2019届吉林省长春市实验中学高三上学期开学考试数学(文)试题(解析版)2635.pdf

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1、 2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（文）试题 数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题 1=A B C D 2已知集合，则 A B C D 3命题“若,则且的逆否命题是 A 若,则且 B 若,则或 C 若且，

2、则 D 若或，则 4下列函数中,在区间上为增函数的是 A B C D 5已知，则 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A B C D 6函数的零点所在的大致区间是 A B C D 7函数的最小值为 A B C D 8执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为 A 2 B 3 C 4 D 5 9表面积为 24 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A B C D 10直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 A B C D 11函数的图象大致为 A B C D 12在中，分别是所对的边，若，则 A B C D 二

3、、填空题 13某同学在高三参加的九次考试成绩分别为 85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次成绩的中位数是_ 14已知向量1,3a，3,1b，则a与b的夹角的大小为_ 15已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为_.16已知奇函数，则函数的极大值点是_.三、解答题 17已知公差为 1 的等差数列，依次为一个等比数列的相邻三项.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前 10 项和.18 针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持 岁以下 岁以上（含

4、岁）(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求 的值；(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率 19如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，,，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20已知抛物线过点.(1)求抛物线的准线方程;(2)设 为 上第一象限内的动点，过点 作抛物线的切线交其准线于点,为准线上一点，且，求当最小时点 的坐标.21函数.(1)求的单调区间;(2)若恒成立,求 取值范围 22在直角坐标系

5、中，以 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)，直线和圆 交于两点，是圆 上不同于的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求面积的最大值.23已知函数.（1）记函数，求函数的最小值；（2）记不等式的解集为，若时，证明.2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（文）试题 数学 答 案 参考答案 1 A【解析】【分析】根据复数运算法则计算即可.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于中档题.2 A【解析】【分析】化简集合M，根据交集的定义即可求出.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中

6、档题.3 D【解析】【分析】根据命题的逆否命题的定义即可求解.【详解】因为原命题为“若,则且，所以逆否命题为若或，则，故选 D.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.4A【解析】【分析】根据基本初等函数的增减性，逐一分析即可.【详解】对于 A,因为，所以在区间上为增函数，对于 B,在区间上为减函数，对于 C，在区间上为减函数，对于 D，在区间上不单调，故选 A.【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的增减性，属于中档题.5C【解析】【分析】根据同角三角函数的关系，先求出，再求出即可.【详解】因为，所以 在第四象限，故选 C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各

7、象限的符号，属于中档题.6B【解析】【分析】根据零点存在性定理逐一判断选项即可.【详解】因为，而，所以必在内有一零点，所以选 B.【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.7B【解析】【分析】化简函数为，根据正弦函数的有界性求解即可.【详解】因为，所以，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式及两角和正弦公式的逆用，属于中档题.8C【解析】分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可 详解：由程序框图，得：，结束循环，输出的 值为 4 点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力 9D【解析】【分析】根据表面积可知正

8、方体棱长，又正方体的对角线是球的直径，即可求出球的表面积.【详解】因为，所以，所以，,故，选 D.【点睛】本题主要考查了球的表面公式，球的内接正方体的表面积及对角线，属于中档题.10C【解析】【分析】不妨设顶点和焦点分别为，则直线 l 方程为，利用点到直线的距离公式得，又知，即可求出.【详解】不妨设顶点和焦点分别为，则直线 l 方程为,由点到直线的距离公式得，又，所以，故选 C.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点、顶点、离心率、短轴及点到直线的距离，属于中档题.11A【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项 C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项 B 详解：易知的定义域为，且，即函数是奇函数，图

9、象关于原点对称，故排除选项 C、D；又，故排除选项 B，故选 A 点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等 12D【解析】【分析】由余弦定理可得，由正弦定理可得,因为，所以,根据即可求出.【详解】由余弦定理知，即，由正弦定理知 解得,因为，所以，故选 D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的余弦公式，属于中档题.13110【解析】【分析】把数据按从小到大的顺序排

10、成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，中间一个数即为中位数.【详解】按中位数定义，把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，第5 个数即为中位数，所以中位数为 110.【点睛】本题主要考查了统计中的中位数概念，属于中档题.146【解析】设a与b的夹角的大小为，则2 33cos2 22a bab，又0，6，即a与b的夹角的大小为6，故答案为6.15【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数 详解：将化为，设以为渐近线的双曲线方程为，又因为该双曲线的焦点为，所以，

11、解得，即双曲线方程为 点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：双曲线的渐近线方程可设为；以直线为渐近线的双曲线方程可设为 16 【解析】【分析】根据函数是奇函数可知，由函数导数，可知其极值点，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，又由得或，当或时，当时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以极大值点为.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，函数的极值点，属于中档题.17（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得，相加相消即可求解.【详解】（1）因为成等比数列，所以，即，解

12、得，所以.（2）因为，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解.18(1)120;(2).【解析】【分析】（1）参与调查的总人数为 20000，其中从持“不支持”态度的人数 5000 中抽取了 30 人，由此能求出 n.（2）总体的平均数为 9，与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，由此能求出任取 1 个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率.【详解】（1）参与调查的总人数为 8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其

13、中不支持态度的人数2000+3000=5000 中抽取了 30 人，所以 n=.（2）总体的平均数 与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率.【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.19(1)略；（2）1：1【解析】【分析】（1）由题意易证平面 BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面（2）设棱锥 B-DACC1的体积为 V1，AC=1，易求,三棱柱 的体积 V=1,于是可得（V-V1）:V1=1:1 即可得出答案.【详解】证明：（1）由题意知 ,又 .由题设

14、知 平面 BDC,又平面 BDC1 平面（2）设棱锥 B-DACC1的体积为 V1，AC=1，由题意得,又三棱柱 的体积 V=1,（V-V1）:V1=1:1 两部分体积的比为 1:1.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的判定，棱柱、棱锥的体积，属于中档题.20(1)(2).【解析】【分析】（1）因为抛物线过点，代入即可求出方程（2）设抛物线上 P 点坐标，写出过 P 点切线，求出 M 的坐标，再利用求出 N 的坐标，写出，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即，所以抛物线方程为.（2）设,过 P 的切线斜率，切线方程为，因为准线方程为，所以,又，可求出

15、，所以，(t0),令，令 得，即，当时，当时，所以当时，有最小值，此时.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，切线方程，向量垂直，利用导数求函数极值，属于难题.解决本题的关键在于写出后，利用函数求其极值点，即可得出 P 点坐标.21(1)当时，增；当时，减，增；(2).【解析】【分析】（1）求导数，分类讨论即可求出单调区间（2）根据（1）写出函数最小值，即可求出 a 的取值范围.【详解】（1）因为，当时，所以函数在上单增，当时，由得，且时，时，所以函数在单调递减，在单调递增.（2）当时，恒成立，当时，在增，无最小值，不符合题意，当时，由（1）知，时即可，解得，综上.【点睛】本题主要考查了函数

16、单调性，函数的极值、最值，分类讨论的思想方法，属于中档题.22(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意可得圆 的直角坐标方程，然后即可得圆 的参数方程；（2）根据题意求得直线 的方程，即可得圆心 到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得 到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.试题解析：.圆 的参数方程 易知直线 为，圆心到直线的距离 由几何图形可知 到直线的最大距离为 面积的最大值为 23（1）2；（2）略.【解析】【分析】（1）求出的解析式，从而求出的最小值即可（2）求出 M 的范围，根据不等式的性质证明即可.【详解】（1）由题意得，可得函数最小值为 2.（2）证明：由知，当时，即，.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题.