角平分线的性质定理及其逆定理39292.pdf

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1、.角平分线的性质定理及其逆定理 一、根底概念 学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规证明步骤。1角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS 推导过程：OC 平分MON，P 是 OC 上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点 A、点 B 求证：PAPB 证明：PAOM，PBON PAOPBO90 OC 平分MON 12 在PAO 和PBO 中，PAOPBO PAPB 几何表达：角的平分线

2、上的点到角的两边的距离相等 如下图，OP 平分MON12，PAOM，PBON，PAPB 2角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程：点 P 是MON 一点，PAOM 于 A，PBON 于 B，且 PAPB 求证：点 P 在MON 的平分线上 证明：连结 OP 在 RtPAO 和 RtPBO 中，RtPAORtPBOHL 12 OP 平分MON 即点 P 在MON 的平分线上 几何表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如下图，PAOM，PBON，PAPB 12OP 平分MON 3角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际

3、生活中的应用 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米在以下图中标出工厂的位置，并说明理由 4角平分线的尺规作图 活动三：观察与思考：尺规作角的平分线 观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。.图1-32FEDCBA图1-31EDCBA步骤一：以点 O 为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于 A，B 两点。由作图可知：OA =OB 步骤二：分别以点 A，B 为圆心，以固定长(大于 AB 长的一半)为半径画弧，两弧交于点 C。由作图可知：AC =BC 步骤三：作射线 OC，则 OC 就是AOB 的平分线。由作图

4、可知：定理，可得 同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。二、【典型例题】例 1.：如下图，CC90，ACAC 求证：1ABCABC；2BCBC要求：不用三角形全等判定 例 2.如下图，ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PFAC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且 D 点到 PE的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC，并说明理由 例 3.如下图，ABC 的角平分线 BM，相交于点 P，则 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？例 4.如下图的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所

5、夹角的平分线上的 P点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为*轴、y 轴建立平面直角坐标系 1学校距铁路的距离是多少？2请写出学校所在位置的坐标 例 5.如下图，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？假设能，请作出点 E，并给出证明；假设不能，请说明理由 练习一 一、填空题：1.如图 1-31，ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分ABC交AD于E,EFAB,则AB=，BF=；2.：如图 1-32，在 RtABC中，C=90,AC=BC,BD平分ABC交AC于D,DEAB于E，假设B

6、C=5,则DEC的周长为.二、选择题：1.如图 1-33，ABC中，B=42,ADBC于D，E是BD上一点，EFAB于F，假设ED=EF,则AEC的 度 数 为 ；A.60 B.62 C.64 D.66 2.给出以下命题：垂直于同一条直线的两直线平行；角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形的三条角平分线相交于一点；全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有 .图1-33FEDCBA.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 三、解答题：如图 1-34，：ABC中，BAC=90,ADBC于D，AE平分DAC，EFBC交AC于F，连接BF.求证：BF是ABC的平分线.【综合练

7、习】：如图 1-35，ABC中，AB=2AC,AD平分BAC，且AD=BD.求证：DCAC.例题答案 例 1.：如下图，CC90，ACAC 求证：1ABCABC；2BCBC要求：不用三角形全等判定 证明：1CC90，ACBC，ACBC垂直的定义 又ACAC，点 A 在CBC的角平分线上到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ABCABC 2CC，ABCABC，180CABC180CABC 三角形角和定理 即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC角平分线上的点到这个角两边的距离相等 例 2.如下图，ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PFAC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且

8、 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC，并说明理由 解：AD 平分BAC D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，点 D 在EPF 的平分线上 12 又PEAB，13 同理，24 34，AD 平分BAC 例 3.如下图，ABC 的角平分线 BM，相交于点 P，则 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？解：AP 平分BAC 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 理由：过点 P 分别作 BC，AC，AB 的垂线，垂足分别是 E、F、D BM 是ABC 的角平分线且点 P 在 BM 上，PDPE角平分线上的点到

9、角的两边的距离相等 同理 PFPE，PDPF AP 平分BAC到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 例 4.如下图的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为*轴、y 轴建立平面直角坐标系 1学校距铁路的距离是多少？2请写出学校所在位置的坐标 解：1点 P 在公路与铁路所夹角的平分线上，点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点 P 到公路的距离是 400m，ABCDEF图1-34ABCD图1-35.点 P学校到铁路的距离是 400m 2学校所在位置的坐标是400，400 评析：角平分线的性质的作用是通过角

10、相等再结合垂直证明线段相等 例 5.如下图，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？假设能，请作出点 E，并给出证明；假设不能，请说明理由 解：能过点 D 作 DEAB 于 E，则BDE 的周长等于 AB 的长理由如下：AD 平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE 在 RtACD 和 RtAED 中，RtACDRtAEDHL ACAE 又ACBC，AEBC BDE 的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 1.4 角平分线 练习一【根底练习】一、1.AC,BD；2.52.二、1.D；2.A.三、提示：证AF=EF.【综合练习】提示：作DEAB,证ADCADE.