高中数学圆锥曲线详解【免费】2852.pdf
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1、 1 FAPHBQ 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法:1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中,arr221,当 r1r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的
2、问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为M(x0,y0),将点A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1))0(12222babyax与直线
3、相交于A、B,设弦AB 中点为M(x0,y0),则有02020kbyax。(2))0,0(12222babyax与直线l 相交于A、B,设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020kbyax(3)y2=2px(p0)与直线l 相交于A、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】例 1、(1)抛物线C:y2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_ (2)抛物线C:y2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF,则PFPH,因而易发现,当
4、A、P、F 三点共线时,距离和最小。(2)B 在抛物线内,如图,作QR l 交于R,则当B、Q、R 三点共线时,距离和最小。解:(1)(2,2)2 xy0ABCMD5FFPHy0 xA连 PF,当 A、P、F 三点共线时,PFAPPHAP最小,此时AF 的方程为)1(13024xy 即 y=22(x-1),代入y2=4x 得 P(2,22),(注:另一交点为(2,21),它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去)(2)(1,41)过 Q 作 QR l 交于R,当B、Q、R 三点共线时,QRBQQFBQ最小,此时Q 点的纵坐标为1,代入 y2=4x 得 x=41,Q(1,41)点评:这是利用定义将
5、“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。(1)PFPA 的最小值为 (2)PFPA2的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径FP 或准线作出来考虑问题。解:(1)4-5 设另一焦点为F,则F(-1,0)连 AF,PF 542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA 当 P 是FA 的延长线与椭圆的交点时,PFPA 取得最小值为4-5。(2)3 作出右准线l,作PH l 交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,a=2,c=1,e=21,PHPFPHPF2,21即
6、PHPAPFPA2 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142Axca 例 3、动圆M 与圆C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心M 的轨迹方程。分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C 共线,B、D、M 共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MDMC)。3 解:如图,MDMC,26MBMADBMBMAAC即 8 MBMA (*)点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为1151622yx 点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而
7、无需再用距离公式列式求解,即列出4)1()1(2222yxyx,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例 4、ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径),可转化为边长的关系。解:sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53 即6 ACAB (*)点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)2a=6,2c=10 a=3,c=5,b=4 所求轨迹方程为116922yx(x3)点评:
8、要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)则0222102122221221229)()(yx
9、xxxxxxxx 由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 4 xy0MABA1A2M1M2B1B2由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 2020041944xxy,1149)14(4944202020200 xxxxy ,5192 450y 当 4x02+1=3 即 220 x时,45)(min0y此时)45,22(M 法二:如图,32222ABBFAFBBAAMM 232MM,即23411MM,451MM,当 AB 经过焦点F 时取得最小值。M 到
10、x 轴的最短距离为45 点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB 是否能经过焦点F,而且点M 的坐标也不能直接得出。例 6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=CDAB,(
11、1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B 来源于“不同系统”,A 在准线上,B 在椭圆上,同样C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x 轴上,立即可得防 5 xyF1F20ABCD)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf )()(2DACBxxxx )(2CBXx 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。解:(1)椭圆1122mymx中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+
12、m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm 12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB(2))1211(2121122)(mmmmf 当m=5 时,9210)(minmf 当 m=2 时,324)(maxmf 点评:此题因最终需求CBxx,而 BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC 中点为M(x0,y0),通过将B、C 坐标代入作差,得0100kmymx,将y0=x0+1,k=1 代入得01100mxmx,120mmx,可见122m
13、mxxCB 当然,解本题的关键在于对CDABmf)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现CBxxmf)(6 是解此题的要点。【同步练习】1、已知:F1,F2是双曲线12222byax的左、右焦点,过 F1作直线交双曲线左支于点 A、B,若mAB,ABF2的周长为()A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ()A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x 3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且ACAB,点 B、C 的坐标分别为
14、(-1,0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是()A、13422yx B、)0(13422xyx C、)0(13422xyx D、)00(13422yxyx且 4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是 ()A、)1(49)21(22xyx B、)1(49)21(22xyx C、)1(49)21(22xyx D、)1(49)21(22xyx 5、已知双曲线116922yx上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 6、抛物线 y=2x2截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过
15、定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k=10、设点 P 是椭圆192522yx上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求 sinF1PF2的最大值。7 11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1),34AB,求直线 l 的方程和椭圆方程。12、已知直线 l 和双曲线)0,0(12222babyax及其渐近线的交点从左到右
16、依次为 A、B、C、D。求证:CDAB。【参考答案】1、C aBFBFaAFAF2,21212,,24,42222maABBFAFaABBFAF选 C 2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C 3、D 22 ACAB,且ACAB 点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y0,故选 D。4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4 得4)2()12(122yx,49)21(22yx 又 ca,2)1(22yx(x-1)2+y221)7、y2=x
17、+2(x2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点M(x,y),则 2)(),(2,2,2212121212221222121yyxxyyxxyyxyxy 20 xykkMPAB,222yxy,即y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P,即y22x,即x+22 8、4 22,8,4222ccba,令22x代入方程得8-y2=4 y2=4,y=2,弦长为4 9、12或 y=kx+1 代入x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=0 0012k得 4k2+8(1-k2)=0,k=2 1-k2=0 得 k=1 10、解:a2=25,b2=9,c2=16
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