高中数学竞赛讲义-同余2588.pdf

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1、-1-27 同余 1设 m 是一个给定的正整数，如果两个整数 a 与 b 用 m 除所得的余数相同，则称 a 与 b对模同余，记作)(modmba，否则，就说 a 与 b 对模 m 不同余，记作)(modmba，显然，)(|)(,)(modbamZkbkmamba；每一个整数 a 恰与 1，2，m，这 m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：)(modmaa；2).对称性：)(mod)(modmabmba；3).若)(modmba，)(modmcb 则)(modmca;4).若)(mod11mba，)(mod22mba，则)(mod2121mbbaa 特别是)(mod)(modm

2、kbkamba；5).若)(mod11mba，)(mod22mba，则)(mod2121mbbaa；特别是)(mod),(modmbkakZkmba则 )(mod),(modmbaNnmbann则；6).)(mod)(macabcba；7).若)(mod1),(),(modmbamcmbcac时，则当 )(mod)(mod).(mod),(mbamcbcacdmbadmc特别地，时，当；8).若)(mod1mba，)(mod2mba )(mod3mba )(modnmba，且)(mod,21MbammmMn，则 例题讲解 1证明：完全平方数模 4 同余于 0 或 1；2证明对于任何整数0k,1

3、53261616kkk能被 7 整除；-2-3试判断282726197319721971能被 3 整除吗？4能否把 1，2，1980 这 1980 个数分成四组，令每组数之和为4321SSSS，且满足；，101010342312SSSSSS 5在已知数列 1，4，8，10，16，19，21，25，30，43 中，相邻若干数之和，能被 11 整除的数组共有多少组。6设nnnnnaxaxaxaxaxf1122110)(是整系数多项式，证明：若没有整数根；整除，则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(xffff 7试求出一切可使12 nn被 3 整除的自然数n；8在每张卡片上各写出 11

4、111 到 99999 的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的 444445 位数不可能是 2 的幂；9设,21naaa是任意一个具有性质)1(,1kaakk的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个ma用适当的正整数)(,qpayaxayxqpm表示为 -3-例题答案：1证明：;,122Zkknknn或者是任一整数，则设 );4(mod04222knkn时，当);4(mod1)121222knkn（时，当 所以原命题成立；1533221532.266661616kkkkkkMM证：令)7(mod0)7)(mod1132(1173732721)122327()11047

5、(3)197(21156257293642CBAkkkkkk,0Zkk且对于153261616kkk都能被 7 整除；注：Zkbabak),(mod1)(mod1 整除；不能被又即：解：3197319721971)3(mod2)21(),3(mod142)3)(mod21(197319721971)3)(mod210(197319721971)3(mod21973),3(mod11972),3(mod01971.328272628142828282726282726282726 不能这样分组；产生矛盾，又解：依题意可知：)4(mod219819902198119801980321)4(mod0

6、604302010.4111114321TSTSSSSSSSST 组：，则满足条件的数组有时，相邻项之和，且当是数列由于由此可得：、除的余数依次为：它们被、，、依次为，并记解：记数列各对应项为7313|11)11(mod)11(mod)11(mod),11(mod),11(mod)11(mod125236125111177134104795839231351,10,2,1,.5973821041102121jkjkijkkkiSSSSaSSSSSSSSSSSSSaaaSia -4-没有整数根产生矛盾，、又则整除，不能被由题意，且有整数根证：假设)()()()(|1992321),1992(mo

7、d0321),1992(mod)1992(mod)()()()()()()()(,0)(1992)(19920),1992(mod)(.611110 xfrfmfrfnirmnirmrmmramramramfrfrfmfrfmfrfrrmmxfiiiinnnnn 整除；能被时，由上可知当且仅当、时，当、时，当、时，当、时，当、时，当、时，当，则及考虑到，则解：若322616)3(mod02)66(2)210(66)3(mod1)13()160326(2)56(2)210(56)3(mod1)13()6496(2)46(2)210(46)3(mod02)36(2)210(36)3(mod2)13

8、()824(2)26(2)210(26)3(mod2)13()212(2)16(2)210(162)3(mod22n12n|3.7665646362616nnnknkknkknknkknkknnnkknknkknkknkknkknkknknkknkknkknkknkknn 的幂；不可能是即：又注意到、，则：排成的数为、证：记由2)11111(mod0888895111118888929999911111999991111211111)11111(mod),11111(mod110)11111(mod11010101010999991111211111,999991111211111.888889888882188889888882188889888882155888895888884444303444435244444018888921AAaaaaaaaaaaaaAZkaaaaaAaaaaAAki -5-是无限多个是满足题意的要求，且，令属于该子数列，且，同时还有无限多个小的该子数列中必有一个最为严格递增的又现考虑这个无穷数列穷多项至少有一个子数列有无是有限多个为无限集，而子数列却若干个子数列为模的不同剩余类分成按证：将mmqpmqpmpmpmmppnnnaaxayaaaayZxxaaaaaaaaaaaaaaaa222221,)(mod,.9