2022年全国高中数学联赛预赛一试和加试试题(A卷)4097.pdf

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1、2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题(本题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分)1集合 A=n|n3 2022 2,若 f(x)的值域为 9,11,则 a 的取值范围是.3一枚不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的 9 倍,则随机抛掷它两次得到正面,反面各一次的概率为.4若复数 z 满足:z 3iz+i为负实数(i 为虚数单位),z 3z+1为纯虚数,则 z 的值为.5若四棱锥 P ABCD 的棱 AB,BC 的长均为2,其他各棱长均为 1,则该四棱锥的体积为.6已知函数 y=f(x)的图像既关于

2、点(1,1)中心对称,又关于直线 x+y=0 轴对称.若 x (0,1)时,f(x)=log2(x+1),则 f(log210)的值为.7在平面直角坐标系中,椭圆 :x24+y2=1,P 为 上的动点,A,B 为两个定点,其中 B 的坐标为(0,3),若 PAB 的面积的最小值为 1,最大值为 5,则线段 AB 的长为.8一个单位方格的四条边中,若有两条边染了颜色 i,另两条边分别染了异于 i 色的另两种不同颜色,则称该单位方格是“i 色主导”的.如图,一个 1 3 方格表的表格线共含 10 条单位长线段,现要对这10 条线段染色,每条线段染为红,黄,蓝三色之一,使得红色主导,黄色主导,蓝色主

3、导的单位方格各有一个.这样的染色方式数为(答案用数值表示).1二、解答题(第 9 题 16 分,第 10,11 题各 20 分,共 56 分)9.(本题满分 16 分)若 ABC 的内角为 A,B,C 满足 sinA=cosB=tanC,求 cos3A+cos2A cosA 的值.10.(本题满分 20 分)给定正整数 m(m 3).设正项等差数列 an 与正项等比数列 bn 满足:an 的首项等于 bn 的公比,bn 的首项等于 an 的公差,且 am=bm.求 am的最小值,并确定当 am取到最小值时 a1与 b1的比值.11.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系中,双曲线 :x23 y

4、2=1.对平面内不在 上的任意一点P.记 P为过点 P 且与 有两个交点的直线的全体.对任意直线 P,记 M,N 为 与 的两个交点.定义 fP()=|PM|PN|.若存在一条直线 0 P满足:0与 的两个交点位于 y 轴异侧,且对任意直线 P,=0,均有 fP()fP(0),则称 P 为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.22022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨 2022 年全国高中数学联合竞赛 加试试题（A 卷）一、（本题满分 40 分）如图，在凸四边形ABCD中，90ABCADC=对角线BD上一点P满足2APBCPD=，线段AP上两点,X Y，满足2AXBADB=,2AYD

5、ABD=，证明：2BDXY=二、（本题满分 40 分）设整数(1)n n 恰有k个互不相同的素因子，记n的所有正约数之和为()n，证明：()(2)!nnk.三、（本题满分 50 分）设12100,a aa是非负整数，同时满足以下条件：（1）存在正整数100k，使得12kaaa，而当i k时0ia=；（2）123100100aaaa+=；（3）123100231002022aaaa+=求22212310023100aaaa+的最小可能值.四、（本题满分 50 分）求具有下述性质的最小正整数t：将100 100的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过 104,则存在一个1 t或1t的矩形，其中t个小方格含有至少三种不同颜色 3