2019年北京八中新高一分班考试数学试题-真题2019.8.docx

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1、 2019 年北京八中新高一入学分班考试数学试题2019.8一、选择题（本大题共 9 小题，共 31.0 分）1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且= 12，点 P 在正方形的边上，则满足+= 9的点 的个数是( )PA.B.C.D.0468第 1 题图2. 如图是二次函数第 2 题图第 3 题图=+的图象，对于下列说法： 0，+ 0，22，+ + 0时， 随 的增大而减小，其中正确的是 ( )y xA.B.C.D.3. 如图，边长为 的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折2叠，点 落在对角线上的点 处

2、，折痕交DF AC于点 ，则= ( )CBDEMA.B.C.D.1223 12 124. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使= 2，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB，延长交 于 ，连接FG DC M， ，AM AF H为的中点，连接分别与；，AB AM交于点 、 ：则下列结N KADFH论： =；=；：= 1：4.其中正确的结论有( )A.B.C.D.1 个2 个 3 个4 个5. 关于 x 的一元二次方程有两个实数根 ， ，若 + + 2 = 0212121 2) += 3，则 的值( )k21 2A.B.C.D.20 或 22或 22第 1 页，共 33 页

3、 141 2) 6. 若关于 x 的一元一次不等式组2的解集是，且关于 y 的分式方程 0)的函数叫做“鹊桥”函 3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为(1,0)，(3,0)和(0,3)；图象具有对称性，对称轴是直线 = 1；当1 1或 3时，函数值 随 值的增大而增大；当 = 1或 = 3时，函数的最小值13. 我们定义一种新函数：形如 0，且=+22数小丽同学画出了“鹊桥”函数 =2yx是 0；当 = 1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是_14. 某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去

4、追赶甲乙刚出发 2 分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 米)与甲出发的时间 分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计).则乙回到公司时，甲距公司的路程是_米第 3 页，共 33 页 15. 如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠(点 E，H 在 AD 边上，点 F，G 在 BC 边上)，使点和点 落在C边上同一点 处， 点的对称点为 点， 点的对称点为 点，若=BADPAD90，的面积为4，的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_第 15

5、 题图三、解答题（本大题共 10 小题，共 108.0 分）16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图 1，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆已知圆心在O水面上方，且圆被水面截得的弦长为 6 米，= 41.3，若点 为运行轨道的最高点CAB的连线垂直于，求点 到弦C所在直线的距离OAB(参考数据： 0.66， 0.75， 0.88)第 4 页，共 33 页 17. 如图，135中，= 90，P 为内部一点，且=(1)求证：(2)求证：；=；(3)若点 到三角形的边 ， ， 的距离分别为 ， ， ，求证 = AB BC

6、CAP211232318.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中小学楼梯宽度的范围是，高度的范围是 如图是某中学的楼含含梯扶手的截面示意图，测量结果如下： ，AB CD分别垂直平分踏步 ， ，各踏步互相平行，EF GH=，=，= 65，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定(结 0.906， 0.423)果精确到 1 ，参考数据：mm第 5 页，共 33 页 19.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在 ，= 90，将斜边绕点 顺时针旋转90得到，过点 作ABAADD于点 ，可以推理得到，进而得到=，=E我们把这个数学模型成为“ 型”K推理过程如下

7、：【模型应用】如图，在 内接于 ，= 90，= 2，将斜边绕点 顺时针旋转一定的角AAB度得到，过点 作AD D于点 ，=，= 1，连接交 于点 EDOF(1)求证：AD 是 的切线；(2)连接 于点 ，连接 求证： 2 =交FC ABG第 6 页，共 33 页 20.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在 ，= 90，将斜边绕点 顺时针旋转90得到，过点 作ABAADD于点 ，可以推理得到，进而得到=，=E我们把这个数学模型成为“ 型”K推理过程如下：【模型迁移】二次函数 =+ 2的图象交 轴于点(1,0)，两点，交 轴于点 动点 从点2xyMA出发，以每秒 2 个单位长

8、度的速度沿方向运动，过点 作M 轴交直线于点 ，交BC NAB抛物线于点 ，连接，设运动的时间为 秒AC tD(1)求二次函数 =+ 2的表达式；23(2)连接，当 = 时，求的面积；是以BD2(3)在直线上存在一点 ，当为直角的等腰直角三角形时，求此时点 的DMNP坐标；5(4)当 = 时，在直线上存在一点 ，使得+= 90，求点 的坐标QMNQ4第 7 页，共 33 页 21.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边中， 是M边上一点(不含端点 ， ， 是的外角BCBN的平分线上一点，且=求证：= 60的延长线相交于点 ，得等边点拨：如图，作= 60， 与，连接，可得3 = 4

9、；由3 + 1 = 4 + 5 = 60，进一步可得1 = 2 = 5，又因为2 + 6 = 120，易BE NCE证：，可得=，1 = 2；又=，则=所以5 + 6 = 120，即：问题：如图，在正方形= 60中， 是边上一点(不含端点 ， )， 是正方形1 1 1 111 11111的外角的平分线上一点，且=1 1.求证：= 901 1 1 11 1 1111 122.已知抛物线 ： = 3有最低点 3的最小值(用含 的式子表示)；G2(1)求二次函数 =2m(2)将抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 .经过探究发现，随着 的变化，抛物线 顶点Gmm11的纵坐标 与横坐标 之间存在一个函数

10、关系，求这个函数关系式，并写出自变量 的取值范yxx围；(3)记(2)所求的函数为 ，抛物线 与函数 的图象交于点 ，结合图象，求点 的纵坐标的HGHPP取值范围第 8 页，共 33 页 23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式-利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图 0)象同时，我们也学习了绝对值的意义 = 0)结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 =4；当 = 0时， = 1 3| + 中，当 = 2时， =(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出

11、这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；1(3)已知函 = 3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 3| + 21 3的解集2第 9 页，共 33 页 24.如图，已知正方形的边长为 1，正方形的面积为 ，点 在边上，点 在DC G BCABCDCEFGE1的延长线上，设以线段和AD DE为邻边的矩形的面积为 ，且 = 212(1)求线段的长；CE(2)若点 为H边的中点，连接 HD，求证：BC=25.如图，已知锐角三角形内接于圆 ，O于点 ，连接 OADABC(1)若= 60，1求证：=2当= 1时，求面积的最大值(2)点 在线段上，=，连接 DE，设=，=是正数nEOA)，

12、若，求证： + 2 = 0第 10 页，共 33 页 2019 年北京八中新高一入学分班考试数学试题2019.8答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在 BC 上找到点 H，使点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小是本题的关键作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点 H，可得点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解【解答】解：如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点 H点 E，F 将对角线 AC 三等分，且= 8，

13、 = 4 =点 M 与点 F 关于 BC 对称，= 12，= 4，= 45，= 90，=+= 45，22则在线段 BC 存在点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小为 45 9，在点 H 右侧，当点 P 与点 C 重合时，则+= 12，点 P 在 CH 上时， 5 4 12，+在点 H 左侧，当点 P 与点 B 重合时，= 210，2=+2=，=，=，= 210，第 11 页，共 33 页 += 410，点 P 在 BH 上时， 5 4， 0， 0， 0，故错误；由于对称轴可知： 0，故正确；x 轴有两个交点，由于抛物线与= 0，故正确；2由图象可知： = 1时， = + + 时，故选：Cy

14、 随着 x 的增大而增大，故 错误；3.【答案】D【解析】解：四边形 ABCD 是正方形，= 2，= 90，=，= = 2，= 1，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，= 2，= 2 1，+=+= 90，=，第 12 页，共 33 页 = 90在与中，=，= 2 1，故选：D根据正方形的性质得到= 2，= 90，=，求，求=得得= 2，得到= 1，根据折叠的性质得到= 2，= = 2 1，根据全等三角形的性质即可得到结论本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键4.【答案】C【解析】解：四边形

15、EFGB 是正方形，= 2， = 90，四边形 ABCD 是正方形，H 为 AD 的中点，= 2，= 4，= 90，= 2，=，=，故正确；，= 2 = ，= ，故错误；，1= 1，2= 4，= 2，= 90，第 13 页，共 33 页 =，=，=，=，；故正确；延长 FG 交 DC 于 M，四边形 ADMG 是矩形，= 2，121121= 2 1 = 1，= 4 2 = 4，22：= 1：4 故 正确，故选：C由正方形的性质得到，根据全等三角形的定理定理得到，推出 ，得到= 1，根据相似三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到= 2，根据三角形的面积公式即可得到结论= 2，= 90，= 4

16、，= 2，= 90，求得=，=，故正确；根据全等三，故错误；根据全等角形的性质得到=1三角形的性质得到=，根据平行线的性质2得到=；故正确；根据矩形的性质得到=本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键5. 【答案】D【解析】解：关于 x 的一元二次方程 + 2 = 0的两个实数根为 ， ，212+= 1，=+ 2121 2 + 2) += 3，即+ ) 4 = 3，212121 2121 2 1) + 4 4 = 3，2解得： = 2关于 x 的一元二次方程 + 2 = 0有实数根，2 = 1) 4

17、1 + 2) 0，2第 14 页，共 33 页 解得： 22 1或 22 1， = 2故选：D由根与系数的关系可得出 + = 1，=+ 2，结合 + 2) +121 21212= 3可求出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式 0可得出关于 k 的一元二次不等式，1 2解之即可得出 k 的取值范围，进而可确定 k 的值，此题得解本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合 + 2) +1212= 3，求出 k 的值1 26.【答案】B【解析】【分析】本题综合考查了含参一元一次不等式组的整数解，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属141 2) 于易错题先解关于 x 的一

18、元一次不等式组2，再根据其解集是 ，得 a 小于 + 225；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出 a 的值，再求和即可【解答】141 2) 5解：由不等式组2得： + 22解集是 ， 0，22函数 = = 2，函数 =+ 的图象与 x 轴有2 个交点，+ 1) =+ + 1，2当 0时，=点，即 = 2，此时 = ；+= 0，函数 =+ 1)的图象与 x 轴有 2 个交22当 = 0时，不妨令 = 0， ， 0，函数 =x 轴有一个交点，即 = 1，此时 = + 1；综上可知， = 或 = + 1故选：C+ 1) =+ 1为一次函数，与第 17 页，共 33 页 先把两

19、个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与 轴的交点个x数，若一次函数，则与 轴只有一个交点，据此解答x本题主要考查一次函数与二次函数与 轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与xx轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为 0，确定它是什么函数，进而确定与 轴的交点个数x10.【答案】33【解析】解：四边形是矩形，ABCD= 90，= 60，= 30，=由作图知， 是AE的平分线，= 30，= 30，=，过 作于 ，EF= 1，= 23，= 3，= 3，矩形的面积= 3 3，ABCD故答案为：33根据矩形的性质得到= 90，求得= 30，由

20、作图知， 是AE的平分线，得到= 30，根据等腰三角形的性质得到=，过 作于 ，求得EFAC F=E1，求得= 2 3，解直角三角形得到 = 3，= 3，于是得到结论=本题主要考查矩形的性质，作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30角所对边等于斜边的一半11.【答案】 +【解析】解：由图可得，拼出来的图形的总长度=故答案为： + = + 第 18 页，共 33 页 用 9 个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到

21、不同的图案12.【答案】【解析】解：如图 1 中，在上截取，连接 EH=BC=，= 90，= ，= =，= 45，= 90，= 135，=，=，=，=，+= 90，= 90，= 90，= 45，故正确，如图 2 中，延长到 ，使得H，则，=AD=，= 90，= 45，=，=，=，+，=，故错误，的周长=+=+=+=+=+= ，故错误，= ，则设= ，= 第 19 页，共 33 页 11212121414121218= = += +2) = +2，222221 0，21的面积的最大值为1 2.故正确， = 时，28故答案为正确如图1 中，在 BC 上截取=，连接证明，即可解决问题，再证明 错误如

22、图2 中，延长 AD 到 H，使得=，则，即可解决问题正确设= ，则= ，= ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题13.【答案】4【解析】解： (1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数 =3|， 是正确的；2从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 = 1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1 1或 3时，函数值 随 值y x的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与 轴的两个交点，根据 = 0

23、，求出相应的 的值为 = 1或 = 3，因xx此也是正确的；从图象上看，当 3，函数值要大于当 = 1时的 = 2 3| = 4，因此时不正确的；故答案是：4由(1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数 = 3|， 是正确的；从图象可以看出图象具2有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 = 1，也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1 1或 3时，函数值 随 值的增大而增大，因此也是y x正确的；函数图象的最低点就是与 轴的两个交点，根据 = 0，求出相应的 的值为 = 1或 =xx3，因此也是正确的；从图象上看，当 3，函数值要大于当 = 1时的 =3| = 4，因此时不正确的；逐

24、个判断之后，可得出答案2第 20 页，共 33 页 理解“鹊桥”函数 =+ 的意义，掌握“鹊桥”函数与 =+ 与二次函数 =222 +之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数 =2+ 与 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握x14.【答案】6000【解析】解：由题意可得，甲的速度为：4000 (12 2 2) = 500米/分，乙的速度为：4000+50025002 = 1000米/分，2+2乙从与甲相遇到返回公司用的时间为 4 分钟，则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500 (12 2) 500 2 + 500 4 = 6000(米)，故答案为：

25、6000根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15.【答案】2(5 + 35)【解析】解：四边形是矩形，ABCD，设=，= ，由翻折可知：= ，= ，的面积为，设4，= ，则的面积为 1，= ，=， = ，2， = 或=2舍弃)，= ，= 1，=1 2 = 1，第 21 页，共 33 页 = 2，= 2，= 22 + 42 = 2 5，= 12 + 22 = 5，= 4 + 25 + 5 + 1 = 5 + 35，矩形的面积= 2(5 + 3 5

26、).ABCD故答案为2(5 + 35)= ，由翻折可知：设= ，= ，因为的面积为 4，的面积为 1，推出，设= ，则= ，由，推出 ，推出= ，可得 = ，再利用三角形的面积公式求出 即可解决问题a本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题16.【答案】解：连接并延长，与交于点 ，AB DCO1，中，= 3(米)，2在 = 41.3，33= ，即= ，即= 4(米)，0.75= 3 0.88 = 2.64(米)，则=+= 4 + 2.64 = 6.64(米)【解析】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟

27、练掌握各自的性质是解本题的关键连接并延长，与交于点 ，由D与CD AB垂直，利用垂径定理得到 为D的中点，在直角COABAB三角形中，利用锐角三角函数定义求出 OA，进而求出 OD，由+求出的长即可AOD17.【答案】解：(1) CD= 90，=，第 22 页，共 33 页 = 45 =+又= 135，+= 45又= 135，(2) 在 中，=，=(3)如图，过点 P 作于 D，于 E，过 P 作于点 F= ，= ，= ，123+= 135 + 135 = 270= 90，+= 90，又=+= 90=， ，即， = 232，第 23 页，共 33 页 即： = 2123【解析】(1)利用等式的性质判断出=，即可得出结论；，即可得出结论；(2)由(1)的结论得出(3)先判断出 ，进而得出，得出 ，即 = 2 ，再由，判断出是解本题32，即可得出结论此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出的关键=18.【答案】解：连接BD，作于点 ，M=， ，AB CD分别垂直平分踏步 ， ，EF GH，=，四边形是平行四边形，ABCD=，=，= 65，= 65，= 900，= 900，= 900 0.423 381，= 900 0.906 815， 381 3 = 127，120 127