2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)2277.pdf

《2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)2277.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)2277.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 2019 届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题 数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题 1设全集U 是实数集R，集合M x|x2，N x|y=log2(x 1)，则(UM)N 为 A x|1x2 B x|1x2

2、 C x|1x2 D x|1x1，则 p：任意x R，sin x1 C 若 p 且 q 为假命题，则p、q 均为假命题 D “x2 2x 30”是命题 3条件p：2x4，条件q：(x 2)(x a)0 在1，1上恒成立，且 f(-)f()0)个单位长度后，所得到的图象关于直线 对称，则 m 的最小值为 A B C D 9已知函数 f(x)Atan(x)(0,)，yf(x)的部分图象如图，则 f()A B C 2 D 2 10函数 f(x)的图象如图所示，则 m 的取值范围为 A(，1)B(1,2)C(0,2)D(1,2)11定义运算 adbc，若 cos ，0 ，则=A B C D 12已知

3、f(x)是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f(x)，若 f(x)f(x)，且 f(x1)f(3x)，f(2 015)2，则不等式 f(x)0；f(x)在区间(5,6)上单调递增；f(x)在区间 上有极大值；存在 M0，使得对任意 xR，都有 f(x)M其中真命题的序号是_.16若ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_ 三、解答题 17已知函数 f(x)=.（I）求函数 f(x)的单调递减区间；（II）若ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，f(A)=，a=，sinB=2sinC，求 c.18 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面

4、ABCD 为矩形，且 PA=AD=1，AB=2，PAB=120,PBC=90.（I）平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直？并说明理由；（II）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值 19某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图 如图所示，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败(I)求图中 a 的值；(II)根据已知条件完成下面 22 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 3 人进行约谈，记这 3 人中晋级失败的人数为 X，求 X 的分布列

5、与数学期望 E(X)晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 参考公式：，其中 20已知椭圆 离心率为 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 .（I）求椭圆 E 的方程；（II）过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点.若 ，求直线 l 的方程.21已知函数 .（I）讨论 的导函数 的零点个数；（II）当 时，证明：.22在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：sin22acos(a0)，过点 P(2，4)的直线 l：222 242xtyt (t 为参数)与曲线 C 相交于 M，N两点(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普

6、通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值 23已知函数 f(x)|x1|.(I)解不等式 f(2x)f(x4)8；(II)若|a|1，|b|1，a0，求证：.2019 届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 1 C【解析】【分析】先求集合M 的补集，再与集合N 求交集即可。【详解】集合N 为 ，为 ，所以(UM)N 为 ，即 ，答案选C。【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。在集合运算时，要注意运算的先后顺序，如本题中有括号，就应先算括号里面的补集运算，再算交集运算。在运算时，可以借助数轴或图形，这样更直观，不易出错。2

7、 B【解析】【分析】结合命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断方法，依次判断即可。【详解】命题“若 x2 3x 2 0，则x 1”的否命题是“若 x2 3x 20，则x1”否命题，选项A 错误；若 p 且 q 为假命题，则p、q 至少有一个为假命题，选项C 错误；对于一个命题有题设和结论两部分构成，选项D，显然不符合，故错误。所以答案选B。【点睛】本题考查了命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断，综合性较强，此类问题的关键是掌握其定义和判断方法。3 B 【解析】【分析】q 是 p 的必要而不充分条件等价于 ，建立不等式求解即可。【详解】因为 q 是 p 的必要而不充分条

8、件 所以 ，所以 ，即 ，答案选 B。【点睛】本题考查了充分必要条件求参数范围，解此类问题的关键是将 q 和 p 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，列出关于参数的不等式，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用。4D【解析】【分析】根据条件 f(0)2，f(1)3，可求 ，得到 ，最后代入即可。【详解】因为 f(0)2，f(1)3，所以 ，所以 ，所以 把 代入，所以 f(f(3)=2。答案选 D。【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题。分段函数求值时，一定要先看定义域，再把自变量的值代入相应的解析式，如果含多层求值的，则由内向外，依次进行。5A【解析】【分析】先

9、由诱导公式得到 ，同角三角函数关系得 ，再计算 tan(2)。【详解】因为 所以 ，因为(，0)，所以 =。答案选 A。【点睛】本题考查了诱导公式，同角三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。6D【解析】【分析】根据 的性质，从周期、对称轴、零点和单调性分别讨论，即可得到结果。【详解】对于函数 f(x)=sin(x+)，其周期 =，当 时，周期为 ，选项 A 正确；它的对称轴方程为 ，当 时，选项 B 正确；它的零点为 ，所以 ，即 ，当 时，选项 C 正确。故答案选 D。【点睛】本题综合考查函数 相关性质，

10、此类问题关键是牢记这些性质，理解“整体”处理思想，能进行简单的运算，注意选择不同的 k 值进行验证。属于基础题型。7C【解析】【分析】首先判断该函数为单调递增函数，运用零点存在定理可讨论其在1，1内根的情况。【详解】对于函数 f(x)x3bxc，其导函数 f(x)0 在1，1上恒成立，所以得函数 在区间1，1上单调递增，又因为 ，所以函数 在区间 内至少有一个零点；由于函数 在区间1，1上单调递增，所以函数 在区间1，1内有唯一的零点。答案选 C。【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键在于定理成立的两个条件：（1）函数 在区间 上连续；（2）。当已知函数 为单调函数时，可说明）函数 在区间

11、内有唯一零点。8C【解析】【分析】先进行图像平移，得到平移后函数的解析式，写出对称轴，再根据对称轴求最小值。【详解】将函数 y=sin(2x+)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，再向右平移 m(m0)个单位长度，得到的函数解析式为 ，令 ，解得 所以 ，解得 因为 ，当 时，m 最小为 。答案选 C。【点睛】本题考查了三角函数的图像平移及性质。在进行图像平移时，无论是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，都是对横坐标产生影响，所以只对变量x进行相应的运算，还须注意的是：当 时，图像被压缩，当 时，图像被拉伸。9A【解析】【分析】首先根据图像，求出函数的解析式，再求相应的函数值。【详解】由图像可知，

12、所以 所以 ，即 ，又图像过点 和 ，所以 解得，所以 所以 ，答案选 A。【点睛】确定 yAsin(x)B(A0，0)或 yAcos(x)的解析式的步骤(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A，B.(2)求，确定函数的周期 T，则.(3)求，常用方法有 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.10B【解析】分析：,当 时,的根 详解：（1）（2），整理可得 ，由图可知 ，或者 ，解得 由（1）（2）可知 ，故选 B 点睛：由图像求参数的取值范围

13、，抓住关键点（零点、已知坐标的点、极值点、最值点）的位置，往往利用导数研究函数的关键点的位置。11D【解析】【分析】根据新定义，先求出 ，由同角三角函数关系求 ，再进行角变换 ，计算其余弦值即可。【详解】因为 所以 ，即 ，因为 0 ，且 cos ，所以 ，=所以 ，答案选 D。【点睛】本题考查三角恒等变换计算求值问题，此题是给值求角类问题，求解时要注意以下几点：（1）在根据所给三角函数值求其它三角函数值时，一定要注意角的取埴范围；（2）注意角的线性变换在解题中的应用，如本题中 的变换。（3）求角时一般选择求某一个三角函数即可，但是要尽可能的避免讨论符号问题。12A【解析】【分析】根据函数的奇

14、偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数 ，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论。【详解】因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x1)f(3x)=，所以 ，即函数是周期为4 的周期函数，因为 =所以 ，设 ，则其导函数 =所以 是 R 上的减函数，则不等式f(x)0，使得对任意 xR，都有 f(x)M命题错误。【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度较大。16 【解析】试题分析：因为ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，由正弦定理可得 可得 ，由余弦定理 当且仅当 时取等号，所以 故 的最小值 .考点：正余弦定理及基

15、本不等式的应用.17（），（II）【解析】【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式可将函数化为 ，再写出单调区间；（2）由f(A)=，可求 ，结合余弦定理即可解决。【详解】（）由 ，得 ，函数 的单调递减区间为 ，（II），由正弦定理 ，得 又由余弦定理 ，得 .解得 【点睛】本题考查三角恒等变换及正、余弦定理解三角形，属于基础题。18（I）平面 平面 ；（）cosPEF=.【解析】【分析】（）说明 ，而 ，即可说明平面 PAD 与平面 PAB 垂直；（2）以点A为坐标原点，AB所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出 ,，进而求出 ,（），计算平面 PCD 的法向量为 （），平面ABCD 的一

16、个法向量为 （）,代入夹角计算公式即可。【详解】（I）平面 平面 ；证明：由题意得 且 又 ，则 则 平面 ,故平面 平面 （）以点 A 为坐标原点，AB 所在的直线为轴建立 空间直角坐标系如右图示，则 ,可得 ,（）设平面 PCD 的法向量为 （）,则 ，令 x=2 得，（）又平面 ABCD 的一个法向量为 （），设平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的大小为，显然为锐角，cos=.方法二：过点 P 作 BA 的垂线交 BA 的延长线于点 F,过点 F 作 EFAB,交 CD 的延长线于点 D.则PEF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 PA=1,PAB=120,P

17、F=,又 EF=AD=PA=1，PE=,cosPEF=.【点睛】本题考查了两个平面垂直的判定定理、性质定理及二面角的概念和求法，培养了空间想象能力及问题的等价转化能力，属于中档题。19 ；有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关；X 的分布列为 X 0 1 2 3 数学期望 ，【解析】【分析】（1）根据频率和为 1，列方程求出 a 的值；（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值 ，对照临界值得出能有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）用“晋级失败”的频率估计概率，得 ，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值。【详解】由频率分布直方图各小长方形面积总和为

18、1，可知 ，解得 ；由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，所以晋级成功的人数为 人，填表如下：晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得 ，所以有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关；由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，所以 X 可视为服从二项分布，即 ，故 ，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 数学期望为 ，或 【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验的问题，也考查了离散型随机变量的分

19、布列与数学期望值的计算，一是道综合性较强的中档题。20（1）.（2）y=x+1.【解析】【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得 ，进而得结论；（2）设直线 l 为 ，代入椭圆方程 ，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率 k，进而得到所求直线方程。【详解】（1）由题意，e=，得 a=又 C(0,b)，D(0,-b).=(b-1)(-b-1)=-1，b2=2 a=2,所以椭圆 E 的方程为 .（2）当直线 l 的斜率不存在时，（，），（，），不符合题意，不存在这样的直线.当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+1.A(x1,y1),B(x2,y

20、2).联立方程 ，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,由韦达定理得 x1+x2=，x1x2=，由 得，(x2,y2-1)=(-x1,1-y1),x2=-x1,x1=，x12=，解得 k2=，k=，所以直线 l 的方程为 y=x+1.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题。21()当 或 时 有一个零点；当 时 没有零点 ()见解析【解析】试题分析：（1），所以当 或 时，有一个零点；当 时，没有零点；（2）时，在 单调递增，在 ，

21、单调递减，最大值 ，所以原题等价于 ，即 ，设 n ，求导得到最大值为 ，即 试题解析：()的定义域为 ，若 ，由 ，没有零点；若 或 ，由 ，有一个零点；若 ，由 ，没有零点 综上所述，当 或 时 有一个零点；当 时 没有零点 ()由（1）知，时 当 时，；当 ，时，.故 在 单调递增，在 ，单调递减.所以 在 取得最大值，最大值 ，即 .所以 等价于 ，即 ，其中 设 n ，则 .当 时，；当 时，.所以 在 单调递增，在 单调递减.故当 时 取得 最大值，最大值为 所以当 时，.从而当 时 ，即 22（1）y22ax(a0)，xy20.（2）a1.【解析】试题分析：（1）根据222cos

22、,sin,xyxy 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，根据加减消元得直线 l 的普通方程；（2）由等比数列条件得(t1t2)2t1t2，将直线参数方程代入圆方程，根据直线参数几何意义以及韦达定理得方程，解方程得实数 a 的值 试题解析：(1)把代入 sin22acos，得 y22ax(a0)，由(t 为参数)，消去 t 得 xy20，曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y22ax(a0)，xy20.(2)将(t 为参数)代入 y22ax，整理得 t22(4a)t8(4a)0.设 t1，t2是该方程的两根，则 t1t22(4a)，t1t28(4a)，|MN|2|PM|P

23、N|，(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，8(4a)248(4a)8(4a)，a1.23()或 (II)证明见解析【解析】【分析】（）根据 的分段函数形式，分类讨论求得不等式 f(2x)f(x4)8 的解集；（2）要证的不等式即 ，根据|a|1，|b|1，可得 ，从而得到所证的不等式成立。【详解】()f(2x)f(x4)|2x1|x3|当 x3 时，由3x28，解得 x ；当3x 时，x48 无解；当 x 时，由 3x28，解得 x2.所以不等式 f(2x)f(x4)8 的解集为 或 (II)证明：等价于 f(ab)|a|，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题。