数形结合思想在高中数学解题中的应用23181.pdf

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1、论文内封皮：编号：教育硕士学位论文 题 目：专业教学部：专业名称：指导教师：研 究 生：提交时间：沈阳师范大学教育硕士研究院 制 类别 全日制教育硕士 在职教育硕士 外审用论文封皮：教育硕士学位论文 题 目：论文编号：专业名称：专业教学部：沈阳师范大学教育硕士研究生院 制 类别 全日制教育硕士 在职教育硕士 声明：沈阳师范大学教育硕士学位论文 独创性声明 本人所呈交的学位论文是在导师的指导下取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示了谢意。作者签名：日期：沈阳师范大学教

2、育硕士学位论文 著作权使用声明 本人授权沈阳师范大学教育硕士研究生院，将本人硕士学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，允许论文被查阅和借阅；有权可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后适用本规定。作者签名：日期：数形结合思想在高中数学解题中的应用 作者姓名:专 业:年 级:1 目录 目录 摘要.2 Abstract.3 第一章 绪论.5 1.1 问题的提出.5 1.2 研究目的及意义.6 1.2.1 研究目的.6 1.2.2 研究意义.7 1.3 国内外研究现状.8 1.3.1

3、国内研究现状.8 1.3.2 国外研究现状.9 第二章 数形结合.12 2.1 数形结合思想的演进.12 2.2 数形结合的内涵.13 2.3 数形结合的类型.14 2.4 数形结合的解题特征.14 第三章 数形结合在高中数学解题中的应用.17 3.1 数形结合思想在集合中的应用.17 3.2 数形结合思想在函数中的应用.18 3.2.1 在函数定义域值域中的应用.18 3.2.2 在零点问题上的应用.21 3.2.3 比较函数值大小.22 3.3 数形结合思想在不等式中的应用.23 第一种情况：a0 时有 a1。.23 第二种情况：a0 时有 a1。.23 3.4 数形结合思想在解析几何中的

4、应用.24 3.4.1 直线中的应用.24 3.4.2 圆的应用.25 3.4.3 圆锥曲线的应用.26 第四章 结论与建议.27 4.1 从脑科学角度看待数形结合.27 参考文献.29 M北京：高等教育出版社,2005.29 个人情况简介.31 2 3 摘要 现如今，学生之间的竟争越来越激烈，国家科教兴国战略的实施，对学生培养的各方面要求也在不断提高，尤其学生的理论与实践相互结合转换的能力放在能力要求的重要位置上。对于高中学生来说，如何能在学习中提高学习效率，这应该是目前大多数教师需要优先思考和处理的问题，而这个问题的解决方案就是对学生的思想方法去进行培养。因此，就如何去提高数学解题能力需要

5、进一步去探讨研究。本篇论文着重对数形结合思想方法进行应用研究，首先通过文献调查法，对近年来数形结合思想方法的发展及现状有了初步的了解，进而介绍了论文的研究目的及意义，即教师和学生通过课堂教学前的准备，教学中的引导，再到教学后的独立思考总结，从而认清数形结合的重要性。再通过问卷调查法、课堂观察法得知目前教师教学及学生学习的现状，进而通过对集合、函数、解析几何、立体几何及不等式的基本知识点出发，通过该知识点下数形结合思想方法的例题应用，进而对以数解形思维、以形解数思维进行研究，得到相应问题的处理方法及思路：最后通过访谈法知晓目前教师和学生存在的一系列教学问题，提出几点能够培养学生数形结合能力的应用

6、建议。关键词：数形结合；高中教学；数学教育 4 Abstract Nowadays,the competition between students is becoming more and more fierce.The implementation of the national strategy of rejuvenating the country through science and education has continuously raised the requirements for all aspects of student development.In particu

7、lar,the ability of students to combine theory and practice with each other is important in their ability requirements.Location.For high school students,how to improve learning efficiency in learning should be the problem that most teachers need to think and deal with first,and the solution to this p

8、roblem is to train students thinking methods.Therefore,further research is needed on how to improve the ability of mathematics to solve problems.This thesis focuses on the application of the method of combining numbers and shapes.Firstly,through the literature survey method,it has a preliminary unde

9、rstanding of the development and status of the combination of digital and visual methods in recent years,and then introduces the research purpose and significance of the paper,namely the teacher.And the students through the preparation of the classroom before the teaching,the guidance in the teachin

10、g,and then the independent thinking and summary after the teaching,so that the importance of the combination of numbers and shapes.Through the questionnaire survey method and classroom observation method,the current situation of teacher teaching and student learning is known.Then,through the basic k

11、nowledge points of set,function,analytic geometry,solid geometry and inequality,the idea of combining numbers and shapes is adopted.The application of the example,and then to the study of the number of dissolving thinking,the shape of the number of thinking,get the corresponding problem of processin

12、g methods and ideas:Finally,through the interview method to know the current teaching and student a series of teaching problems,put forward a few points to train students Application recommendations for the ability to combine numbers and shapes.Keywords:combination of numbers and forms;high school t

13、eaching;mathematics education 5 第一章 绪论 1.1 问题的提出 欧洲一位著名教育家康托尔1曾经在它的著作中写过“数学这门学科的本质就在于充满自由”，康托尔的著作中凸显出的主要观点是数学这门学科的教自，其最初宗旨是通过数师教会学生如何去自由的进行思考，“学生能够通过灵活多变的去运用思想方法，继而处理实际遇到的问题”正是他培养学生数学能力和让学生不断提高思考能力的一种可行性高的手段和途径。现如今，国家科教兴国战略的实施，对学生培养的各方面要求都不断提高，尤其学生的理论与实践相互结合转换能力放在能力要求的重要位置2-4。对于高中学生来说，学习的时间是很有限的，不能将

14、有限的时间投入到无限的题海中，那么如何能在三年高中的学习 中提高学生的学习效率，这应该是目前学校大多数教师和学生本身需要优先去思考和处理的问题。我们需要认识到通过逐渐提升学生的学习效率对学生本身而言，既可以大大减轻学生本身的学习压力，还可以一点点减少学生的负担，更可以让学生通过在不断解题的过程逐渐提升学生自己对数学的学习兴趣，这一举措也可以新断激发学生本身对数学的学习积极性，可以总体的来说提升学生的自主学习效率，能够产生一箭三雕的完美效果，何乐而不为。知名教育学者米山国藏5曾于著作中表达了如下的个人观点和看法：他认为我们去掌握学习各类数学知识的核心，就是将已有的各种数学思想方法率记于心，正和我

15、们古诗“读书破万着，下笔如有神”有异曲同工之妙，那么学生航可以摆脱题海策路，通过做会一道题，继而做会一类题。在这个过程中学生能够灵活的考进而对所做过的题目进行举一反三，触类考通，从而真正的达到提升学生的学习效率的数果，那么这个重中之重的任务就是对学生的思想方法去遊行培养，而去对学生想方法的培养，又始恰不能少得了唯们教师的辛勤教学与警诱的指导。高中数学教师，在一线奋战的教育工作者作为能够恰学生直接培养物数形结合思想方法的主要知识讲解人、主要思想传授人，可以先通过自身对所教教材的分块研究，再到整体的统一研究，最后达到对教材体系的深入研究，控整高中数学知识点，进而在不同章节总结出该章节下的数形结合思

16、想方法，不仅可以完成教育学生基础知识的教学目标，教师还可以在教学的过程中逐断的锻炼提升学生在读题或解题时的思维模式，提升学生去深入考、深刻理解数学体系的自主能力6-8。高中数学主要有四大思想方法，分别为：首先说的 6 是对待题中含有绝对值的问题和含多个未知数的问题需要进行的“分类讨论的思想法：其次说的是遇到函数关系在不断变化的问题及寻找变量之间关系的问题需要进行的“函数与方程思想方法：再其次说的是某些计算或理解很复杂的问题需要通过不同的手段来进行相互转化的问题需要进行的“转化与化归思想方法。”最后还有通过利用几何与代数下不同思维的交又灵活运用共同结合解题而进行使用的“数形结台思想方法”而在这四

17、大思想 方法中笔者认为最重要的莫过于数形结合思想方法9，其多变性、可操作性都可以给学生的思考模式产生巨大的影响，把它说是高中数学思想方法的核心一点儿不为过，它的适用范围可以从高一的第一个知识点到高三的最后一个知识点，各本教科书中处处者可寻觅到数形结合思想方法的影子，可以说无处不在，无处不有10-11。华罗庚普写过一段关于“数与形”的味诗词，从诗词中可以看出其认为数形结合思想方法贯穿整个高中体系，可以校当作为大树的主枝千，万般思想方法即可从此源源不断提供思绪，而当前学生总体掌握数形结合思想方法的情况并不是很乐观，基本上復少的学生能够较好的运用它，大多数的学生只知道有数形结合思想方法，但不知到底在

18、哪个知识点可以用，在解题过程中的何时可以用等诸多问题，笔者通过自身的教学经验将能够运用数形结合思想方法的只是模块在第二章进行展开说明。1.2 研究目的及意义 1.2.1 研究目的 高中学生学习数学，不仅仅是学习代数间的运算，还有几何图常间变化究而无论对哪个知识点的考察与研究都少不了数形结合朋方法的应用，在高中教师的教学以及通过学生做题结中，学生能够学到的众多用想方法中，有四个最主要的解思想方法，山平“数形结合”的观活多变性使其一直位予彩方法中的首要位置，在现如今，从事高中数学教育的教育者们他渐认到其重要性与前性。虽然对数形结合用想方法研究成果突出的文拿有众多，也有復多著作在权成刊物上发表过，但

19、是当前，在新课标大例的指引下，研究者对手数形结台思想的认识与解释等方面还有着太多不一样的观点，存在很多不同的学术看法现阶段该项研究工作进展的比牧缓優，课顺思想还不够完整，乏一些理论货，数形结台思想方法与高中名阶段教学相结合还乏良好的衛接，存有一定的隔后性，与理想教学存在较大差距，没有和时代与时俱进。第者在导师以及学校的精心培养与指导下，经过深入细致入微的研究，取得了一些研究成果，成果如下，第者认为对教师过教学，使学生在这个过程中将数形结合方法逐断融会贯通。7 1.2.2 研究意义 第一方面，高中数学教学在义务教育阶段，应该培养学生的判断分析总结能力和作为链接由高中初级阶段向大学高级阶段发展的出

20、发点。高中数学教学着重教给高中各阶段学生数学数形知识，并得到较大提高，但是现有的教材在制定时，不仅忽略了知识的深远难度和攻取步骤方式方法的要求，而且脱离了教学需求。具体的表现在练习题的数量少难度低代表性较弱，数形等方面的单一性等，已经不能满足高中数形结合思想方法教学的需求，没有依据客观规律制定教程，缺乏科学合理性，大多学生的感性认识经过教师的最大努力也不能达到理性认识的提升，不符合现有高中数学教学的科学规律。因此现有的高中数形结合教材应该急需依法编制，使之更科学更合理更人性化，应该更加重点突出高中学生课堂学习和自学相结合的特点。其根本目的就是让广大高中学生发扬刻苦学习精神，更好的发挥高中数学学

21、习优势，培养出具有独创性、培养具有敏捷思路的高端人才的平台。让高中各阶段学生其数形结合思想都有了更完美无误的要求和追求，这些数形结合思想需要高中教师和学生都要经常不断的加以由简入繁的归纳和系统阶性结，质过数形结合思想可以更好地实现高中数学教学在具体的高中生学过程中得到提高并且在高中教自领域拥有良好的通过性，让学生通过学习而发现数形思想方法存在的数字方面的科学规律：由形转化数的具体交互变更。第二方面，数形结合思想教有课已经在国内高中各阶段广泛开展了教学，数形结合思想教学理念日成熟，这使得越来越多的教师也熟练掌推了数形结合思想的高效授课方式。此项教学研究，即可以丰富教学理论体系，又可以貊展扩大解题

22、空间，更可以培养和提高学生对数形思想方法教育的求知欲望和兴。但是数形思想教育在现实教学中，也只能是在重点学科中处于配角，只能作为一种教学简单的方法存在，而这也使得其处于一个比较尴尬的位置，目前教育工作者还没有出一种较好的教学方法使其能很好的作用于高中的数学教学中。所以这种数学方法在当前教育整合资源的大好形势下，就有必要让数形结合思想教育尽早的由广大教师通过努力形成先进的完善的数形思想教学体系，进而能够提供处理数形结合在教学难题问题上的方法论依据。在诸多方面学科教育各自存在独特价值意义的体制中，重点突出的对数形结合教学深入研究，并对其解题能力的独特性加以利用，使数形结合思想教学方式方面的特殊性进

23、行细化和改进并提高，使之成为教育领域的规范样本，彻底摆脱数形结合教学落后地位，使之能够一跃成为众多已有思想方法中最具有先进教学方法代表性的思想方法。第三方面，目前国内数形结合思想教学方面所面临最多的问题，是急需讲师在教学的 8 过程中将数形结合思想教学进行从根本上的改进和提升，这样的做法主要也是去提高高中数学教师的数形结合教学能力和在教学过程中达到通过理论去联系实际的操作水平，推进改革数学中关于数形结合教学方面的传统陈旧不合理的教学方式方法，让数形教学教师在具体的拥有浓列科学氛围课堂，使得学生在优秀的教学方法、良好的环境课堂中快速的成长起来，并且能够承担和完成下步教学中高教学质量的数形结合教育

24、任务，并实现数形结合思想理论研讨课题多方面探讨的形式，多开展思想教学学习把教师的教学水平提高到更高的位置上，教师在开展教学活动中和学生面对面教学，抓住学生各自成绩差别，理解能力的不同特殊性，依据不同学生对数形思想教育不同学习方式的特点，因材施教。用数形结合教学原理找出解题最佳途径加以推行，引导学生对数形思想下数学的热爱，逐渐培养起学生学习数学这门学科的浓厚兴趣，教师也需要在教学的过程中努力教会学生以一种最佳的学习方法去学习进而逐步提高自己的学习成绩。相应的教师在提升自身在数形结合方面的教学水平的同时，也需要承担起教育学生数形结合思想的这一历史使命。1.3 国内外研究现状 1.3.1 国内研究现

25、状 与“数形结合思想方法”有关的教学方法充斥着五花八门的内容文章，占据了国内各大刊物的数学书籍里，其内容大多杂乱，并且学术水平良莠不齐，大部分文章甚至严重缺乏科学的系统性、完整性、准确性和严谨性，始终无法统一国家标准，更不能作为教学的既定依据。现在把国内“数形结合方法”归纳出来大致分为下面这几类12-15：一、目前世界上所有有关“数形结合思想”方面的理论其实最早的理论是在中国被发现进而转出去研究的，著名科学家、数学家和社会活动家华罗庚老先生根据古今中外大量数学家关于数形思想理论的共识提出了数形结合这一统一的新的名词，迅速得到了国内外数学界人土的认同并迅速推广于社会各界16。二、国内越来越多的知

26、名数学家以解题方面和分析方面的理论为具体依据从多个角度将“数形结合思想”具体的进行定义：数形结合思想方法就是“解决数形关系问题的方法技巧，通过简单的、直接的将变量之间的数量关系和空间中各图像形式相紧密联系结合在一起的手段，用代数解顾方法和几何图像解方法各动代表的数学工具来解开数形结构等相关问题，最终达到解决问题的目标”。17 三、从多方位去看，“数形结合”即代数与几何共生共存，逻辑与形象两大思维更加完美地统一在一起，在国内主论调中，现阶段主要是强调了数形结合思想在数学方法对高中 9 数学学习的重要性和紧迫性18-19。四、与国外数形思想理论研究工作者来对比，就会看出研究成果存在了巨大的差距，国

27、内多年来的这方面的理论研究成果不多，大量相关研究数据基本上都源自中小学教师在教学里的数学课堂教学课中，他们的研究成果却也仅仅只是填补了目前国内这一研究领域的空白20。而其他数形学科领域进憾的还是空白，短时期不会有大的突破。数形变换作为高中数学常见课题，很少在授课时单独体现出来，现代数形教学理论难以以独立学科走进中学讲堂21。在目前国内数形结合思想理论还处在教学实施的落后阶段，远远滞后于其他自然学科的应用，所以需要由国家以强制化法制化制度化的过程完全彻底地纳入到我国高中阶段的数学解题的各个方面，而且要在众多自然学科中占有重要地位并发挥其重要作用22。五、日前大学讲堂中教师通过数形结合思想来教学，

28、并在传授知识时的课堂现状对于全国使用高校统一救材的大多数大学生来说，如果能够较好的掌数形结合思想方法可以使他们在解题和理解抽象的高等数学知识时达到一定的认知高度23。在解决问题方面通过运用现代化电子工具轴助解题的能力都有了很大提高，理论基础的理解与建设也较之与初高中的理解与建设有一个质上的飞跃，使其提升到一个比较高的层面上24。1.3.2 国外研究现状 两千年前的人类对科学的认识是非常肤波的，不能利用科学技术为人类更好的服务，数学只能简单的进入人们的生活，长期以来数学这门学科处在人类生活中进入可有可无的状态，进入 20 世纪以来至今，鹔来越多的数学结合思想方法的理论增多，指导方面的理论也来越得

29、到各国教育界工作者的高度重视，开始研究数轴把实数和点对应起来，“几何学”，又把数字改变为立体空间把几何问题和代数问题统一在坐标上一起来研究，用数字的方解决几何的目的。把对立着的“数”与“形”统一起来29。当然，抽象的数形概念的形成，是一个极其缓慢的、循序渐进的漫长过程”“数”最初的概念开始是抽象的模糊的，不为人们认知的，在那个时候很少有人去接受和研究，古希腊伟大的数学家亚里土多德在那个懂的时代发出了时代最强音，发表了关于“简单几何解说”给以后的数学家开启了航标灯，这个著作虽然是以对数形结合思想的假说出现，但却是后人研究数形结合思想根源，使广大科学家从那个时代就认识到只有数学才是永恒的，其它的任

30、何学科只有建立在数学这个百科航母的基础上，才可以取得其他学科的飞速发展30-32。数学中最的基本概念是“数”与“形”，在数学的发展史数学理论与应用研究方向也基本上在不断的田绕着“数”和“形”这两大概念进而产生、发展、演变的，“数”与“形”的概念随着数学内容的不断扩大、丰富而不断的发 1 0 展变化作为数学研究的基本对象，“数”与“形”我国两千多年前史书就记载了世界最早关于运算、开平方、开立方等代数问题“数”与“形”的微妙的將证关系并分开独立研究，数和形相分离这一幕就此拉开了，而物理、化学、生物等自然科学近代才成为单独学科成为了人类研究和利用并造福人类的科技工具33。在欧洲美国等教育发达的国家，

31、数学思想方法的学习与应用备受各国教育工作者的味与推崇，这源于“数学思想著作中作者系統而又科普式的介绍了数学阻相方法的所中形成縮变和加。从 1940 年初，欧州的教育者就开始以英国的教用改革为发起点，到国教育法国教育随后再列逐雨延开的整个欧洲的教育布势行了现代化的，科料学的数学方法数自改革，教自改革开展到 1980 年的时候基本上走洲的所有课堂，从小学到初中再到高中都可以看到，学生和教师们都已经便期上了根日前现时代数育改革需求下融入数形结合思想方法等数学思画的方法的统一的数学课本，进而教师们进行教学授课和学生们专研学习，世界上许多的发达国家的教育者和政府都非常重视现阶段的数学教有，并希望教师通过

32、不断专研思考总结出使学生逐步掌握现阶段所要求的基本数学思想方法。国可以说率先进行了教育要求，教育者通过各类教学形式，最终将“学会数学思想方法”作为达到数学教培养学生能力的重要标准。美固英国佛国等国将学生学习掌握数形结合思想方法列为了其本国数学教育需要达到的基本任务和目标34-35。世界步入新世纪以来，随着科学的不断发展，三角函数、圆锥曲线等数学知识逐渐出现在人们的工作生活和学习之中，对它们的研究和探讨也日渐增多增强在这种紧迫形势下，数学在经历了几个世纪的进步到飞速发展，再到近代，不再作为数、形等学科的动态单一表现，而是成为独特的无可代替的的巨大独自的百科航母体系，并且仍在继续速地发展之中“数形

33、结合”，跨时代的数学家们通过发现的解析几何，微积分，更是逐析的找到了从本源的数学思想方法的角度去研究和理解数学中的主要思考方法与产生数形结合思想的重要数学方法。关键的看重点是在不断提高数形结合思想精神上的培养和数学素质带动数学能力上的提高并逐渐带动其他方面理解与应用领域的共同提高。学好数学方法，无论对在什么时代中还是无论将来将会从事什么样工作的人而言，只要是曾经学到并理解过 一些重要的数学思维方式方法、这类思维方式方法会深深印入头脑中并随时间影响加强思维体系，人们都会永远或多或少的开始追歼利用这种数形结合思想思维，运用这一数学启发法，来解决遇到的一切难题，对人的一生各方面发展都十分重要，定向的

34、数形结合思维这种方法必将对我国的现行数学教育体制发挥极大的改革和推动作用，必将提升提高进而逐渐改变国家的数学教育。1 1 1 2 第二章 数形结合 2.1 数形结合思想的演进 数的概念产生后，远古的人们在计数时都采用了“图形”的方法，直到代表数的各种符号的出现，“数”才逐步摆脱了“形”的束缚，从而获得极大的发展，使人们重新认识了数。中国古代用算筹和算盘等计数是“数形结合”的最早锥形将数和形最早结合起来应属毕氏学派，比如下面的几副图（图 1图 5）分别是三角形数，正方形数，五边形数等的相互表达：任何一个正方形数都是两个相继的三角形数之和，例如 134、369，61016。第 n 个五边形数等于第

35、（n1）个三角形数的 3 倍加上 n。类似这样的研究使他们得到了有关整数的有结论。“形”在某种意义上动了“数”的发，这属于较早的数形结合。图 2 正方形数 Sn=n2 图 3 五边形数 Pn=n(3n-1)2 1 3 图 4 Sn=Tn+Tn-1 1+3+5.(2n-1)=n2 n2=(n-1)2+2n-1(n+1)2=n2+2n+1 图 5 Pn=3Tn-1+n 从古希腊时代开始，人们就用形来研究数。比方说，一条线段长度表示 1，以此为参照，他们就用此线长作两直角边的三角形，这样斜边长就是2。再比如，数和数的乘积5X5 表示了变长为 5 的正方形的面积等实例。在对形的研究中，数也有所发展，比

36、如较为重要的无理数的发现。那么可以想象，在当时的历史条件下，人们的认识和理论水平局限在形象思维的层面，确实影响了那个时代的数学发展25-27。在人类发展的早期形和数基本上是平行的前进，互相影响不大。而在 1637 年，笛卡尔创立了解析几何，他用坐标系这个工具把形和数联系起来，使代数和几何不可分割并在微积分的建立功不可没。使得近代数学获得了极大的发展。恩格斯曾给予高度评价：“笛卡尔的变数是数学的转折有了变数，运动进入了数学：有了变数，辩证法进入了数学：有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”数轴的出现使数和形二者可以进行转换，一维数轴和实数对应，二维坐标系和实数对相对应。将点集和方程解对应起来

37、，完全实现了数和形的结合，这样就产生了解析几何。它的产生使我们从定性分析到定量分析成为可能，这也体现了数形结合这一思想的内涵。数形结合思想在解析几何创立后获得了极大的发展，并体現了整个高中数学的发展历程28。2.2 数形结合的内涵 2.2.1 数形结合是一种原则 数形结合是直观原则的派生原则。它要求我们考虑问题时数、形兼顾，以便将直观性与抽象性有机地结合起来，从而使我们的认识更加全面、更加深刻。于是，当所论问题以代数的形式给出时，应注意借助直观意义解题；而当所论问题以几何的形式给出时，则应注意借助抽象意义解题。2.2.2 数形结合是一种解题方法 数形结合是一种解题方法。这是现阶段下为众多解题教

38、学实践，教育杂志上的文章所引证的一种现实状况 1 4 2.2.3 数形结合是一种数学思想 罗增儒认为，数和形是初等数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。数形结合是一种重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。这是数形结合在解题方法基础上的一种提升，是目前数学教学中正在被接受的一种认识。它不再被看成是一种解题工具，而被看成是，站在更高角度上用于指导解题教学，甚至是数学教学的一种思想策略。2.2.4 数形结合是一种数学意识 数形结合既是一种解题方法，也是一种数学意识，在解題过程中有着十分广泛的应用 我个

39、人那认为，数形结合是一种数学思想，是一个值得认可的观点。但数形结合可以从数学思想上升为一种数学意识，甚至是一种意识。作为一种数学意识，时刻活动在数学教与学中，所发挥的数学教育意义会更大；作为一种意识，活动,在生活的方方面面，发挥的作用会更大，影响会更广，这样它的教育价值也就更大。2.3 数形结合的类型 数形合根都数与形化的方向，或者说信息流向的方向可分三种类型，一是“化形为数”二是“化数为形”，三是“数形兼顾”所谓“化形为数”就是将几何间题化为代数问题去处理，从而借助代数运算解决几何问题，与此相联系的数学方有解析法、代数进，三角法等。所谓“化数为形”，就是将代数问题或三角问题化为几何问题去处理

40、的方法，与“化数为形”的路相联系的数学为以有图象法、构造的图形法等所数形，是指在解题过程中教展数，形夏方，让数。形交互为用的一种解题要，与”“数形”路思想相是应的解题方法有图示法，面积法积答每着并中，需要数形新（则容易出理错），即既包活”化形为数”的方面，也包括“化数为形”的方面，有时甚至要在数与形之间转化好几个来回。而这正好与罗增儒的思想相一致，即具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法解答，或几何问题用代数方法解答，这两方面都只是单流向的信息沟通，惟双流向的信息沟通才是完整的数形结合。2.4 数形结合的解题特

41、征 运用数形结合可以求解大量问题，每一类问题都有一定的的特点。现将其解题特征的有关表述总结如下。运用数形结合可以求解的具体问题大致包括以下四类：与函数有关的问题，函数的图像及其性质常常是解决问题的突破口：方程与不等式的解的问题与 1 5 复数有关的问题，常考虑用复数的几何解释来解决；求最值的问题，通过图形架设与数量间的桥梁，常常凭借特殊位置、图形性质等直观优势，得到简捷解法。（王北燕，1996）数形转化应用极为广泛，用它可以求函数的解析式、定义域、值城、极值与最值；还可以研究函数的奇偶性、増减性、周期性；比较大小；证明不等式以及解方程等。不仅如此，数形转化在复数、三角、解析几何中应用也十分普遍

42、。（刘庆龄，1997）从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，汪金花总结了数形结合思想在不等式证明中的几点应用：构造适当的平面图形，利用勾股定理及三角形三边的关系证明不等式；构造适当的平面图形，利用面积的不等关系证明不等式：在圆内，利用直径与弦的关系及其他圆的知识，证明不等式；构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。她认为，根据不等式的几何意义，利用数形结合的思想，是证明不等式的较简捷的方法，有时甚至让人拍案叫绝；运用数形结合的思想方法，构造一些几何图形去解决不等式的证明问题，构思不落俗套，解法别有新意，但因其具有一定的技巧性和创造性，所以需要通过平时的练习和积累才能逐渐掌

43、握（汪金花，2001）邱海泉从函数图像和几何图形两个方面，结合中学教材的实际情况举例说明了“以形助数”在解决问题中的一些妙用：（1）利用数形结合思想解决方程和不等式问题：利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集；利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题：利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题；利用三角函数的图像解不等式。（2）利用函数图像比较函数值的大小。（3）利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题。（4）数形结合思想在解决集合问题中的应用：利用文氏图解决集合之间的关系问题；利用数轴解决集合的有关问题。（5）利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形，找出代数问题的几何背景，

44、简便解答某些代数综合题。（国海泉，2005）在运用此思想解题时，一些题目较明显，而一些题目需要构造几何图形：（1）构造几何模型：（2）三角函数中常用的构造方法：构造直角三角形；构造相回的 x 三角形；构造单位圆；构造圆锥曲线方程。（吴怀山，2005）总之，能用数形结合求解的问题很多。可以说，用数形结合解题在高中数学各知识板块中都有所体现。下面就常用的简略介绍如下：（1）数形结合用于求解集合问题，通常结合文氏图和数轴进行；（2）数形结合用于求解函数（也包括三角函数）问题，可以求函数的解析式、定义域、值城、极值与最值，也可以研究函数的奇偶性、増减性、周期性，还比较函数的大小，这些都是结合函数的图象

45、性质进行的：（3）数形结合用于求解向量问题，要充分地联系向量的几何意义：（4）数形结合用于求解不等式问题，可以联系函 1 6 数特点求解（方程问题也是如此），也可以构造几何图形来解；（5）数形结合用于求解解析几何问题，建立模型的方法居多：（6）数形结合用于求解立体几何问题，主要是用向量方法去解。1 7 第三章 数形结合在高中数学解题中的应用 3.1 数形结合思想在集合中的应用 集合是高中数学必修一的第一章内容，作为最先学的知识模块，集合可以说是高中数学众多知识点的基础，可以看出它的基础性与重要性。而我们对集合总结的数形结合思想更好的将集合抽象的数数关系替换成了研究图形间具体的图像关系，有助于学

46、生对高中数学集合框架的建立，并能通过韦恩图和数轴来直观看出集合之间存在的种种关系，进而栩助学生理解与分析。韦恩图，主要是用在平时调到的问题中已知条件出的较为完备的集合区间，比如我们在学习的过程中通过求一个已知条件比较明确的集合与另一个已知条件也比较明确的集合他们之间的关系，通过将不同取值范图的集合画在韦恩图中，通常将研究的最大数域画成正方形，将恩目中研究的各合成圆，这样能够轻易看出集合间的图像关系，若在遇到的两个测有共同的交又部分，即共同的交叉部分表示的是两个已知条件完备的集合共有的元素所组成的集合，称为交集；而如果我们考虑的是这两个圆所图成的所有面积，则所围成的所有面积表示的是这两个集合中所

47、有元素所组成的集合，称为并集；若遇到的这两个已知条件完备的集合在图像上没有共同的交叉部分，则代表这两个集合之间没有交叉关系、没有共同特征的事物，那么此新出现的集合就可以称之为这两个集合的交集为空集；所有在两个集合所围成的面积外的区域，称之为在研究的最大数域内这两个集合的补集；教学的过程中，可以举三或多个集合的例子，所有的运用和理解与两个集合的研究方法一样。例 1如图 21 所示，AB，C 是全集 R 的三个子集，那么图中斜线部分所表示的集合为（）A(AB)C B（AB）C C（AB）CCR D（AB）CCR 图 3.1 1 8 例2已知集合 AxI1x3），BxIax3a）。（1）若 AB 求

48、 a 的范围。（2）若 BA 求 a 的范围。解析：（1）先在数轴上表示出集合 A 的范围，要使 AB，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合 A 从而有：a1，3a3，a 的值不存在（2）要使 BA，这时集合 A 应该覆盖集合 B，并且 B 非空有：a-1,3a3，a0，且 a1）的解的个数是_ 解：（1）当 0a1 时，在同一坐标系中分别作函数 y|x2|和 ylogax 的图像（图 2.6），此时 y|x2|的图像与 ylogax 的图像仅有一个交点，这说 明方程|x2|1ogx 在 0a1 时，有一解。（2）当 a1 时，分别作 y|x2|和 ylogax 的图像（图 2.7），此时

49、y|x2|的图像与 ylogax 的图像有两个交点，所以方程|x2|logax 在 0a1 时有两解。2 2 图 3.6 3.2.3 比较函数值大小 通过构造函数可以比较数值的大小，这样做会比较直观形象。例 5：已知实数be，证明：b2，解析：本题利用函数单调性，运用数形结合思想以数助形通过构造函数，就比较容易 了，如果直接去证会比较难证。思路如下：abe2，abba blnaalnb lnaalnbb 考虑函数 f（x）=lnxx 在（e,+）上的单调性 f（x）（1-lnx）x2,当 xe 时 f（x）0 即 f（x）=lnxx 在（e,+）上的单调递减，lnaalnbbabba 图 3.

50、7 2 3 3.3 数形结合思想在不等式中的应用 不等式章节在高考中占据一定的地位，其中线性规划在高考中更是高频考题，基本每年会出一道线性规划的选择题或者填空题，如果选择选修 44 则会有一道不等式的大题。在不等式这个章节中能够应用数形结合思想方法来解题或理解的主要问题即是解不等式和线性规划问题：线性规划问题即可以看成是对一个二元一次不等式组来求解的问题，首先需要了解下线性规划中的一些基本知识点：可行域，即根据不等式组的诸多限制条件画出的可以选取点的所围成的面积的区域，该区域（可以为封闭区域也可以为开放区域）内的任何点都是这个二元一次不等式组的解。可行解：即根据不等式组的诸多限制条件所得到的可