模糊数学课件优秀PPT.ppt

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1、参参 考考 书书 目目v模糊数学模糊数学 刘应明刘应明,任平编任平编 上海教化出版社出版上海教化出版社出版v模糊数学教程模糊数学教程 蒋译军编蒋译军编 国防出版社出版国防出版社出版v医学信息分析方法医学信息分析方法 郭政，徐晶编郭政，徐晶编 哈尔滨出版社哈尔滨出版社出版出版v医学数量分析医学数量分析 刘定远编刘定远编 北医大，中国协和医大北医大，中国协和医大出版出版第一章第一章 绪绪 论论 1.1 模糊数学的发展模糊数学的发展1.2 模糊性模糊性1.3 模糊数学的应用模糊数学的应用1.1 1.1 模糊数学的发展模糊数学的发展1、数学的定义、数学的定义 19世纪之前世纪之前:数学是关于物质世界的

2、空间形式和数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。数量关系的科学。近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精确的试验方法和精确的测量计算探究客观确的试验方法和精确的测量计算探究客观世界的规律，建立严密的理论体系。世界的规律，建立严密的理论体系。2、数学发展的三个阶段、数学发展的三个阶段(1)数学是关于数学几何图形的科学；数学是关于数学几何图形的科学；(2)数学是探讨量的变更和几何图形变换的科学；数学是探讨量的变更和几何图形变换的科学；(3)数学是作为关于现实世

3、界一切普遍性的数量形数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。式和空间形式的科学。即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。19世纪之后世纪之后:数学是从量的侧面探讨客观世界的一门学科。数学是从量的侧面探讨客观世界的一门学科。v现代数学分为三类：现代数学分为三类：v 基础数学（微积分）基础数学（微积分）v 应用数学（模糊数学）应用数学（模糊数学）v 计算数学计算数学一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做一个命题，命题又分为真命题和假命题。一个命题，命题又分为真命题和假命题。理发师悖论理发师悖论一个

4、理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着：谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？理理发发师师悖悖论论3、模糊数学的产生、模糊数学的产生（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文年德国数学家康托尔发表集合论文（2）至今集合还没有一个精确的定义）至今集合还没有一个精确的定义（3）1965年扎德的模糊集合标记着模糊数学年扎德的模糊集合标记着模糊数学的诞生的诞生v扎德（扎德（Zadeh，L.A.；1921）v美国自动限制专家，美国工程科学院院士。美国自动限制专家，美国工程科学院院士。1921年年2月生于苏联巴月生于苏联巴库。库。1949年获哥伦比亚高校电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚高校年

5、获哥伦比亚高校电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚高校电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会气与电子工程师学会(IEEE)的教化勋章。的教化勋章。v 1965年，扎德在信息与限制杂志第8期上发表模糊集的论文,引起了各国数学家和自动限制专家们的留意。他通过引进模糊集（边界不明显的类）供应了一种分析困难系统的新方法。他提出用语言变量代替数值变量来描述系统的行为，使人们找到了一种处理不确定性的方法，并给出一种较好的人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领域得到了快速发展。与精确性相悖的模糊性并不完全

6、是消极的、没有与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方法模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊数众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物模糊事物.1.2 1.2 模糊性模糊性（模糊数学的基本概念）（模糊数学的基本概念）v1.2.1 1.2.1 模糊性的基本概念模糊性的基本概念v清晰事物清晰事物:有些事物可以依

7、据某种精确标有些事物可以依据某种精确标准对他们进行界限明确地相识，从而得出准对他们进行界限明确地相识，从而得出是否明确的断言，此类事物称之为清晰事是否明确的断言，此类事物称之为清晰事物。物。v清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物到不属于某类事物是渐渐变更的，不同类别之间不到不属于某类事物是渐渐变更的，不同类别之间不存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。存在截然分明的界限，这类事

8、物称为模糊事物。模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。说明：凡在类属问题上能推断或是或非的对象，说明：凡在类属问题上能推断或是或非的对象，就是清晰事物；凡在类属问题上只能区分成都就是清晰事物；凡在类属问题上只能区分成都等级的对象，就是模糊事物。等级的对象，就是模糊事物。状态状态类属类属实例实例清晰事物清晰事物清晰的清晰的界限分明界限分明行星，整数，鸡蛋行星，整数，鸡蛋相对的相对的模糊事物模糊事物不清晰的不清晰的界限模糊界限模糊高山，优秀，胖子高山，优秀，胖子绝对的绝对的留意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不留意：同一事物在一方

9、面是清晰的，在另一方面就可能是不清晰的。清晰的。1、模糊性与近似性、模糊性与近似性 模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源于相识条件的局限性和相识过程发展的不充分性。于相识条件的局限性和相识过程发展的不充分性。近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它仅是模糊现象中的一种。仅是模糊现象中的一种。1.2.2 1.2.2 与模糊性易混淆的几个概念与模糊性易混淆的几个概念2 2、模糊性与随机性、模糊性与随机性 确定性（确定性（1 1）

10、确定性确定性（2 2）服从性服从性信息观点信息观点模糊性模糊性 质不确定质不确定内在不确内在不确定定不服从不服从排中律排中律关系到信息的意关系到信息的意义义随机性随机性 状态属性确定状态属性确定外在不确外在不确定定服从排服从排中律中律只涉及信息的量只涉及信息的量3 3、模糊性与含混性、模糊性与含混性一个命题之所以是模糊的，缘由在于所涉及的类本身一个命题之所以是模糊的，缘由在于所涉及的类本身是模糊的。是模糊的。一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有关，而模糊性却非如此。关，而模糊性却非如此。一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个一个含

11、混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个特定的目的只供应了不充分的信息。特定的目的只供应了不充分的信息。1.3 1.3 模糊数学的应用模糊数学的应用 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人动识别，癌细胞识别，白

12、血球的识别与分类，机器人限制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类限制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类与评估、天气预报、气候模拟试验等等。与评估、天气预报、气候模拟试验等等。例如例如（社会科学中）（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特模糊语言、模糊概念、对特定的集体、个人在给定因素方面的评价、分定的集体、个人在给定因素方面的评价、分类、排序等等。类、排序等等。模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方法法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的.将来数学将分为三大类：将来数学将分为三大类：第一代是经典数学，第一代

13、是经典数学，其次代是统计数学，其次代是统计数学，第三代是模糊数学。第三代是模糊数学。其次章其次章 模糊集合模糊集合2.1 经典集合论概述经典集合论概述2.2 模糊集合概念模糊集合概念2.3 隶属函数的构造隶属函数的构造2.4 模糊集合代数运算模糊集合代数运算2.5 截集截集2.6 分解定理分解定理2.7 模糊集合度量模糊集合度量2.1.1 2.1.1 集合的基本概念集合的基本概念v定义定义2-1：具有某种共同性质事物的全体称为集合，：具有某种共同性质事物的全体称为集合，而每一个个别事物称为该集合的而每一个个别事物称为该集合的“元素元素”。2.1 2.1 经典集合论概述经典集合论概述说明说明:（

14、1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；（2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，即无重复性；即无重复性；（3）范围边界分明）范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必，二者必居其一；居其一；（4）我们探讨的对象的范围叫论域，也叫全集，通）我们探讨的对象的范围叫论域，也叫全集，通常用常用U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一表示

15、，它本身是一种特殊的集合，他的选取一般不唯一，应依据具体探讨的须要而定。般不唯一，应依据具体探讨的须要而定。（5）集合的元素可以随意多，并且一些完全毫不相）集合的元素可以随意多，并且一些完全毫不相关的事物都可以是同一集合中的元素。关的事物都可以是同一集合中的元素。v一个概念的形成大致须要经过两方面：一个概念的形成大致须要经过两方面：v一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内内涵涵”。v另一方面就是此概念所包含的东西，也就是符合此概念另一方面就是此概

16、念所包含的东西，也就是符合此概念事物的全体，我们称其为概念的事物的全体，我们称其为概念的“外延外延”。外延实际。外延实际v 上是表现概念的一个集合。上是表现概念的一个集合。v内涵和外延是刻画概念的两个方面，内涵和外延是刻画概念的两个方面，v 他们是相辅相成的。他们是相辅相成的。v经典集合论的基本要求：二者必居其一，且只居其一。经典集合论的基本要求：二者必居其一，且只居其一。v几种常用的集合分类：几种常用的集合分类：v 1、有限集合与无限集合、有限集合与无限集合v 2、可列集合和不行列集合、可列集合和不行列集合v 3、空集与全集、空集与全集定义定义2-22-2：A是论域是论域U中的集合，映射中的

17、集合，映射 f：X Y 集合集合A的特征函数：的特征函数：说明：说明：1、特征函数是一个布尔函数；、特征函数是一个布尔函数；2、论域中属于、论域中属于A的元素，其特征函数为的元素，其特征函数为1，不属于，不属于A 的元素，其特征函数为的元素，其特征函数为0，绝不存在特征值介于，绝不存在特征值介于0和和1之之间的任何元素；间的任何元素；3、特征函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到极、特征函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到极为重要的作用。为重要的作用。集合的表示法：集合的表示法：（1）枚举法，）枚举法，A=x1,x2,xn；（2）描述法，）描述法，A=x|P(x).（3）特征函数法）特征函数

18、法（4）文氏图）文氏图 集合论中的基本概念集合论中的基本概念1 1、子集与包含：集合、子集与包含：集合、子集与包含：集合、子集与包含：集合A A中的每一个元素都是集合中的每一个元素都是集合中的每一个元素都是集合中的每一个元素都是集合B B的元的元的元的元素，记作：素，记作：素，记作：素，记作：A BA B。2 2、相等、相等、相等、相等:两集合相互包含。两集合相互包含。两集合相互包含。两集合相互包含。3 3、幂集：由集合、幂集：由集合、幂集：由集合、幂集：由集合A A的全部子集作为元素构成的集合。的全部子集作为元素构成的集合。的全部子集作为元素构成的集合。的全部子集作为元素构成的集合。4 4、

19、笛卡尔积（直积）、笛卡尔积（直积）、笛卡尔积（直积）、笛卡尔积（直积）XY=(X,Y)XY=(X,Y)x x X X，y y YY。2.1.2 集合的运算及其性质集合的运算及其性质1、集合间的基本运算、集合间的基本运算 定义定义2-3 2-3 令令A,BA,B为论域为论域U U中随意两个集合，则定义：中随意两个集合，则定义：并集：并集：AB=x|xAB=x|x A A或或x x B B；交集：交集：AB=x|xAB=x|x A A且且x x B B；差集：差集：AB=x|xAB=x|x A A且且x x B B 补集：补集：Ac=x|xAc=x|x A.A.通过特征函数来定义集合的运算通过特征

20、函数来定义集合的运算v定义定义2-4 2-4 令令A,BA,B为论域为论域U U中随意两个集合，则中随意两个集合，则v 定义定义 ：幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸取律：吸取律：A(AB)=A，A(AB)=A；集合的运算的基本性质集合的运算的基本性质设设A,B,CA,B,C为论域为论域U U中的三个随意集合中的三个随意集合0-1律：律：A U=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(A B)c=AcBc，(AB)c=Ac Bc；排中律：排中律：

21、A Ac=U，AAc=；安排律：安排律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；2.1.3 关系关系 定义定义2-5 X 2-5 X Y Y 的子集的子集 R R 称为从称为从 X X 到到 Y Y 的的二元关系，特殊地，当二元关系，特殊地，当 X=Y X=Y 时，称之为时，称之为 X X 上的上的二元关系二元关系.二元关系简称为关系二元关系简称为关系.若若(x,y)R，则称，则称 x 与与 y 有关系，记为有关系，记为 R(x,y)=1；若若(x,y)R，则称，则称 x 与与 y 没有关系，记为没有关系，记为 R(x,y)=0.映射映射 R:X Y 0,1事实上是事实上是

22、 X Y 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.v说明：说明：v1、R是集合是集合X到集合到集合Y的关系，记作的关系，记作v2、关系、关系R的定义域，记为的定义域，记为D(R)v3、关系、关系R的值域的值域,记为记为C(R)v4、全部的集合运算及其性质在关系中也适用、全部的集合运算及其性质在关系中也适用 5 5、令集合、令集合X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,ym,X到到Y存在关系存在关系R，则关系，则关系R的的“关系矩阵关系矩阵”为为MR=(rij)n*m，其中，其中关系矩阵是布尔矩阵。关系矩阵是布尔矩阵。v定义定义2-6 设设R是一个集合是一个集合X到集合到集合Y的关系，则从的关系，

23、则从Y到到X的关系的关系RT=(y,x)(x,y)R 称为称为R的逆关系。的逆关系。v定义定义2-7 设设R是集合是集合X到集合到集合Y的关系的关系,S是集合是集合Y到集到集合合Z的关系的关系,则称则称RS为为R与与S的合成关系。的合成关系。关系关系R R自身的合成运算称为自身的合成运算称为R R的的“幂运算幂运算”，记为记为RR。关系的三大特性：关系的三大特性：设设R R为为 X X 上的关系上的关系(1)(1)自反性：若自反性：若 X X 上的任何元素都与自己有关系上的任何元素都与自己有关系R R，即即R(x,x)=1R(x,x)=1，则称关系，则称关系 R R 具有自反性；具有自反性；(

24、2)(2)对称性：对于对称性：对于X X 上的随意两个元素上的随意两个元素 x,y x,y，若，若 x x 与与y y 有关系有关系R R 时，则时，则 y y 与与 x x 也有关系也有关系R R，即若，即若R(x,R(x,y)=1y)=1，则，则R(y,x)=1R(y,x)=1，那么称关系，那么称关系R R具有对称性；具有对称性；(3)传递性：对于传递性：对于X上的随意三个元素上的随意三个元素x,y,z，若，若x 与与y 有关系有关系R，y 与与z 也有关系也有关系R 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系R，即若即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则，则R(x,z)=1，那么称关系那

25、么称关系R具有传递性具有传递性.两类关系两类关系v定义定义2-8 设设R是非空集合是非空集合X上的关系，若上的关系，若R具有自反性具有自反性和对称性，则称和对称性，则称R是集合是集合X上的上的“相像关系相像关系”。v定义定义2-9 设设R是非空集合是非空集合X上的关系，若上的关系，若R具有自反性，具有自反性，对称性和传递性，则称对称性和传递性，则称R是集合是集合X上的上的“等价关系等价关系”。设设R是集合是集合X上的等价关系，对随意给定的上的等价关系，对随意给定的x X，由全部与由全部与x有关系的元素组成的集合称为有关系的元素组成的集合称为x的的“等价类等价类”，记为记为xR，即，即2.1.4

26、 映射映射v定义定义2-10 设设f是从集合是从集合X到集合到集合Y的一个关系，若对的一个关系，若对于随意于随意x X，存在唯一的，存在唯一的y Y，使得（，使得（x，y)f，则称，则称关系关系f是从集合是从集合X到集合到集合Y的一个的一个“映射映射”,记为记为f:XY。v映射分类（映射分类（1）单射）单射v （2）满射）满射v （3）1-1映射映射定义定义2-11 设设f:XY是是1-11-1对应的映射，则对应的映射，则f所构成所构成的逆关系称之为的逆关系称之为f f的的“逆映射逆映射”。记为。记为f-1:YX。留意：并非任何映射都有逆映射。留意：并非任何映射都有逆映射。2.2 2.2 模糊

27、集合概念模糊集合概念v定义定义2-12 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1 确定了一个确定了一个U上的模糊子集上的模糊子集A或或 ，映射，映射A(x)或或 称为称为A的隶属函数，它表示的隶属函数，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.说明：说明：（1）使）使A(x)=0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性.（2）当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经典子集就是模可见经典子集就是模糊子集的特殊情形糊子集的特殊情形.（3）模糊集合模糊集合A的每

28、个元素的每个元素(x,A(x)都能都能明确的表现出明确的表现出x的隶属等级。的隶属等级。A(x)的值越大，的值越大，x的隶属程度就越高。的隶属程度就越高。（4）模糊集合的分类：离散型，）模糊集合的分类：离散型，连续性连续性v定义定义2-13 由论域由论域U上全部模糊集合构成的集合上全部模糊集合构成的集合F(x)称为模糊幂集。称为模糊幂集。v模糊集合表示法模糊集合表示法v（1）序偶表示法（向量表示法）序偶表示法（向量表示法）v（2）扎德方法）扎德方法v（3）隶属函数方法）隶属函数方法经典集合与模糊集合的区分经典集合与模糊集合的区分经典集合经典集合模糊集合模糊集合表达概念表达概念外延外延内涵内涵函

29、数表示函数表示特征函数特征函数隶属函数隶属函数自变量范围自变量范围0，10，1边界转变边界转变从属于到不从属于到不属于转变是属于转变是突变的突变的从属于到不从属于到不属于转变是属于转变是逐渐的逐渐的v例例 以年龄作为论域，取以年龄作为论域，取U=0,200,Zadeh给出了给出了“年老年老”与与“年轻年轻”这两个模糊集的隶属函数如下：这两个模糊集的隶属函数如下：2.3 2.3 隶属函数构造隶属函数构造v2.3.1 2.3.1 概概 述述v构造隶属函数的常用方法构造隶属函数的常用方法v（1 1）例证法）例证法v主要思想：从已知的有限个隶属值主要思想：从已知的有限个隶属值A(x)中来估计论中来估计

30、论域域U U上的模糊集合上的模糊集合A的隶属函数。的隶属函数。v（2 2）模糊统计法）模糊统计法v（3 3）蕴含解析定义法）蕴含解析定义法v它是依据微积分的理论来确定隶属函数。它是依据微积分的理论来确定隶属函数。v（4 4）二元对比法）二元对比法 接受对比的方法确定隶属值。接受对比的方法确定隶属值。v（5 5）三分法）三分法v（6 6）模糊分布法）模糊分布法 从给定的一系列模糊函数解析式从给定的一系列模糊函数解析式选择出合适的函数作为自己的模糊函数。选择出合适的函数作为自己的模糊函数。v （7 7）阅历方法）阅历方法v 请若干专家对论域中的每个元素给出一个请若干专家对论域中的每个元素给出一个v

31、隶属度的方法。隶属度的方法。2.3.2 2.3.2 模糊统计模糊统计模糊统计试验的基本原理（模糊统计试验的基本原理（4 4个要素）：个要素）：（1 1）论域）论域U U（2 2）U U中的一个元素中的一个元素U0U0（3 3）U U中的一个边界可变的一般集合中的一个边界可变的一般集合A*A*，它联系于一个模糊集合它联系于一个模糊集合A A及相应的模糊概及相应的模糊概念念a a（4 4）条件）条件S S，它联系着按概念，它联系着按概念a a所进行的所进行的 划分过程的全部主客观因素，它制约划分过程的全部主客观因素，它制约 着着A A的边界的变更。的边界的变更。v说明：说明：1、模糊统计方法体现了

32、用确定的手段去把握、模糊统计方法体现了用确定的手段去把握和探讨模糊性。和探讨模糊性。v 2、通过部分人评分的方法来确定隶属度是、通过部分人评分的方法来确定隶属度是一种广泛运用的方法。一种广泛运用的方法。v例：为在年龄论域中建立年轻人的模糊集合的隶属例：为在年龄论域中建立年轻人的模糊集合的隶属函数，现进行抽样调查。被查人先细致考虑年轻人函数，现进行抽样调查。被查人先细致考虑年轻人的含义后，提出自己认为符合年轻人这一概念的最的含义后，提出自己认为符合年轻人这一概念的最合适的年龄区间。这样实质上是随机地将年轻人这合适的年龄区间。这样实质上是随机地将年轻人这个模糊概念明确化。个模糊概念明确化。v下表列

33、出了对下表列出了对130人进行调查的结果：人进行调查的结果：数据数据隶属频率隶属频率2.3.3 2.3.3 模糊分布模糊分布v常用类型常用类型1 1、偏小型、偏小型（1 1）降半矩形分布）降半矩形分布 （2 2）降半）降半形分布形分布（3 3）降半正态分布）降半正态分布 （4 4）降半柯西分布）降半柯西分布（5 5）降半梯形分布）降半梯形分布 （6 6）降岭形分布）降岭形分布2 2 2 2、偏大型、偏大型、偏大型、偏大型（1 1）升半矩形分布）升半矩形分布 （2 2）升半）升半形分布形分布（3 3）升半正态分布）升半正态分布 （4 4）升半柯西分布）升半柯西分布（5 5）升半梯形分布）升半梯形

34、分布 （6 6）升岭形分布）升岭形分布3 3 3 3、中间型、中间型、中间型、中间型（1 1）矩形分布）矩形分布 （2 2）形分布形分布（3 3）正态分布）正态分布 （4 4）柯西分布）柯西分布（5 5）梯形分布）梯形分布 （6 6）形分布）形分布2.3.4 2.3.4 模糊二元对比法模糊二元对比法v将论域中元素两两进行比较时，能够较客观的比出将论域中元素两两进行比较时，能够较客观的比出两者究竟谁隶属于该模糊集的程度高。将这种模糊两者究竟谁隶属于该模糊集的程度高。将这种模糊相识数量化，最终进行总体排序，再确定隶属函数相识数量化，最终进行总体排序，再确定隶属函数的方法，统称为模糊二元对比法。的方

35、法，统称为模糊二元对比法。v择优比较法择优比较法v例：论域为例：论域为5个国家构成的集合，要通过比较个国家构成的集合，要通过比较确定各个国家属于确定各个国家属于“经济发达经济发达”这个模糊概这个模糊概念的隶属度。念的隶属度。v选选1000名懂经济的人逐次对每两个国家作对名懂经济的人逐次对每两个国家作对比，并赐予优胜者比，并赐予优胜者1分，失败者分，失败者0分，每人需分，每人需做做10次对比，则有结果：次对比，则有结果：u1u2u3u4u5和和 u110102 u200101 u311103 u400000 u511114u1u2u3u4u5和和隶属度隶属度次序次序 u1054560064049

36、922840.22841 u2455037735055017320.17324 u340062303293116630.16635 u4360650671036020410.20413 u5501450689640022800.228022.4 2.4 模糊集合代数运算模糊集合代数运算v模糊集合的关系模糊集合的关系模糊集运算的基本性质模糊集运算的基本性质（德（德莫根定律）莫根定律）v 模糊集的运算性质基本上与经典集合一样，除了排中律以外，即v AAc U，AAc .v 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.v例：设论域例：设论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6为一

37、商品集，在为一商品集，在U上定上定义两个模糊集义两个模糊集A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，且设且设 =(0.80,.55,0.0,0.30,0.60,1)，=(0.10,0.21,0.86,0.60,0.0,0.50),则则“商品质量不好商品质量不好”的模糊集是的模糊集是 =(0.20,0.45,1.0,0.70,0.40,0.0)易得：易得：2.5 2.5 截集截集定义定义2-14 设设A为论域为论域X中的模糊集合，中的模糊集合，0,1，定，定义义A的的“截集截集”为集合为集合(A)=A=x|A(x)，实数，实数 称为阈值或为该截集的显著性水平。称为阈值或为该截集

38、的显著性水平。说明：说明：模糊集的模糊集的-截集截集A 是一个经典集合，由隶属度是一个经典集合，由隶属度不小于不小于 的成员构成的成员构成.定理定理2-22-2 设设A,B(U)(A,B是论域是论域U 的两个模糊子的两个模糊子集集)，,0,1，于是有，于是有-截集的性质：截集的性质：(1)A B A B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.定义定义2-15 设设A为论域为论域X中的模糊集合，定义中的模糊集合，定义vA的的“核核”为为KerA=X A(x)=1vA的的“支集支集”为为SuppA=X A(x)0v若若KerA，则称则称A为为“正规模糊集正规模糊集”说明：说明：K

39、erA=A1 SuppA=A02.6 2.6 分解定理分解定理定理定理2-5（分解定理）（分解定理）设设A(U)，x A，则，则A(x)=0,1，x A 定理定理2-6令令A为论域为论域U中的模糊集合，则中的模糊集合，则2.7 2.7 模糊集合度量模糊集合度量2.7.1 2.7.1 模糊集合间的距离模糊集合间的距离2.7.2 2.7.2 模糊度模糊度v两类常用的模糊度两类常用的模糊度v1 1、距离模糊度、距离模糊度 2、模糊熵、模糊熵2.7.3 2.7.3 贴近度贴近度说明：说明：1、性质（、性质（1）说明两相同的模糊集合的贴近）说明两相同的模糊集合的贴近度最大度最大;2、性质（、性质（2）要

40、求贴近度映射具有对称性）要求贴近度映射具有对称性;3、性质（、性质（3）描述了两个较）描述了两个较“接近接近”的模糊的模糊集合的贴近度也较大集合的贴近度也较大.模糊集合度量公式的一般选用方法模糊集合度量公式的一般选用方法v（1 1）选用距离公式时，应考虑选用简洁好用的海明）选用距离公式时，应考虑选用简洁好用的海明距离公式，距离公式，v（2 2）手工计算时，应优先选用格贴近度。）手工计算时，应优先选用格贴近度。v（3 3）运用计算机时，应优先选用海明公式。）运用计算机时，应优先选用海明公式。v（4 4）当隶属函数具有多峰曲线时，可先将其切分为）当隶属函数具有多峰曲线时，可先将其切分为若干个单峰区

41、间后再进行处理。若干个单峰区间后再进行处理。2.7.4 2.7.4 模糊模式识别模糊模式识别v一、最大隶属原则一、最大隶属原则w1、最大隶属原则、最大隶属原则2、最大隶属原则、最大隶属原则v二、择近原则二、择近原则v多个特性的择近原则多个特性的择近原则第三章第三章 模糊关系模糊关系(fuzzy relation)3.1 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念3.2 模糊矩阵与截矩阵模糊矩阵与截矩阵3.3 模糊关系的合成模糊关系的合成3.4 几种重要的模糊关系几种重要的模糊关系3.1 3.1 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念v由于模糊关系是笛卡尔乘积集合中的模糊集合，由于模糊关系是笛卡尔乘积集

42、合中的模糊集合，所以模糊集和运算定义和性质也完全适用于模所以模糊集和运算定义和性质也完全适用于模糊关系，即：糊关系，即：3.2 模糊矩阵与截矩阵模糊矩阵与截矩阵3.2.1 模糊矩阵及其运算模糊矩阵及其运算说明：说明：1、此关系式事实上是一个一般的二元关系，它仅给出了、此关系式事实上是一个一般的二元关系，它仅给出了正常人的标准身高与体重间的关系。正常人的标准身高与体重间的关系。2、以此关系式为基础产生出的模糊关系表、以此关系式为基础产生出的模糊关系表R(x,y)40kg50kg60kg70kg80kg14010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.217

43、00.10.20.810.818000.10.20.813.2.2 3.2.2 模糊矩阵的运算性质模糊矩阵的运算性质3.2.3 3.2.3 模糊矩阵的截矩阵模糊矩阵的截矩阵定义定义3-7 设设R=(rij)mn,对随意的对随意的 0,1，称，称R=(rij()mn,为模糊矩阵为模糊矩阵R的的 -截矩阵截矩阵,其中其中 当当rij 时，时，rij()=1；当当rij 时，时，rij()=0.明显，明显，R的的 -截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵.3.2.4 3.2.4 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置3.3 3.3 模糊关系的合成模糊关系的合成说明：说明：1 1、仅当被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相同

44、时，、仅当被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相同时，两矩阵的合成才有意义；两矩阵的合成才有意义；2 2、模糊矩阵的合成不满足交换律。、模糊矩阵的合成不满足交换律。v模糊关系的合成具有如下性质：模糊关系的合成具有如下性质：v例：设例：设X=x1,x2表示外科医生集表示外科医生集,Y=y1.y2.y3.v为手术方案集，为手术方案集，Z=z1.z2为外科病人集，定义为外科病人集，定义 v为医生对方案的为医生对方案的“把握性高把握性高”关系，关系，为方案对病为方案对病v人人“效果好效果好”的关系，的关系，为为“成功率高成功率高”的关系，的关系，v且且:0.9 0.5 0.4 x20.5 0.7 0.8 x1

45、 y3 y2y1z1z2y10.70.9y20.60.7y30.90.8试求试求 ,并指出治疗并指出治疗z1应由哪位医生，采应由哪位医生，采用哪个方案成功率最高？用哪个方案成功率最高？3.4 3.4 几种重要的模糊关系几种重要的模糊关系v3.4.1 3.4.1 模糊关系的三大性质模糊关系的三大性质说明：说明：1、在有限论域中，自反模糊矩阵表示、在有限论域中，自反模糊矩阵表示一个自反模糊关系；一个自反模糊关系；2、自反模糊矩阵是主对角线元、自反模糊矩阵是主对角线元素均为素均为1的方阵。的方阵。说明：说明：在有限论域中，对称模糊矩阵表示一个对称在有限论域中，对称模糊矩阵表示一个对称模糊关系；模糊关

46、系；对称模糊矩阵必定是对称方阵。对称模糊矩阵必定是对称方阵。3.4.2 3.4.2 模糊相像关系和等价关系模糊相像关系和等价关系v定义定义3-15：设：设R为论域为论域U上的模糊关系，若上的模糊关系，若R具有自具有自反性和对称性，则称反性和对称性，则称R为为U上的上的“模糊相像关系模糊相像关系”。并且当并且当U有限时，与有限时，与R对应的模糊矩阵为对应的模糊矩阵为“模糊相像模糊相像矩阵矩阵”。v定义定义3-16：设：设R为论域为论域U上的模糊关系，若上的模糊关系，若R具有自具有自反性反性,对称性和传递性，则称对称性和传递性，则称R为为U上的上的“模糊等价模糊等价关系关系”。并且当。并且当U有限

47、时，与有限时，与R对应的模糊矩阵为对应的模糊矩阵为“模糊等价矩阵模糊等价矩阵”。模糊等价关系的性质：模糊等价关系的性质：定理定理3-2：设：设R为论域为论域U上的模糊关系，当且仅当上的模糊关系，当且仅当对于随意实数对于随意实数 0，1，R的截矩阵的截矩阵R 均为均为U上的等价关系时，模糊关系上的等价关系时，模糊关系R为模糊等价关系。为模糊等价关系。模糊关系的简洁医学应用模糊关系的简洁医学应用精神分裂症精神分裂症 抑郁症抑郁症 躁狂症躁狂症分裂分裂情感情感幻觉幻觉0.50.30.10.1妄想妄想0.40.20.20.2思维障碍思维障碍0.60.10.10.2情绪高涨情绪高涨0.1000.2抑郁抑

48、郁0.10.70.70.2家族病史家族病史0.40.20.20.2性格性格0.40.10.20.3病程病程0.20.30.30.2d d1 1d d2 2d d3 3d d4 4d d5 5纤维腺瘤纤维腺瘤d d1 11 10.40.40.80.80.50.50.50.5乳腺癌乳腺癌d d2 20.40.41 10.40.40.40.40.40.4乳腺肿块乳腺肿块d d3 30.80.80.40.41 10.50.50.50.5囊性增生囊性增生d d4 40.50.50.40.40.50.51 10.60.6囊内乳头病状囊内乳头病状d d5 50.50.50.40.40.50.50.60.61

49、 1第四章第四章 医学模糊分类医学模糊分类4.1 模糊聚类模糊聚类4.2 模糊决策模糊决策4.3 模糊聚类分析模糊聚类分析4.4 医疗过程的模糊分析医疗过程的模糊分析4.1 模糊聚类模糊聚类v 聚类分析是对事物按不同水平进行分类的方法，即是将是将事物依据确定的特征，并且依据某种特定的要求或规律进行分类的方法。v模糊聚类分析的方法模糊聚类分析的方法v（1）系统聚类法）系统聚类法v（2）逐步聚类法）逐步聚类法v（3）混合法）混合法聚类分析的对象必定是尚未分类的群体。聚类分析的对象必定是尚未分类的群体。对带有模糊特征的事物进行聚类分析，应当接对带有模糊特征的事物进行聚类分析，应当接受模糊数学的方法，

50、因此称其为模糊聚类分析受模糊数学的方法，因此称其为模糊聚类分析法。法。4.1.1 4.1.1 模糊聚类分析的基本步骤模糊聚类分析的基本步骤v系统聚类法的基本步骤：系统聚类法的基本步骤：v（1）标定过程：由原始统计数据构造模糊相）标定过程：由原始统计数据构造模糊相像关系矩阵像关系矩阵R；v（2）聚类过程：依据标定生成的模糊相像矩）聚类过程：依据标定生成的模糊相像矩阵阵R，按各种不同的水平对分类事物进行划分。，按各种不同的水平对分类事物进行划分。v模糊聚类分析首先要解决的问题是如何建模糊聚类分析首先要解决的问题是如何建立论域元素间的相像关系。立论域元素间的相像关系。v要构造相像矩阵要构造相像矩阵R