2019年北京汇文中学新高一新生入学分班考试数学试题-含详细解析.docx

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1、 2019 年北京汇文中学新高一新生入学分班考试数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，共 16 分）1. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上，小明用边长为 4 的正cm方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品-“奔跑者”，其中阴影部分的面积为2的是( )A.C.B.D.2. 如图，正比例函数 =，一次函数 =+ 和反比例函数 = 的图象在同一直角坐标系中，123若 ，则自变量 的取值范围是( )x312A.C.B.D. 10.5 1 1或0 10 1| = 1|，则= 1| 1|，则= 0； + 0，2正确的有( )A.B.C.D.4 个3 个中，

2、2 个1 个= 3，点 ， 分别在边E F上，=沿边上，则D.2A.B.C.1327. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 与注水时间 的函数图象大致为图中的( )A.C.B.D.8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 =值为( )4 0)与 = 1的图象交于点，则代数式 的11C.14D. 14第 2 页，共 33 页 二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）9. 对于任意两个不相等的数 ， ，定义一种新运算“”如下： = ，如：3 2 = 32 =a b325，那么12 4 =_10. 如图，

3、、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若= 18，则这个正多边A B C DO形的边数为_11. 二次函数 = 0；的图象如图所示，下列结论：21 = 0； 1；关于 x 的一元二次方程= 0的一个根为 1，21另一个根为 12. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则=_度13. 如图，在中，= 90，= 3，= 4，则的内切圆半径 =_第 3 页，共 33 页 14. 如图，= 30，在上截取= 3.过点 作，交于点 ，以点 为圆OMON111 111心，为半径画弧，交 OM 于点 ；过点 作，交 ON 于点 ，以点 为圆心，为1222 2222半径画弧，交

4、于点 ；按此规律，所得线段 20 20的长等于_OM315. 矩形纸片 ABCD，长=，宽=，折叠纸片，使折痕经过点 ，交B边于点 ，点AD EA落在点 处，展平后得到折痕 BE，同时得到线段，不再添加其它线段当图中存在30角时， 的长为_厘米AE16. 设 ， ， ， 是反比例函数 = 图象上的任意四点，现有以下结论：A B C D四边形四边形四边形四边形可以是平行四边形；可以是菱形；ABCDABCDABCDABCD不可能是矩形；不可能是正方形其中正确的是_. (写出所有正确结论的序号)17. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120的扇形 ABC，如果将剪下来的扇形围成1m一个

5、圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_第 4 页，共 33 页 间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想= 90，点 ， 分别在射线M N= 4， 为E，的距离分别为 和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小DEBA BC值为_三、解答题（本大题共 10 小题，共 64 分）19. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒4支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元小贤要买 支笔芯， 本笔记本需花费 元；小艺要191032买 支笔芯， 本笔记本需花费 元7 1 26(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；(2)小贤和小艺都还想

6、再买一件单价为 元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有3小贤还剩 元钱他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明220. 如图，在中，= 60，对角线， 经过点 ， ，与A B交于点 ，连接M并AOABCDAC延长与 交于点 ，与的延长线交于点 ，=FCB(1)求证：EC 是 的切线；= 2 3，求的长(结果保留 (2)若E第 5 页，共 33 页 21. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不

7、合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体(1)为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性(1860岁)女性(1855岁)抽样人数(人) 2000平均身高(厘米) 1735000175200001762000164500016520000164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用_厘米，女性应采用_厘米；(2)如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用(1)中的数据得出测温头点 距地面 105 厘米指示牌挂在两臂杆 ， 的连接点 处， 点距地面 110 厘PAB

8、ACAA米臂杆落下时两端点 ， 在同一水平线上，B C= 100厘米，点 在点 的正下方 5 厘米处若CP两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角(参考数据表计算结计算结果(近似值)果(近似 计算器按键顺序值)0.178.784.35.70.21.73.511.3第 6 页，共 33 页 = 2,+22. 已知关于 ， 的方程组 + 2 = 103,与x y= 15的解相同+ = 4(1)求 ， 的值；a b(2)若一个三角形的一条边的长为2 6，另外两条边的长是关于 的方程 + = 0的解试判x2断该三角形的形状，并说明理由23. 我们知道：如图，点 把线段分成两部分，如果 = ，那么称点 为线段的黄

9、金分割ACBACB点它们的比值为512(1)在图中，若=，则的长为_cm；AB(2)如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕 EF，连接 CE，20cm上，点 对应点 ，得折痕 试说明： 是ABCD将折叠到CE的黄金分割点；CBBHGAB(3)如图，小明进一步探究：在边长为 的正方形的边上任取点，连接aABCDADBE，作，交AB于点 ，延长F、EF CB交于点 他发现当与PB BC满足某种关系时， 、E F恰好分别是、 的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由AD AB第 7 页，共 33 页 24. 已知的两边分别与 相切于点 ， ， 的半径为 A Br(1)如图 ，点 在

10、点 ， 之间的优弧上，= 80，求的度数；最大时，要使四边形 为菱形，APBC1CA B(2)如图 ，点 在圆上运动，当的度数应为多少？请2CPC说明理由；(3)若交 于点 ，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 的式子表示)PCDr25. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边1形，它们的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究：123类比探究(1)如图 ，在 中，BC 为斜边，分别以 ， ， 为斜边向外侧作 AB AC BC， 2， 推广验证(2)如图 ，在 ，若1 = 2 = 3，则面积 ， ， 之间的关系式为_；123中，BC 为

11、斜边，分别以 ， ， 为边向外侧作任意AB AC BC，3，满足1 = 2 = 3，=，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 ，在五边形中，= 105，的面积ABCDE= 90，= 2 3，= 2，点4ABCDEP在上，= 30，= 2，求五边形AE第 8 页，共 33 页 26. 已知直线 ： =+ 10交 轴于点 ，交 轴于点 ，二次函数的图象过 ， 两点，交 轴于另yAxBA Bx1一点 ，C= 4，且对于该二次函数图象上的任意两点, )，, )，当 5时，总11122212有 12(1)求二次函数的表达式；(2)若直线 ：

12、=+ 10)，求证：当 = 2时，1；22为线段上不与端点重合的点，直线 ：过点 且交直线C于点 ，求与BC=+AEF3面积之和的最小值27. 如图，点 是反比例函数 =8B A 0)图象上一点，过点 分别向坐标轴作垂线，垂足为 ， 反比B例函数 = 0)的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分别相交于点 D， 连接 DE 并延长交 x轴于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 ， CFGOBF BG(1)填空： =_；(2)求 的面积；(3)求证：四边形为平行四边形BDFG第 9 页，共 33 页 28. 如图 ， 与直线 相离，过圆心 作直线 的垂线，垂足为 ，且交 于 、 两点 在

13、、1aIaHP Q P H之间).我们把点 称为 关于直线 的“远点“，把的值称为 关于直线 的“特征aPa数”(1)如图 ，在平面直角坐标系中，点 的坐标为(0,4).半径为 的 与两坐标轴交于点 、2xOyE1A、 、 B C D过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则 关于直线 m 的“远点”是点_(填“A”.“B”、“C”或“ ”)， 关于直线 的“特征数”为_；Dm若直线 n 的函数表达式为 = + 4.求 关于直线 n 的“特征数”；(2)在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，点 是坐标平面内一点，以 为圆心， 2为半xOylFF径作 若 与直线 相离，点是 关于直线 的“远点”.

14、且 关于直线 的“特征11l数”是4 5，求直线 的函数表达式l第 10 页，共 33 页 答案和解析1.【答案】D1 1 4 =2)，平行四边形面积为【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积=22，中等的等82腰直角三角形的面积为2，最大的等腰直角三角形的面积为2，则A、阴影部分的面积为2 + 2 =B、阴影部分的面积为1 + 2 =C、阴影部分的面积为4 + 2 =D、阴影部分的面积为4 + 1 =故选：D2)，不符合题意；2)，不符合题意；2)，不符合题意；2)，符合题意1 1 4 =先求出最小的等腰直角三角形的面积=22，可得平行四边形面积为2，中等的等腰直82角三角形的面积为即可求解2

15、，最大的等腰直角三角形的面积为2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积2.【答案】D【解析】解：由图象可知，当 1或0 ，312所以若 ，则自变量 x 的取值范围是 1或0 0时，若 1| 1|，则 ，故选项 B 错误；12212当 1|，则 ，故选项 A 错误；112若 1| = 1|，则 = ，故选项 C 正确；1212若 = ，则 1| = 1|，故选项D 错误；1212故选：C根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从第 12 页，共 33

16、 页 而可以解答本题本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答5.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得： 0，根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得： 0， 0，故正确；直线 = 1是抛物线 =由图象可知，当 = 2时， 0，即 2 + 0，2+ 0)的对称轴，所以 = 1，可得 =，2+ 0，即 + 0；当 = 1时， = + 0，两式相加得， + + 0，故正确；结论正确的是3个，故选：B根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合

17、思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式6.【答案】D【解析】解：四边形 ABCD 是正方形，= 90，= 60，=将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，= 60，=，= 180 = 60，=，设= ，则= ，= 3 ，第 13 页，共 33 页 2(3 = ，解得 = 2故选：D由正方形的性质得出= 60，由折叠的性质得出= 60，=，设= ，则案= ，= 3 ，由直角三角形的性质可得：2(3 = ，解方程求出 x 即可得出答本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关

18、键7.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于 ，则可以判断 A、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流0入小玻璃杯，因而这段时间 h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随 t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化故选：B根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象本题考查了函数的图象正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函

19、数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小8.【答案】C【解析】解：由题意得，4=1 17=1172=，解得，2 或= 1712(舍去)，= 1= 1172点 1 17 , 171)，22即： = 1 17， = 171，22 1 1 = 2 2 = 1，1 171714故选：C根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a、b 的值，代入计算即可本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提第 14 页，共 33 页 9.【答案】2【解析】解：12 4 = 124 = 2124故答案为：2先依据定义列出算式，然后再进行计算即可本题主要考查的是算术平方根的性质，根据

20、定义运算列出算式是解题的关键10.【答案】10【解析】解：连接 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，B C DO点 、 、 、 在以点 为圆心， 为半径的同一个圆上，A B C D= 18，=OOA= 36，这个正多边形的边数= 360 = 10，36故答案为：10连接， ，根据圆周角定理得到OA OB= 36，于是得到结论本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键11.【答案】【解析】解：由二次函数的图象开口向上可得 0，对称轴在 轴的右侧， 0，y 0，故错误；由图象可知抛物线与 轴的交点为(1,0)，与 轴的交点为(0, 1) ，xy = 1 ，1

21、= 0，故正确； 1 = 0，1 =， 0， 1，故正确； 抛物线与与 轴的交点为(0, 1) ，y第 15 页，共 33 页 抛物线为 =+ 1，2抛物线与 轴的交点为(1,0)，x 1 = 0的一个根为 1，根据根与系数的关系，另一个根为 ，故 正确；1+2故答案为由抛物线的开口方向判断 与 0 的关系，由抛物线与 轴的交点得出 的值，然后根据抛物线与 轴交点aycx的个数及 = 1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如： = + + ，然后根据图象判断其值12.【答案】30【解

22、析】解：正六边形的每个内角的度数为：(62)180 = 120，6所以= 120 90 = 30，故答案为：30由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出的度数本题考查了多边形内角和定理解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数13.【答案】1【解析】解：在中，= 90，= 3，= 4，根据勾股定理，得= 5，如图，设的内切圆与三条边的切点分别为 、 、 ，D E F连接、 、 ，OD OE OF，可得矩形 EOFC，根据切线长定理，得=，第 16 页，共 33 页 矩形是正方形，EOFC= = ，= 3 ，= 4 ，=+=，

23、 3 + 4 = 5，解得 = 1则故答案为：1在 中，的内切圆半径 = 1= 90，= 3，= 4，根据勾股定理可得= 5，设的内切圆与三条边的切，可得矩形 EOFC，再根点分别为 、 、 ，连接D E F、 、 ，可得OD OE OF，据切线长定理可得=，所以矩形是正方形，可得= ，所以= 3 ，EOFC= 4 ，进而可得的内切圆半径 的值r本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心14.【答案】219【解析】解：=1 1，2，11 1=1 2，1，2 21 11 12 2，= 11 12 2，2=1 1，2 2同法可得= 22 1 1，2 23 3由此规律可

24、得= 219 1 1，20 20= 3 3 = 1，1 113= 2 ，1920 20故答案为219利用三角形中位线定理证明=1 1，= 22 1 1，寻找规律解决问题即可2 22 23 3本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型第 17 页，共 33 页 15.【答案】43厘米或43厘米或8 433【解析】解：当当= 30时，= 43；3= 4 = 43= 30时，= 15时，；33= 30，延长交于 ，如下图所示，AD F设= ，则= ，= 2 ，3=+= 43，3 + 2 = 43，33 = 8 43，= 8 43故答案为：43厘米或4 3厘米或

25、8 4 3厘米3根据翻折可得=，分 3 种情况讨论：当= 30时或当= 30时或当= 30时求的长AE本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质16.【答案】【解析】解：如图，过点 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 ， ， ， ，得到四边形O A C B DABCD第 18 页，共 33 页 由对称性可知，=，=，四边形是平行四边形，ABCD当=时，四边形是矩形ABCD反比例函数的图象在一，三象限，直线 与直线 不可能垂直，AC四边形BD不可能是菱形或正方形，ABCD故选项正确，故答案为，如图，过点 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 ， ， ， ，得到四边形O A

26、 C B D证明四边形是平行四边形即可解决问题ABCD本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型17.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为 1 ，圆心角的度数为120，m则扇形的弧长为：，180而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：=，1801解得， = ，31故答案为： 3求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键第 19 页，共 33 页 18.【答案】2 5 2【解析】解：如图，连接

27、， BE BD由题意+ 4 = 25，= 222= 90，= 4，=，= 1= 2，2点 的运动轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆，EB当点 落在线段上时，DE 的值最小，BDE的最小值为2 5 2故答案为2 5 2如图，连接 BE，求出 ， ，根据BE BD求解即可本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19.【答案】解：(1)设笔记本的单价为 元，单独购买一支笔芯的价格为 元，xy+= 19= 26依题意，得：，= 5= 3解得：答：笔记本的单价为 5 元，单独购买一支笔芯的价格为 3 元(2)小贤和小艺带的总钱数为19

28、 + 2 + 26 = 47(元)两人合在一起购买所需费用为5 (2 + 1) + (3 0.5) 10 = 40(元) 47 40 = 7(元)，3 2 = 6(元)，7 6，他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品【解析】(1)设笔记本的单价为 元，单独购买一支笔芯的价格为 元，根据“小贤要买 3 支笔芯，2 本笔xy记本需花费 19 元；小艺要买 7 支笔芯，1 本笔记本需花费 26 元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程x y组，解之即可得出结论；第 20 页，共 33 页 (2)先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于 个小工艺品所需钱2数

29、，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【答案】(1)证明：连接四边形是平行四边形，= 60，= 90，= 30，=，=+= 60，= 30，= 30，= 30 + 60 = 90，是 的切线；(2) 四边形 是平行四边形，ABCD= 23，=过 作O于 ，H则四边形是矩形，OBCH= 23，= 4，= 60，的长度=3603【解析】(1)证明：连接 OB，根据平行四边形的性质得到腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到= 60，求得= 30，于是得到结论；于 ，则四边形 是矩形，解直角OB

30、CH= 30，根据等=(2)根据平行四边形的性质得到= 2 3，过 作OH三角形即可得到结论第 21 页，共 33 页 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键21.【答案】176 164【解析】解：(1)用表格可知，男性应采用 176 厘米，女性应采用 164 厘米故答案为 176，164(2)如图 2 中，=，=，=由题意=，= 50 = 5，10= 78.7，= 157.4，答：两臂杆的夹角为157.4(1)根据样本平均数即可解决问题(2)利用等腰三角形的性质求出即可本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌

31、握基本知识，属于中考常考题型+ = 4 = 222.【答案】解：(1)由题意得，关于 ， 的方程组的相同解，就是程组x y的解，= 3= 1解得，代入原方程组得， = 4 3， = 12；(2)当 = 4 3， = 12时，关于 的方程 + = 0就变为+ 12 = 0，x242解得， = 23，12又 (2 3) + (23) = (26) ，222以2 3、2 3、2 6为边的三角形是等腰直角三角形 = 2,= 15的解相同实际就是方程组+【解析】(1)关于 ， 的方程组 + 2 = 103,与x y+ = 4+ = 4a b的解，可求出方程组的解，进而确定 、 的值； = 2(2)将 、

32、 的值代入关于 的方程 + = 0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2 6为边长，a bx2判断三角形的形状第 22 页，共 33 页 本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键23.【答案】(10 5 10)【解析】解：(1) 点 为线段的黄金分割点，=，BAC= 51 20 = (105 2故答案为：(10 5 10)(2)延长， 交于点 ，EA CG M四边形为正方形，ABCD，=由折叠的性质可知，=，=，=，= 10，= 20，=+= 10 + 20 = 1052222= 105，= 105 + 10，=20=2 = 51105+105+12= 51，2即 = 51，2= 51，2 是(3)当的黄金分割点；AB=时，满足题意理由如下：第 23 页，共 33 页 四边形是正方形，ABCD，= 90，+= 90，又+= 90，=，=，当 、 恰好分别是E F、 的黄金分割点时，AD AB，=，=，=，=，=，=(1)由黄金分割点的概念可得出答案；(2)延长 交于点 ，由折叠的性质可知，EA CG=，得出=，则=，M根据勾股定理求出案；的长，由锐角三角函数的定义可出51 ，即 = 51 ，则可得出答=CE22(3)证明，由全等三角形的性质得出=，证明，得出 = ，则可得出答案本题是相似