高中数学函数解题技巧方法总结高考-学生版20122.pdf

《高中数学函数解题技巧方法总结高考-学生版20122.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数解题技巧方法总结高考-学生版20122.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-.z.高中数学函数知识点总结 一、.函数的三要素是什么？如何比拟两个函数是否一样？定义域、对应法则、值域 一样函数的判断方法：表达式一样；定义域一致(两点必须同时具备)二、.求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数或式大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的*围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？义域是_。复合函数定义域的求法：)(xfy 的定义域为nm,，求)(

2、xgfy 的定义域，可由nxgm)(解出*的*围，即为)(xgfy 的定义域。例 假设函数)(xfy 的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。四、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域-.z.2、配方法 配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数 y=2x-2*+5，*-1，2的值域。3、判别式法 对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进展化简，不必拘泥在判别式上面 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y

3、=6543xx值域。5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=25xlog31x2*10的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例 求函数 y=*+1x的值域。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的*种

4、几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这-.z.类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：点 P*.y在圆*2+y2=1 上，例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。例求函数 y=1362 xx+542 xx的值域 9、不等式法 利用根本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3a，b，cR，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：10.倒数法 有时，直接看不出函 数 的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 y=32xx的值域 多种方法综合运用 总之，在具体求*

5、个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、.如何用定义证明函数的单调性？取值、作差、判正负 判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得*1,*2，找出 f(*1),f(*2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系 332(0)11113333222x =xx (应用公式 a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc-.z.(2)参照图象：假设函数 f(*)的图象关于点(a，b)对称，函

6、数 f(*)在关于点(a，0)的对称区间具有一样的单调性；特例：奇函数 假设函数 f(*)的图象关于直线*a 对称，则函数 f(*)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。特例：偶函数(3)利用单调函数的性质：函数 f(*)与 f(*)c(c 是常数)是同向变化的 函数 f(*)与 cf(*)(c 是常数)，当 c0 时，它们是同向变化的；当 c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(*)，f2(*)同向变化，则函数 f1(*)f2(*)和它们同向变化；函数相加 如果正值函数 f1(*)，f2(*)同向变化，则函数 f1(*)f2(*)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2

7、(*)同向变化，则函数 f1(*)f2(*)和它们反向变化；函数相乘 函数 f(*)与1()f x在 f(*)的同号区间里反向变化。假设函数 u(*)，*，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在，上复合函数 yF(*)是递增的；假设函数 u(*),*，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在，上复合函数 yF(*)是递减的。同增异减 f(g)g(*)fg(*)f(*)+g(*)f(*)*g(*)都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减/减 增 减/-.z.六、.如何利用导数判断函数的单调性？如：已知，函数在，上是单调增函数，则 的最大af xxax

8、a013()值是 七、函数 f(*)具有奇偶性的必要非充分条件是什么？f(*)定义域关于原点对称 注意如下结论：1在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。八.判断函数奇偶性的方法 1、定义域法 一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的必要条件.假设函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.3、复合函数奇偶性 减 减 增 减 减 f(g)g(*)fg(*)f(*)+g(*)f(*)*g(*)

9、奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非 奇 非偶 奇 偶 奇 偶 非 奇 非奇-.z.九、.你熟悉周期函数的定义吗？函数，T 是一个周期。我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(*)+f(*+t)=0,我们要马上反响过来，这时说这个函数周期 2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(*)=f(2a-*),或者说 f(a-*)=f(a+*).其实这都是说同样一个意思：函数f(*)关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比方，f(*)=f(2a-*),或者说 f(a-*)=f(a+*)就都表示函数关

10、于直线*=a 对称。如：十.你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy()()与的图象关于轴 对称 联想点*,y,(-*,y)f xf xx()()与的图象关于轴 对称 联想点*,y,(*,-y)f xfx()()与的图象关于 原点 对称 联想点*,y,(-*,-y)f xfxyx()()与的图象关于 直线对称1 联想点*,y,(y,*)f xfaxxa()()与的图象关于 直线对称2 联想点*,y,(2a-*,y)f xfaxa()()()与的图象关于 点，对称20 联想点*,y,(2a-*,0)注意如下“翻折变换：十一、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？（）一次函数：10ykxb k(k 为

11、斜率，b 为直线与 y 轴的交点)的双曲线。应用：“三个二次二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次方程 求闭区间m，n上的最值。偶 偶 偶 偶 偶 偶-.z.求区间定动，对称轴动定的最值问题。一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！注意底数的限定！利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？均值不等式一定要注意等号成立的条件 15.你在根本运算上常出现错误吗？16.如何解抽象函数问题？赋值法、构造变换法 对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、代 y=*，2、令*=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1)3、求奇偶性，令 y=*；求单调性：令*+y=*1 几类常

12、见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数 f*k*k0-f*yf*fy 2.幂函数型的抽象函数 f*a-f*y f*fy；fyx)()(yfxf 3.指数函数型的抽象函数 f*a*-f*yf*fy；f*y)()(yfxf 4.对数函数型的抽象函数 f*loga*a0 且a1-f*yf*fy；fyx f*fy 5.三角函数型的抽象函数-.z.f*tg*-f*y)()(1)()(yfxfyfxf f*cot*-f*y)()(1)()(yfxfyfxf 例 1 函数f*对任意实数*、y均有f*yf*fy，且当*0 时，f(*)0，f(1)2 求f(*)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f*在 R

13、 上是增函数注意到f*2f*2*1*1f*2*1f*1 ；再根据区间求其值域.例 2 函数f*对任意实数*、y均有f*y2f*fy，且当*0 时，f(*)2，f(3)5，求不等式 fa22a20,*N；fab fafb，a、bN；f24.同时成立？假设存在，求出f*的解析式，假设不存在，说明理由.分析：先猜出f*2*；再用数学归纳法证明.例 6 设f*是定义在0，上的单调增函数，满足f*yf*fy，f31，求：（1）f1；（2）假设f*f*82，求*的取值*围.分析：1利用 313；2利用函数的单调性和关系式.例 7 设函数y f*的反函数是yg*.如果fabfafb，则gabga gb是否正

14、确，试说明理由.分析：设fam，fbn，则gma，gnb，进而mnfafb fabf gmgn.例 8 函数f*的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：*1、*2是定义域中的数时，有f*1*2)()(1)()(1221xfxfxfxf；fa 1a0，a是定义域中的一个数；当 0*2a时，f*0.试问：（1）f*的奇偶性如何？说明理由；（2）在0，4a上，f*的单调性如何？说明理由.分析：1利用f*1*2 f*1*2，判定f*是奇函数；（3）先证明f*在0，2a上是增函数，再证明其在 2a，4a上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数

15、-.z.问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的根本初等函数.因此，针对不同的函数要进展适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9 函数f*0满足f*yf*fy，（1）求证：f1f10；（2）求证：f*为偶函数；（3）假设f*在0，上是增函数，解不等式f*f*210.分析：函数模型为：f*loga|*|a0（1）先令*y1，再令*y 1；（2）令y 1；（3）由f*为偶函数，则f*f|*|.例 10 函数f*对一切实数*、y满足f00，f*yf*fy，且当*0 时，f*1，求证：（1）当*0 时，0f*1；（2）f*在*R 上是减函数.分析：1先令*y0 得f01，再令y*；（3）

16、受指数函数单调性的启发：由f*yf*fy可得f*y)()(yfxf，进而由*1*2，有)()(21xfxff*1*21.练习题：1.：f*yf*fy对任意实数*、y都成立，则 Af00 Bf01 Cf00 或 1 D以上都不对 -.z.2.假设对任意实数*、y总有f*yf*fy，则以下各式中错误的选项是 Af10 Bfx1 f*Cfyx f*fy Df*nnf*nN 3.函数f*对一切实数*、y满足：f00，f*yf*fy，且当*0 时，f*1，则当*0 时，f*的取值*围是 A 1，B，1 C 0，1 D 1，4.函数f*定义域关于原点对称，且对定义域内不同的*1、*2都有 f*1*2)()

17、(1)()(2121xfxfxfxf，则f*为 A奇函数非偶函数 B偶函数非奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 5.不恒为零的函数f*对任意实数*、y满足f*yf*y2f*fy，则函数f*是 A奇函数非偶函数 B偶函数非奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 函数典型考题 1.假设函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 2函数()f x是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足 22(23)(45)f xxfxx的x的集合 3.假设f(*)是偶函数，它在0,上是减函数,且flg*f(1),则*的

18、取值*围是 A.(110，1)B.(0，110)(1，)C.(110，10)D.(0，1)(10，)4.假设 a、b 是任意实数，且ab,则 -.z.A.a2b2B.ab0 D.12a12b 5.设 a,b,c 都是正数，且346abc，则以下正确的选项是 (A)111cab (B)221Cab (C)122Cab (D)212cab 6对于函数 21f xaxbxb0a 当1,2ab 时，求函数()f x的零点；假设对任意实数b，函数()f x恒有两个相异的零点，*数a的取值*围 6.二次函数2yaxbxc中，0a c ，则函数的零点个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无法确定

19、8假设函数 baxxxf2的两个零点是 2 和 3,则函数 12axbxxg的零点是 A1 和2 B1 和2 C21和31 D21和31 9下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是()f x0*R，其中正确命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 10.函数 f(*2-3)=lg622xx,(1)f(*)的定义域；(2)判断 f(*)的奇偶性；(3)求 f(*)的反函数;(4)假设 f)(x=lg*,求)3(的值。11.以下函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域一样的函数是 Ay=2xxeeBy=lgxx11Cy=-*3 Dy=x