）求函数 f x的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数 f x在区间,12 2上的值域.6已知函数 213sin coscos2f xxxx.()求函数 f x的对称中心；()求 f x在0,上的单调区间.7已知函数 4cos sin16fxxx，求（1）求 f x的最小正周期；（2）求函数 f x的单调递增区间（3）求 f x在区间,6 4 上的最大值和最小值.8设函数 sin3cos?cos2tanxxxf xx.（1）求 f x的最小正周期；（2）讨论 f x在区间0,2上的单调性.9已知函数 22 3sin co

3、s2cos1f xxxx，（I）求 f x的最大值和对称中心坐标；()讨论 f x在0,上的单调性。10已知函数.(1)求 的最小正周期；(2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.11设 2sin coscos4fxxxx.(1)求 f x的单调递增区间；(2)锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若02Af，1a，3bc，求bc的值.12已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，所对的边分别是，若，且的面积为，求 的值.13设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时 的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求 的最小值.14已知 13sincos

4、cos2fxxxx，其中0，若 f x的最小正周期为4.（1）求函数 f x的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，2coscosacBbC，求 f A的取值范围.15已知a=（sinx，cosx），b=（cos，sin）（|）函数 f（x）=ab 且f（3x）=f（x）（）求f（x）的解析式及单调递增区间；（）将f（x）的图象向右平移3单位得g（x）的图象，若g（x）+1ax+cosx在x0，4上恒成立，求实数a的取值范围 16已知向量a=（2cos2x，3sin2x），b=（cos2x，2cos2x），（0），设函数 f（x）=ab，且 f（x）的最小正周期为 （1）求函数 f（x）的表

5、达式；（2）求 f（x）的单调递增区间 17已知函数 sin(0,0,)2f xAxA的部分图象如图所示.（1）求函数 f x的解析式；（2）如何由函数2sinyx的通过适当图象的变换得到函数 f x的图象，写出变换过程;（3）若142f，求sin6的值.18已知函数（1）求函数在上的单调递增区间；（2）若且，求的值。19已知 22cossin3sincossin6fxxxxxx，（1）求函数 yf x的单调递增区间；（2）设ABC的内角A满足 2f A，而3AB AC，求边BC的最小值 20已知函数 cos3coscos2f xxxx（1）求 f x的最小正周期和最大值；（2）讨论 f x在

6、3,44上的单调性 21已知 22 3cossin231f xxx xR，求：（1）f x的单调增区间；（2）当,4 4x 时，求 f x的值域.22已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.23已知函数 44cossin2sinf xxxx.（1）求函数 f x的递减区间；（2）当0,2x时，求函数 f x的最小值以及取最小值时x的值.24已知函数 22 3sin cos2sin1f xxxx.（1）求函数 f x的对称中心和单调递减区间

7、；（2）若将函数 f x图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6个单位长度，得到函数 g x的图象，求函数 g x的表达式.参考答案 1（1）对称中心为,0212k，kZ；（2）增区间为,64，减区间为,36.【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为 0，从而角的终边在 x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间 试题解析：1）由已知 21 cos 21 cos23113sin2cos2sin 2224426xxf x

8、xxx 令26xk，得,212kxkZ，对称中心为,0212k，kZ.（2）令222262kxk，kZ 得63kxk，kZ,增区间为,63kkkZ 令3222262kxk，kZ 得536kxk，kZ,增区间为5,36kkkZ ,3 4 上的增区间为,64，减区间为,36.2（1）f x 2sin 23x，T；（2）4x 时，min1f x，12x时，max2f x.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得 2sin 23fxx，由周期公式可得答案；（2）由 x 的范围可得22633x的范围，可得 f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的 x 值 试题解析：（1）2

9、4sincos cossin sin32sin cos2 3sin333fxxxxxxx 所以22T.（2）因为46x，所以22633x 所以1sin 2123x，所以 12f x，当236x，即4x 时，min1f x，当232x，即12x时，min2f x.3(1)(2)f x最大值为-2，最小值为 1【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得 2sin 23fxx，根据22T求周期；（2）先求出函数 f x的单调递增区间，再求其与区间,4 4 的交集即可；根据23x的取值范围确定函数在,4 4 上的最大值与最小值。试题解析：（1）4tan cos cos33fxxxx 4sin cos3

10、3xx sin23 1 cos23xx sin23cos22sin 23xxx 所以 f x的最小正周期22T（2）令23zx，函数2sinyz的单调递增区间是2,222kk，kZ 由222232kxk，得51212kxk，kZ 设,44A ，5|,1212BxkxkkZ，易知,12 4AB 所以，当,4 4x 时，f x在区间,12 4上单调递增。44x，52636x，1sin 2123x，12sin 223x f x最大值为 2，最小值为-1 点睛：解题的关键是将函数化成 f(x)Asin(x )的形式后，把 x 看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增

11、异减”，如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错 4（1）T，最大值为 1（2）5,Z1212kkk【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式222Z232kxkk，解得函数 f x的单调递增区间.试题解析：解：3 1cos213sin2222xf xx 13sin2cos2sin 2223xxx（1）T 当2232xk 即Z12xkk时 f x取最大值为 1 （2）令222Z232kxkk f x的单调增区间为5,Z1212kkk 5(1)答案见解析；(2)3

12、,12.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得 26fxsinx，则函数的最小正周期为T；对称轴方程为3xkkZ；(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为3,12.试题解析：（1）22344fxcosxsin xsin x 由2,6223kxkkZxkZ得 函数图象的对称轴方程为 3xkkZ（2）5,2,12 2636xx 因为 26fxsinx在区间,12 3上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，所以 当3x时，f x取最大值 1 又 3112222ff，当12x 时，f x取最小值32 所以 函数 f x在区间,12 2上的值域为3,12 6(1),1,2

13、12kkZ(2)50,36【解析】试题分析：(1)213sin coscossin 2126fxxxxx，令26xk解得 x 即可()求 f x在0,上的单调区间，则令222262kxk解得 x,对 k 赋值得结果.试题解析：()31 cos21sin2sin 212226xf xxx 令26xk，得212kx，故所求对称中心为,1,212kkZ()令222262kxk，解得,63kxkkZ 又由于0,x，所以50,36x 故所求单调区间为50,36.点睛：三角函数的大题关键是对 f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成sinyAwx 类型，把 wx+看成整体进行分析.7（1）T；（2

14、）单调递增区间为,36kkkZ；（3）min1f x，2miaxf x.【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：2sin 26fxx，进而得最小正周期；（2）由2k22,62xkkZ可得增区间；（3）由64x得22663x，根据正弦函数的图象可得最值.试题解析：(1)2314cos sin14cossincos12 3sin cos2cos1622fxxxxxxxxx 3sin2cos2xx 2sin 26x.f x的最小正周期T.（2）由2k22,62xkkZ 解得k,36xkkZ 函数 f x的单调递增区间为,36kkkZ (3)64x 当266x 时，x6，min1f x

15、 当262x时，x6，2miaxf x.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8（1）T（2）f x在区间0,12上单调递增，在区间,12 2上单调递减.【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得 f x的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2上单调区间，

16、即得 f x在区间0,2上的单调性.试题解析：（1）2sin3cos?cossin cos3cosf xxxxxxx（2）令222232kxk，解得51212kxk（kZ）0,2x，f x在区间0,12上单调递增，在区间,12 2上单调递减.9()最大值为2，对称中心为：,0212kkZ；()递增区间：0,3和5,6；递减区间：5,36.【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为 2sin 26fxx，可知最大值为 2，对称中心由26xk，解得 x 可求。（2）先求得 f(x)最大增区间与减区间，再与0,做交，即可求得单调性。试题解析：()2sin 26fxx，所以最

17、大值为2，由26xk，解得x=2,12k,r 所以对称中心为：,0212kkZ；()先求 f(x)的单调增区间，由222,262kxkkZ，解得,63kkkZ，在0,上的增区间有0,3和5,6。同理可求得 f(x)的单调减区间5,36kkkZ，在0,上的减速区间有5,36.递增区间：0,3和5,6；递减区间：5,36.10（1）；（2）的取值范围为【解析】试题分析：(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x)2sin，结合三角函数的周期公式可知 T.(2)原问题等价于，结合函数的图象可得或，求解不等式可得 a的取值范围为.试题解析：(1)f(x)2cosxcos(

18、x )sin2xsinxcosx cos2xsinxcosx sin2xsinxcosx cos2xsin2x 2sin，T.(2)画出函数在 x的图像，由图可知或 故 a的取值范围为.11（1）,44kkkZ（2）31bc【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得 1sin22f xx，由222,22kxkkZ可解得增区间(2)由02Af得sinA，cosA，由余弦定理得2231bcbc，即32 bc=2bc 1即得bc 试题解析：（1）由题意知 1 cos 2sin2222xxf x sin21 sin21sin2222xxx，由222,22kxkkZ 可得,44kxkkZ 所以函数 f

19、 x 的单调递增区间是,44kkkZ（2）由02Af得1sin2A，又A为锐角，所以3cos2A.由余弦定理得：2223cos22bcaAbc，即2231bcbc，即32 bc=2bc 1，而3bc，所以31bc 12(1)函数的单调增区间为；(2).【解析】试题分析：（1）由化一公式得，得结果；（2），再由余弦定理得.化简可得：.（1）由，.得：.函数的单调增区间为，.（2），即.可得，.，.由，且的面积为，即.由余弦定理可得：.13(1),(2)a最小值为 1.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由得 到，；由余弦定理得 最小为 1；（1）=的最大值为

20、2 要使取最大值,故 的集合为.（2）,化简得,，只有 在 中，由余弦定理，,由 当 时等号成立，最小为 1.点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；（2）巧妙利用三角函数值求得角 A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；14（1）424,4,33kkkZ（2）26224fA【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：sin 26fxx，再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得1cos2B，即得3B，根据锐角三角形得 A 取值范围，根据正弦函数性质求 f A的取

21、值范围.试题解析：（1）31sin2cos2sin 2226f xxxx，最小正周期为4，1sin26fxx，令1222262kxk，即4244,33kxkkZ，f x的单调递增区间为424,4,33kkkZ.（2）2coscosacBbC，2sinsincossin cosACBBC，整理得：2sin cossinABA，1cos2B，3B，锐角三角形ABC，02A且2032A，62A，1542612A，26224fA.15（）f（x）=sin（x+3），52,2,66kkkZ；（）4a.【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到f xsin x（）（），再由f（-x）=f（x）可知函数

22、f（x）的图象关于直线x=对称，所以+=+k，进而得到 =，利用三角函数的性质求解单调区间即可；（2）将f（x）的图象向右平移3单位得g（x）=sinx，即sinx+1ax+cosx在x0，上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和 （x）=ax1 即可.试题解析：（）f（x）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，+=+k，kZ，又|，=f（x）=sin（x+3），由 2k-x+2k+可得 2k-x 2k+，函数的递增区间为2k-，2k+，kZ；（）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1ax

23、+cosx在x0，上恒成立 也即sinx-cosxax-1 在x0，上恒成立.令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x0，；（x）=ax-1 如下图：h（x）的图象在 （x）图象的下方，则：a kAB=，故4a.16（1）f（x）=2sin（2x+6）+1；（2）单调递增区间为3+k，6+k ，kZ【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求（2）根据正弦函数性质列不等式：2 22 262kxk，再解不等式可得增区间 试题解析：解：（1）向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（0），则函

24、数 f（x）=2cos2+2sin cos=cos x+1+sin x=2sin（x+）+1，f（x）的最小正周期为 ，=解得 =2，f（x）=2sin（2x+）+1；（2）令+2k 2x+2k，kZ，即+k x+k，kZ，f（x）的单调递增区间为+k，+k ，kZ 17（1）2sin 26fxx（2）见解析（3）78【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得 ，由五点作图的第三点求；（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；（3）由142f求出1sin264，然后把sin6转化为余弦利用倍角公式得答案 试题解析:解：（1）2sin 26fxx.（2

25、）法 1：先将2sinyx的图象向左平移6个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的12倍，所得图象即为 2sin 26fxx的图象.法 2：先将2sinyx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移12个单位，所得图象即为 2sin 26fxx的图象.（3）由12sin 22sin446262f,得：1sin264，而217sincos12sin1632688 .点睛：图象变换(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换 18(1)和。(2).【解析】试题分析：整理函数的解析式为.(1)利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和。(2)由题

26、意可得，则.试题解析：.（1）令 得 所以函数在上的单调递增区间为和。（2）因为，所以 因为，所以 所以=19（1）,36kkkz;（2）min42 331a【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 2sin 26fxx （1）令，解不等式可得答案；（2）由 2sin 26fAA 及 0A 可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又ABC中，从而可求 试题解析：（1）=由得，故所求单调递增区间为（2）由得，即，bc=2，又ABC 中，=，20(1)，1(2)在，上单调递增；在，上单调递减 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式 3sin 232f xx，则

27、函数的最小正周期为，最大值为312；(2)结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在5,4 12上单调递增；在53,124上单调递减 试题解析：(1)f(x)cosxsinxcos2x cosxsinx(1cos2x)sin2xcos2x sin(2x)，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为 1 (2)当 x ，时，2x.易知当 2x ，即 x时，f(x)单调递增，当 2x，即x时，f(x)单调递减 所以 f(x)在，上单调递增；在，上单调递减 21（1）5,1212kkkZ（2）0,3【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增

28、区间；（2）根据自变量范围求23x范围,再根据正弦函数性质求值域 试题解析：f x 2sin23 2cos11xx sin23cos21xx（1）由222232kxk，得522266kxk，函数 f x的单调增区间为5,1212kkkZ.（2）因为,4 4x ，52,366x，1sin 2,132x，0,3f x.22（1）（2）【解析】试题分析：（1）由两相邻对称轴间的距离为 可得半个周期为.进而求出，由偶函数可得，由三角函数恒等变形可得.代入自变量 即得的值；（2）先根据图像变换得到的解析式.再根据余弦函数性质求的单调递减区间.试题解析：解：（1）为偶函数，对恒成立，.即：又，故.由题意得

29、，所以 故，（2）将的图象向右平移 个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到的图象.当，即时，单调递减，因此的单调递减区间为.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.23(1)f x的递减区间为3,88kkkZ;(2)当38x时,f x取最小值为2.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式 2cos 24fxx，据此可得 f x的递减区间为3,88kkkZ;(2)结合(1)中函数的解析式讨

30、论函数的单调性，然后结合三角函数的性质可得当38x时,f x取最小值为2.试题解析：（1）44cossin2sincos2sin2f xxxxxx 要求函数 f x的递减区间，只需x满足 2224kxk，即388kxk，所以，f x的递减区间为3,88kkkZ（区间开闭均可，不写kZ扣 1 分，不写成区间扣 2 分）（2）由（1）知 f x 2cos 24x，而02x，所以，52444x，当244x时，f x单调递减，当5244x时，f x单调递增，所以，当24x，即38x时，f x取最小值为2.24（1）5,36kkkZ；（2）2cos4g xx.【解析】试题分析：（1）将函数 f x化为

31、2sin 26fxx，求出对称中心和单调递减区间；（2）由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数 g x的图象。试题解析;（1）22 3sin cos2sin1f xxxx 2sin 26x，令2sin 206x得，26xkkZ，所以212kxkZ，即 f x的对称中心为,0212kkZ 由3222262kxkkZ得，536kxkkZ，所以函数 f x的单调递减区间为5,36kkkZ.(2)由（1），2 s i n 26f xx，将函数 f x图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），得到2sin 46yx，将其向左平移6个单位长度，得到函数 g x的图象，则 2sin 42sin 42cos4662g xxxx，即 2cos4g xx.