立体几何证明方法总结教师20175.pdf
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1、-一、线线平行的证明方法:1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线就和交线平行。线面平行的性质定理 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。面面平行的性质定理 5、如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线 平行。线面垂直的性质定理 6、平行于同一条直线的两条直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。需证明 二、线面平行的证明方法:1、定义法:直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行。线面平行的判定定理 3、两个平面平行,其中一
2、个平面的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法:1、定义法:两平面没有公共点。2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行。面面平行的判定定理 3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点,有且只有一个平面和平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法:1、勾股定理。2、等腰三角形。3、菱形对角线。4、圆所对的圆周角是直角。5、点在线上的射影。6、如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线就和这个平面任意的直线都垂直。7、在平面的一条直线,如果和这个平面一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直。三垂线定理,需证明 8、在平面的一条
3、直线,如果和这个平面一条斜线垂直,则它也和这条斜线的射影垂直。三垂线逆定理,需证明 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法:-1、定义法:直线与平面任意直线都垂直。2、点在面的射影。3、如果一条直线和一个平面的两条相交直线垂直,则 这条直线垂直于这个平面。线面垂直的判定定理 4、如果两个平面互相垂直,则在一个平面垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的性质定理 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面,则两平面交线
4、垂直于第三个平面。8、过一点,有且只有一条直线与平面垂直。9、过一点,有且只有一个平面与直线垂直。六、面面垂直的证明方法:1、定义法:两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。面面垂直的判定定理 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,则这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面互相垂直。一选择题共 27 小题 1 2010设 l,m 是两条不同的直线,是一个平面,则以下命题正确的选项是 A 假设 lm,m,则 l B 假设 l,lm,则 m C 假设 l,m,则 lm D 假设 l,m,则 lm 2 2006过平
5、行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 3直线 l 与平面 无公共点是l的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4m,n 表示两条直线,表示一个平面,给出以下四个命题:n;其中正确命题的序号是 A B C D 5 正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,G 分别是 A1B1、CD、B1C1的中点,则以下中与直线 AE 有关的正确命题是 A AE 丄 CG B AE 与 CG 是异面直线 C 四边形 ABC1F 是正方形 D AE平面 BC1
6、F 6直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面的 A 一条直线不相交 B 两条直线不相交 C 任意一条直线都不相交 D 无数条直线不相交 7、表示平面,a、b 表示直线,则 a 的一个充分条件是 A,且 a B=b,且 ab C ab,且 b D,且 a 8两条直线 a,b,两个平面,则以下结论中正确的选项是 A 假设 a,且,则 a B 假设 b,ab,则 a-C 假设 a,则 a D 假设 b,ab,则 a 9以下四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB平面 MNP的图形的序号是 A、B、C、D、10设、是三个不同的平面,a、b 是两条不
7、同的直线,给出以下 4 个命题:假设 a,b,则 ab;假设 a,b,ab,则;假设 a,b,ab,则;假设 a、b 在平面 的射影互相垂直,则 ab其中正确命题是 A B C D 11两条直线 a,b 和平面,假设 b,则 ab 是 a 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 12直线 a 和平面,则 a 的一个充分条件是 A 存在一条直线 b,ab,b B 存在一条直线 b,ab,b C 存在一个平面,a,D 存在一个平面,a,a 13,表示平面,a,b 表示直线,则 a 的一个充分条件是 A a,B a=b,ab C ab,b D,a 14
8、A,b,c 为三条不重合的直线,为三个不重合平面,现给出六个命题 ab ab a a 其中正确的命题是 A B C D 15以下说确的是 A 垂直于同一平面的两平面也平行 B 与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 C 过一点有且只有一条直线与直线垂直 D 垂直于同一直线的两平面平行 16两条直线 m、n 与两个平面、,以下命题正确的选项是 A 假设 m,n,则 mn B 假设 m,m,则 C 假设 m,m,则 D 假设 mn,m,则 n 17直线 a,b,平面,则 a 的一个充分条件是 A ab,b B a,C b,ab D ab,b,a 18A 是平面 BCD 外一点,E,F,G 分
9、别是 BD,DC,CA 的中点,设过这三点的平面为,则在直线 AB,AC,AD,BC,BD,DC 中,与平面 平行的直线有 A 0 B 1 条 C 2 条 D 3 条 19 2010在空间,以下命题正确的选项是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 20 2008设有直线 m、n 和平面、,以下四个命题中,正确的选项是 A 假设 m,n,则 mn B 假设 m,n,m,n,则 C 假设,m,则 m D 假设,m,m,则 m 21 2008 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA
10、1=1,则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为 A B C D -22 2008两条不同直线,是三个不同平面,以下命题中正确的选项是 A 假设 m,n,则 mn B 假设,则 C 假设 m,m,则 D 假设 m,n,则 mn 23 2007假设 m,n 是两条不同的直线,是三个不同的平面,则以下命题中为真命题的是 A 假设 m,则 m B 假设=m,=n,mn,则 C 假设,则 D 假设 m,m,则 24 2007两条直线 m,n,两个平面,给出下面四个命题:mn,m n,m,n mn mn,m n,mn,m n 其中正确命题的序号是 A B C D 25 2002三条直线 m、n
11、、l,三个平面 a、b、g,以下四个命题中,正确的选项是 A B C D 26直线 m 平面,直线 n 平面,直线 cm,直线 cn是直线 c平面 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 27假设直线 a直线 b,且 a平面,则 b 与平面 的位置关系是 A 一定平行 B 不平行 C 平行或相交 D 平行或在平面 二填空题共 3 小题 28如图:点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,则以下四个命题:三棱锥 AD1PC 的体积不变;A1P面 ACD1;DPBC1;面 PDB1面 ACD1 其中正确的命题的序号是 _ 2
12、9考察以下三个命题,在处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题其中 l,m 为不同的直线,、为不重合的平面,则此条件为 _ l,l,l 30在正四面体 PABC 中,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CA 的中点给出下面四个结论:BC平面 PDF;DF平面 PAE;平面 PDF平面 ABC;平面 PAE平面 ABC,其中所有不正确的结论的序号是 _ 1.分析:根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断C:根据线面平行的判定定理判断D:由线线的位置关系判断B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案 解答:解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面两条相交直线才行,不正确;C:l
13、,m,则 lm 或两线异面,故不正确 D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确 B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正-确 应选 B 2.:解:如图,过平行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 12 条,应选 D 3 解:假设直线 l 与平面 无公共点成立,则l 即直线 l 与平面 无公共点 l为真命题 反之,当l时,直线 l 与平面 无公共点 即l 直线 l 与平面 无公共点也为真命题 根据充要条件的定义可得:直线 l 与平面 无公共点是l的充要条件 应选 C 4:mn,根据线面
14、垂直的性质定理:垂直于同一平面的两直线平行,故正确 n,由 m,mn 得 n 或 n,故不正确 mn,由 m,n,则 m,n 可能平行、可能相交、可能异面故不正确,则 m,n 可能相交、可能异面,根据异面直线所成的角,可知 mn故正确 应选 D 5 根据正方体的几何特征,可以判断出 AE 与 CG 相交,但不垂直,由此可以判断出 A,B 的真假,分析四边形 ABC1F中各边的长度,即可判断 C 的真假,由线面平行的判定定理,可以判断出 D 的真假,进而得到答案 解:由正方体的几何特征,可得 AE 丄 C1G,但 AE 与平面 BCB1C1不垂直,故 AE 丄 CG 不成立;由于 EGAC,故
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