立体几何100题42204.pdf

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1、 1 立体几何 100 题 1.如图，三角形中，是边长为 l 的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.2 在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为2的等边三角形，2AB，,O D分别是,AB PB的中点.（1）求证：/OD平面PAC；（2）求证:OP 平面ABC；（3）求三棱锥DABC的体积.3如图，在直三棱柱111ABCABC中，090BAC，2ABAC，点,M N分别为111,AC AB的中点.（1）证明：/MN平面11BB C C；（2）若CMMN，求三棱锥MNAC的体积.4 如图，在三棱柱中，平面，点 是与的交点，点 在线段上，平面.（1）求证：；

2、1（2）若,求点 到平面的距离.5 如 图，四 棱 锥PABCD中，底 面ABCD是 直 角 梯 形，1,/,2ABBC ADBC ABBCAD，PAD是正三角形，E是PD的中点（1）求证：ADPC；（2）判定CE是否平行于平面PAB，请说明理由 6如图，在四棱锥SABCD中，侧面SAD 底面ABCD，SASD，/ADBC，22ADBCCD，M，N分别为AD，SD的中点（1）求证：/SB平面CMN；（2）求证：BD 平面SCM 7如图，在矩形中，平面，分别为的中点，点是上一个动点 (1)当 是中点时，求证:平面平面；(2)当时，求的值 8如图，在正三棱柱111ABCABC中，点,D E分别是1

3、,AC AB的中点 求证：ED平面11BBC C 1 若12ABBB求证：A1B平面 B1CE.9如图，在长方体1111ABCDABC D中，12,1,1ABADA A.（1）证明直线1BC平行于平面1D AC；（2）求直线1BC到平面1D AC的距离.10如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，且2AB，3FD.（1）求证：/EF平面ABCD；（2）若3CBA，求几何体EFABCD的体积.11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：（）平面AB1E平面B1BCC1；（）A1C（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.1 13如图，在多

4、面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.14已知三棱锥，为的中点，平面，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.15在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.16如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，1,PAPBE为PC的中点 1.（1）求证：/PA平面BDE；（2）求三棱锥PBDE的体积.17如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABCABC中，点G是AC的中点 （1）求证：1/BC平面1ABG；（2）若ABBC

5、，12ACAA，求证：11ACAB 18 如图所示，四棱锥SABCD中，平面SAD 平面ABCD，SAAD，/ADBC，43SABCAB 24AD （1）证明：在线段SC上存在一点E，使得/ED平面SAB；（2）若ABAC，在（1）的条件下，求三棱锥SAED的体积 19（本小题共 12 分）如图，边长为 3 的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AEAB，且2EMMD，3ABAN.（）求证：/MN平面BEC；（）求三棱锥EBMC的体积.1 20如图，在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，分别为的中点，平面 底面.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.21在直三

6、棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：（）平面AB1E平面B1BCC1；（）A1C1ABCD2,1ABADDCCBADCACADC ABCE AB,DE DB（1）求证：BCAD；（2）求E到平面BCD的距离.23如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点 1（）证明：平面；（）设，求三棱锥的体积 24如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.25如图 1，在矩形中，是的中点，将沿折起，得到如图 2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设 为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若

7、不存在，请说明理由.26如图，在四棱锥PABCD中，90ABCACD，BAC 60CAD，PA 平面ABCD，2,1PAAB.设,M N分别为,PD AD的中点.（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥PABM的体积.27 如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA，P为棱1BB上的一个动点.1 （1）求三棱锥1CPAA的体积；（2）当1APPC取得最小值时，求证：1PD 平面PAC.28在三棱柱111ABCABC中，已知侧棱1CC 底面,ABC M为BC的中点，13,2,2ACABBCCC.（1）证明:1BC 平面1AMC；（2）求点1A

8、到平面1AMC的距离.29五边形11ANBC C是由一个梯形1ANB B与一个矩形11BBC C组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点，128ACCCAN 先沿着虚线1BB将五边形11ANBC C折成直二面角1ABBC，如图乙所示 （）求证：平面BNC 平面11C B N；（）求图乙中的多面体的体积 30如图 1，1AFA中，11,82FAFA AACF，点,B C D为线段1AA的四等分点，线段,BE CF DG互相平行，现沿,BE CF DG折叠得到图 2 所示的几何体，此几何体的底面ABCD为正方形.1 （1）证明：,A E F G四点共面；（2）求四棱锥BAEFG的体积.31 如图，三

9、棱锥PABC中，PC 平面ABC，,F G H分别是,PC AC BC的中点，I是线段FG上的任意一点，22PCABBC，过点F作平行于底面ABC的平面DEF交AP于点D，交BP于点E.（1）求证：/HI平面ABD；（2）若ACBC，求点E到平面FGH的距离.32如图，已知正方体的棱长为 3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.33如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，已知平面11AAC C 平面ABCD，且3ABBCCA，1ADCD 1 （1）求证：1BDAA；（2）若E为棱BC的中点，求证：/AE平面11DCC D 34如图，在三棱柱111ABCABC中

10、，底面ABC是等边三角形，且1AA 平面ABC,D为AB的中点，()求证：直线1/BC平面1ACD；()若12,ABBBE是1BB的中点，求三棱锥1ACDE的体积；35如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，垂足分别为，四边形为菱形，且.（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的体积.36如图，在四棱锥PABCD中，122PCADCDAB，/ABDC，ADCD，PC 平面ABCD.1 （1）求证：BC 平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过,C D M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN的高.37如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是

11、边长为2的正方形，侧棱OB 底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点,E F G分别是,AB OD BC的中点.（）证明：OD 平面EFG；（）求三棱锥OEFG的体积.38如图，多面体ABCDEF中，/,ADBC ABAD,FA 平面,/ABCD FADE，且222ABADAFBCDE.（）M为线段EF中点，求证：/CM平面ABF；（）求多面体ABCDEF的体积.39在如图所示的几何体中，四边形11BBC C是矩形，1BB 平面ABC，1111/,2,ABAB ABAB E是AC的中点.（1）求证：1/AE平面11BBC C；1（2）若ACBC，12ABBB，求证平面1BEA 平面11AAC.40

12、 如 图，四 边 形ABCD为 梯 形，ABCD，PD 平 面ABCD，90BADADC，22DCABa，3DAa，E为BC中点.（1）求证：平面PBC 平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，5,7SASDSB，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC，SABEFFEBC1C141）证明：平面;（2）求三棱锥的体积.44由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的

13、交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD（1）证明：1AO平面B1CD1;（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.1 45如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，,60,PDADDABPD底面ABCD.（1）求证:ACPB （2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.46如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长均为 2，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点 （）证明 EF平面 A1CD；（）若三棱柱 ABCA1B1C1为直棱柱，求三棱锥的体积 47 如 图 所 示，四 棱 锥ABCDE，已 知 平 面BCDE 平 面ABC，,26,4 3,30BEEC DEB

14、C BCDEABABC （I）求证：ACBE；（II）若45BCE，求三棱锥A CDE的体积 48 在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，平面PAD 平面ABCD，/ABCD，ABAD，224CDABAD.1 （）求证：平面PCD 平面PAD；（）求三棱锥PABC的体积；（）在棱PC上是否存在点E，使得/BE平面PAD若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，说明理由 49如图，已知多面体的底面是边长为 2 的正方形，底面，且 （）求多面体的体积；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）记线段的中点为，在平面内过点 作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明 50如图，三棱柱111AB

15、CABC的侧面11ABB A为正方形，侧面11BBC C为菱形，160CBB，1ABBC.（）求证：平面11ABB A 11BBC C；1（）若2AB，求三棱柱111ABCABC的体积.51在三棱柱111ABCABC中，2ACBC，120ACB，D为11AB的中点.（1）证明：1/AC平面1BCD；（2）若11A AAC，点1A在平面ABC的射影在AC上，且侧面11A ABB的面积为2 3，求三棱锥11ABC D的体积.52 如 图：ABCD是 平 行 四 边 行，AP 平 面ABCD,BEAP2ABAP1BEBC60CBAECPADPAC EBCPABCDPAD ABCDABCD/ABCD2

16、2 3ABDCPADABDEADGPAD（1）求证：/GF平面PDC；（2）求三棱锥GPCD的体积.54如图，边长为 2 的正方形ABFC和高为 2 的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AFBCO，2DE，/EDAF且90DAF.1 （1）求证：DE 平面BCE；（2）过O作OH 平面BEF，垂足为H，求三棱锥ABCH的体积.55如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=BB1，11ABA BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD；（1）求证：BD平面11A ACC；（2）若1,AB 且1AC AD，求三棱锥 A-BCB1的体积 56如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，

17、BE 平面ABCD （1）证明：平面AEC 平面BED；（2）若0120,ABCAEEC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积（平面ACD为底面）57已知球内接正四棱锥PABCD的高为3,AC BD相交于O，球的表面积为1699，若E为PC中点.1(1)求异面直线BP和AD所成角的余弦值；(2)求点E到平面PAD的距离.58如图，在四棱锥中，底面，点 为棱的中点.（1）证明：面；（2）证明；（3）求三棱锥的体积 59在四棱锥PABCD中，90ABCACD，60,BACCADPA 平面,ABCD E为PD的中 点，22PAAB.(1)求四棱锥PABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，

18、求证PC 面AEF.60在三棱柱111ABCABC中，12ABBCCAAA，侧棱 1AA 平面ABC，且D，E分别是棱11AB，1AA的中点，点F棱 AB上，且14AFAB（1）求证：/EF平面1BDC；（2）求三棱锥1DBEC的体积 1 61如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB （1）求证：CDAP；（2）若CDPD，求证：CD平面PAB；62如图，已知三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，E为PB的中点，D为AB的中点，且ABE为正三角形.（）求证：BC 平面PAC；（）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由.若3BC，125BH，求三棱锥PABC的体积.63如图，在三

19、棱锥PABC中，2PAPBAB，3BC，90ABC，平面PAB 平面ABC，D，E分别为AB，AC中点 （1）求证：/DE平面PBC；（2）求证：ABPE；（3）求三棱锥PBEC的体积 64如图，在四棱锥EABCD中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面 ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求B到平面CDE的距离（2）在线段DE上是否存在一点F，使AFBCE平面若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由 1 65在如图所示的多面体中，DE 平面0,/,/,60ABCD AFDE ADBC ABCDABC，244BCADDE（1）在AC上求作点P，使/PE平面ABF，请写出作法并说

20、明理由；（2）求三棱锥A CDE的高 66如图，直角梯形ABCD中，1,2ABCD ABCD,ABBC,平面ABCD 平面BCE,BCE为等边三角形，,M F分别是,BE BC的中点，14DNDC.(1)证明：EF AD;(2)证明：MN平面ADE;(3)若1,2ABBC,求几何体ABCDE的体积.67如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.（1）若平面，求证：.1（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.68如图，将边长为 的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且.（I）证明：平面平面；（II）求三棱锥的体积.69 如图，在三棱柱

21、111ABCABC中，1AA 底面ABC，90ACB，1ACBC，12AA，D是棱1AA的中点 （）求证：11BC平面BCD；（）求三棱锥1BC CD的体积；（）在线段BD上是否存在点Q，使得1CQBC请说明理由 70如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，1 （）求证：平面；（）求点 到平面的距离 71如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点 在上，且.（1）已知点 在，且，求证：平面平面；（2）若的面积是梯形面积为，求点 E 到平面的距离.72 如图，在直角梯形中，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面为线段的中点，为线段上的动点 （）当点 是线段中点时，求二面角的余弦值

22、；（）是否存在点，使得直线 1（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.75如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.(1)求证:直线MN平面CEG;(2)若AB=a,求三棱锥MCEG的体积.76如图,在四棱椎PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD 面ABCD,1,2,BCABPC 2PD,E为PA中点.（1）求证：/PC平面BED；（2）求三棱锥EPBD的体积.1 77已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2,1,ADABPA平面ABCD，,E F分别是线段,AB BC的中点.（1）证明：PFFD；（2）若1PA，求

23、点E到平面PFD的距离.78如图在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ADCD，且DB平分,ADC AC与BD交于O点，E为PC的中点，1,2,2 2ADCDPDDB.（）证明/PA平面BDE；（）证明AC 平面PBD；（）求三棱锥BAEC的体积.79 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ADBC，90ADC，平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPD，12BCAD （）求证：平面PQB 平面PAD；（）若三棱锥ABMQ的体积是四棱锥PABCD体积的16，设PMtMC，试确定t的值 80如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G

24、为AOC的垂 1 心.（1）求证：平面OPG 平面PAC；（2）若22PAABAC，点Q在线段PA上，且2PQQA，求三棱锥PQGC的体积.81如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面0,60,24BCD ABADCBDBDBC，点E在CD上，2.DEEC （）求证：ACBE；（）若二面角EBAD的余弦值为155，求三棱锥ABCD的体积.82 如图，ABCD是正方形，DE 平面ABCD，/AFDE，22DEDAAF.（1）求证：AC 平面BDE；（2）求证：/AC平面BEF；（3）求四面体BDEF的体积.83如图,在四棱柱1111ABCDABC D中,已知11,2ABAA,S是11AC的中点

25、 1 （1）求证:ACSD；（2）求三棱锥11ABC D的体积.84已知四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA 底面ABCD，1PABC，2AB，M为PC上一点，M为PC的中点.（1）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；（2）求平面ADM将四棱锥PABCD分成上下两部分的体积比.85如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，与相交于，且，矩形底面，为线段上一动点，满足.（）若平面，求实数的值；（）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积.86已知四棱台的下底面是边长为 4 的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角的正切值为 2.1 （）证明：面；（）求证：面

26、，并求三棱锥的体积.87如图在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD底面 ABCD，PAPC；（1）求证：平面 PAB平面 PCD；（2）若过点 B 的直线l垂直平面 PCD，求证：l 88在直三棱柱111ABCABC中，13,2,ABACAABCD是BC的中点，F是1CC上一点.（1）当2CF 时，证明：1B F 平面ADF；（2）若1FDB D，求三棱锥1BADF的体积.89 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD 平面ABCD，且PAD是边长为2的等边三角形，13PC，点M是PC的中点.1 （1）求证：PA 平面MBD；（2）求四面体PBDM的体

27、积.90 已知球内接四棱锥PABCD的高为3,AC BC相交于O，球的表面积为1699，若E为PC中点.（1）求异面直线BP和AD所成角的余弦值；（2）求点E到平面PAD的距离.91 如图所示的几何体PABCD中，四边形ABCD为菱形，120ABC，ABa，3PBa，PBAB，平面ABCD 平面PAB，ACBDO，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点.（1）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OEl如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过A，C，E三点的平面将几何体PABCD截去三棱锥DAEC，求剩余几何体AECBP的体积.92 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形

28、，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F（1）求证：ABEF；（2）若平面PAD 平面ABCD，求证：AFEF 93如图，在四棱锥PABCD中，已知PA 平面ABCD，四边形ABCD是梯形，090ABC，/BCAD，且112PAABBCAD 1 （1）求直线PB与CD所成的角；（2）求点A到平面PCD的距离 94如图，三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，BCAC，M是AB上的动点，12CBCACC.（）若点M是AB中点，证明：平面1MCC 平面11ABB A；（）判断点M到平面11ABC的距离是否为定值若是，求定值；若不是，请说明理由.95如图（1），五边形AB

29、CDE中，0,/,2,150EDEA ABCD CDABEDC.如图（2），将EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱锥PABCD.点M为线段PC的中点，且BM 平面PCD （1）求证：平面PAD 平面PCD；（2）若直线PC与AB所成角的正切值为12，设1AB，求四棱锥PABCD的体积.96如图，已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，60ABC，AE 平面ABCD，/AECF，1ABAE，AFBE （）求证：AF 平面BDE；（）求多面体ABCDEF的体积 1 97 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，ADBC，PAABBCCD2，PD2，

30、PAPD，Q为PD的中点.（）证明：CQ平面PAB；（）求三棱锥 Q-ACD 的体积。98如图，11,AA BB为圆柱1OO的母线，BC是底面圆O的直径,D E分别是11,AA CB的中点,17,3,4 2BAACBC (1)证明：DE平面ABC；(2)求圆柱1OO的体积和表面积.99已知等腰梯形ABCE(图 1)中,/ABEC,142ABBCEC,0120ABC,D是EC 中点,将ADE沿AD折起,构成四棱锥PABCD(图 2),M N分别是,BC PC的中点.（1）求证:AD 平面DMN;（2）当平面PAD 平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.100如图所示，边长为 2 的正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，/BECD，24BECD，BEBC，F为棱AE的中点 1 （1）求证：直线AB 平面CDF；（2）求三棱锥FADC的体积