第3章-线性控制系统的能控性和能观性优秀PPT.ppt

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1、第三章第三章 线性限制系统的能控性和能观性线性限制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常系统的能观性判别 3.4 线性离散系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系13.1 能控性的定义能控性的定义一、意义一、意义 所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外部限制作

2、用的关状态方程描述了系统内部变量与外部限制作用的关系；系；输出方程描述了系统内部状态变量与输出变量之间输出方程描述了系统内部状态变量与输出变量之间的关系。的关系。由此可知，状态空间描述从本质上揭示了系统输入由此可知，状态空间描述从本质上揭示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深化探讨输出关系与内部结构的内在联系，这为深化探讨系统内部结构供应了可能性。系统内部结构供应了可能性。23.1 能控性的定义1960 卡尔曼(Kalman)两个基础性概念：能控性与能观性两个基本问题：在有限时间内，限制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？指限制作用对状态变量的支配实力，称之为 状态的能控性问题

3、 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变 量，称之为状态的能观性问题。33.1 能控性的定义例 桥形电路(a)，C1=C2,R1=R2。选两电容的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，依据电路理论，则两个状态重量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线。明显，它是不完全能控的。4二二、对能控性的直观探讨、对能控性的直观探讨每一个状态变量每一个状态变量 运动都可由输入运动都可由输入u(t)来影响和限制，由随意的初始点达到原点来影响和

4、限制，由随意的初始点达到原点状态能控。状态能控。系统状态3.1 能控性的定义5比如一个系统的状态空间描述为：比如一个系统的状态空间描述为：写成标量方程组的形式为：写成标量方程组的形式为：可以直观地看出，可以直观地看出，受受u的限制，即可以通过选择的限制，即可以通过选择u，使，使取随意值，而取随意值，而 则不受则不受u的限制，不能通过的限制，不能通过u的选择，使的选择，使 取我们所需的值。取我们所需的值。3.1 能控性的定义61 线性连续定常系统的能控性定义 线性定常连续系统的状态方程定义1 对于系统(1)，若存在一分段连续限制向量u(t)，能在有限时间区间t0,tf内，将系统从某一初始状态x(

5、t0)转移到随意终端状态x(tf)，那么就称此状态是能控的。若系统的全部状态x(t)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。(1)3.1 能控性的定义7几点说明:1）为了简便，系统的初始状态x(t0)，可以是状态空间中随意非零的有限点，终端状态x(tf)为状态空间的原点。2）也可以指定 x(t0)是原点，而终端状态 x(tf)为状态空间中随意非零点。称为状态的能达性。能控性和能达性是可以等价的(线性定常系统)。3）在探讨能控性问题时，不计较u的约束，只要能使状态从 x(t0)到达 x(tf)即可，而不探讨到达的轨迹。4）能控性反映了输入u限制内部状态变量 x(t)的实力。3.

6、1 能控性的定义82.线性连续时变系统的能控性定义 A、B是时变矩阵，不是常数矩阵，状态的转移与初始时刻t0有关，应强调某一初始时刻t0系统是能控的。能控性定义与定常系统的定义相同。3.1 能控性的定义93、离散时间系统能控性定义 线性定常离散系统3.1 能控性的定义 定义 对于系统，假如存在限制向量序列u(k),u(k+1),u(l-1)，使系统第k步的状态x(k)，在第l步到达零状态，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第k步上的全部状态x(k)都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。103.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别3.2.1 具

7、有约旦标准型的系统能控性判别具有约旦标准型的系统能控性判别1.A特征值无重根特征值无重根定理 假如线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后，A阵变换成对角标准型，它的状态方程其中，不包含元素全为0的行。11例：状态方程为：（1）3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别系统不完全能控。系系统统模模拟拟结结构构图图12（2）3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别完全能控（3）不完全能控13(4)A阵为随阵为随意形式意形式.3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别不完全能控不完全能控？(5)作线性变

8、换：14完全能控完全能控不完全能控不完全能控（6）（7）3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别152 特征值有重根特征值有重根(1)一个重根对应一个约当块一个重根对应一个约当块定理 若线性定常系统的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形其中，矩阵中与每个约当块最终一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别16例：（例：（1）3.2 线性定常系统的能控性判别17（2）3.2 线性定常系统的能控性判别18完全能控完全能控（3）（4）不

9、完全能控不完全能控（5）完全能控完全能控（6）不完全能控不完全能控3.2 线性定常系统的能控性判别19不完全能控不完全能控（7）（8）完全能控完全能控3.2 线性定常系统的能控性判别20定理 若A具有重特征值，若有重根对应一个以上的约旦块，则能控的充要条件是：中与每个重根的约旦块最终一行对应的行均是行线性无关的。3.2 线性定常系统的能控性判别2 特征值有重根特征值有重根(2)一个重根对应多个约当块一个重根对应多个约当块213.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别（9）（10）能控22均为行线性无关，所以完全能控。3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别（11）

10、233.2.2 干脆从干脆从A与与B判别系统的能控性判别系统的能控性定理 如上系统状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵。的秩为n，即线性定常连续系统的状态方程注注 假如系统是单输入系统，即限制变量维数为假如系统是单输入系统，即限制变量维数为1，则系统，则系统的状态完全能控性的判据为的状态完全能控性的判据为 此时，能控性矩阵为nxn维，即要求阵是非奇异的。3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别24例：推断下面系统的能控性解：所以，系统是完全能控的。（1）3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别25易知从而从而其秩为3，该系统能控。（2）解：3.2 线性定常系统

11、的能控性判别线性定常系统的能控性判别26（3）其秩为2，所以系统不能控。解：3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别27（4）解：所以，系统是完全能控。无论 为何值时，有 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别28 由传递函数推断能控性（SISO系统）结论：状态完全能控的充要条件是：没有零极点对消现象。两边取拉氏变换：UX之间的传递函数：3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别29存在零极点对消，故不完全能控存在零极点对消，故不完全能控例：例：解：3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别303.3 线性定常系统的能观性线性定常系

12、统的能观性3.3.1 定常连续系统的能观测性定义 对于线性定常系统，在随意给定的输入 u(t)下，能够依据输出量 y(t)在有限时间区间t0,tf 内的测量值，唯一地确定系统在 t0 时刻的初始状态 x(t0)，就称系统状态x(t0)是能观测的。若系统的每个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。313.3 线性定常系统的能观性线性定常系统的能观性3.3.1 定常连续系统的能观测性几点说明：1)能观测表示输出y(t)反映内部变量x(t)的实力。当m=n 且C非奇异矩阵时，状态易于求解x(t)=C-1y(t)；当mn 时，在不同时刻多测几组输出，构成独立方程。3)之所以对 x

13、(t0)的确定，是因为可由x(t0)得到随意的x(t)。323.3 线性定常系统的能观性定理 若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是，经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式 中，矩阵不包含元素全为零的列。3.3.2 定常系统能观性的判别1 转换成约旦标准型的判别方法转换成约旦标准型的判别方法 1）A特征值无重根特征值无重根333.3 线性定常系统的能观性若C中某一列，全为0，则与该列对应的状态，不行能从y(t)中推想出来，即该状态是不行观的。34例：例：（1）（2）3.3 线性定常系统的能观性状态不完全能观测。状态完全能观测。353.3 线

14、性定常系统的能观性2）A特征值有重根且每一重根对应一个约旦块特征值有重根且每一重根对应一个约旦块定理 设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式 其中，与每个约当块第一列相对应的矩阵的全部各列，其元素不全为零。363.3 线性定常系统的能观性以三阶为例这时，状态方程的解为：从而(1)由式(1)可知，当且仅当矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部状态量。故为完全能观。37例：例：（1）状态不完全能观测 不能观测。（2）3.3 线性定常系统的能观性状态

15、完全能观测38（3）状态完全能观测。3.3 线性定常系统的能观性39nA有重特征值时，若有重根对应一个以上的约旦块，则能观的充要条件是：中与每个重根的约旦块第一列对应的列均是列线性无关的。3.3 线性定常系统的能观性3）A特征值有重根，特征值有重根，有重根对应多个约旦块有重根对应多个约旦块40都是列线性无关的，所以能观（4）3.3 线性定常系统的能观性412 干脆由A、C矩阵判别系统的能观性定理 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵的秩为n。3.3 线性定常系统的能观性42例 推断下列系统的能观性。秩等于2，所以系统是能观测的。3.3 线性定常系统的能观性433.4 离散时

16、间系统的能控性与能观性离散时间系统的能控性与能观性3.4.1、离散时间系统能控性 线性定常离散系统1.定义 对于系统，假如存在限制向量序列u(k),u(k+1),u(l-1)，使系统第k步的状态x(k)，在第l步到达零状态，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第k步上的全部状态x(k)都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。443.4 离散时间系统的能控性与能观性定理 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，能控性矩阵H,GH,Gn-1H的秩为n。即 rank M=rank H,GH,Gn-1H=n.离散系统状态方程：2.离散系统能控性的判定条件453.4 离

17、散时间系统的能控性与能观性满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。例解：463.4 离散时间系统的能控性与能观性3.4.2、离散时间系统能观性 线性定常离散系统1.定义 对于对于上述系统，假如依据有限个采样周期内测量的y(k)，可以唯一地确定出系统的随意初始状态x(0)，则称状态x(0)为能观测的。若系统的全部状态x(k)都是能观测的，则称系统是状态完全能观的，简称系统能观。473.4 离散时间系统的能控性与能观性定理 对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵 的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为N。2.离散系统能观性的判定条件483.4 离散时间系统的能控性与能观性例 推断下

18、列系统的能观测性于是系统的能观测性矩阵为解：493.6 3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系3.6.1、线性系统的对偶关系对偶系统 若满足下列条件，则称若满足下列条件，则称 与与 是互为对偶的。是互为对偶的。503.6 能控性与能观性的对偶关系51两个系统的传递函数矩阵的关系 l 对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。l特征方程式是相同的。特征方程式是相同的。3.6 能控性与能观性的对偶关系523.6.2 对偶原理若两个系统：是互为对偶的，则 的能控性等价于 的能观性；的能观性等价于 的能控性。证明：l若 是完全能控(能观)的，则 是完全能观(能控)的。3.6 能控性与能观性

19、的对偶关系533.7.1 单输入系统的能控标准型系统：若是完全能控的，则因此确定可以从M的nr个列向量中选取n个独立的列向量组成变换矩阵，从而导出系统的能控标准型。u非奇异变换不变更系统的能控性（能观性）；u只有系统完全能控（能观）才能通过非奇异变换化为能控（能观）标准型。3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型54单输入系统 为能控标准I型3.7.1 单输入系统的能控标准型551、能控标准I型若SISO系统是完全能控的其中，使其化为能控标准I型则存在非奇异变换定理3.7.1 单输入系统的能控标准型56其中，为A的特征多项式的各项系数。是 相乘的结果。为能控标准I型3.7.1 单输入系统

20、的能控标准型57由能控标准I型，简洁求得传递函数为：分子多项式系数为 的元素。分母多项式系数为 最后一行元素的负值。3.7.1 单输入系统的能控标准型58【例3-12】将下列状态空间表达式变换成能控标准I型解：方法一（1）判别系统的能控性系统能控，可以化为能控标准型。3.7.1 单输入系统的能控标准型59（2）A的特征多项式（3）计算3.7.1 单输入系统的能控标准型60（4）得到系统的能控标准I型为：还可以干脆写出系统的传递函数：还可以干脆写出系统的传递函数：3.7.1 单输入系统的能控标准型61方法二，（1）先求出系统的传递函数：3.7.1 单输入系统的能控标准型62（2）依据传递函数干脆

21、写出（3）得到系统的能控标准I型3.7.1 单输入系统的能控标准型632、能控标准II型若SISO系统是完全能控的其中，使其化为能控标准II型则存在非奇异变换定理3.7.1 单输入系统的能控标准型64其中，为A的特征多项式的各项系数。是 相乘的结果。为能控标准II型3.7.1 单输入系统的能控标准型65【例3-13】将系统化为能控标准II型解：（1）推断能控性系统能控，故可以化为能控标准II型。3.7.1 单输入系统的能控标准型66（2）A的特征多项式（3）计算3.7.1 单输入系统的能控标准型67（4）得到系统的能控标准II型3.7.1 单输入系统的能控标准型683.7 状态空间表达式的能控

22、标准型与能观标准型3.7.2 单输出系统的能观标准型系统：若是完全能观的，即时，才能导出能观标准型。691、能观标准I型若SISO系统是完全能观的其中，使其化为能观标准I型则存在非奇异变换定理3.7.2 单输出系统的能观标准型70其中，为A的特征多项式的各项系数。是 相乘的结果。为能观标准I型3.7.2 单输出系统的能观标准型712、能观标准II型若SISO系统是完全能观的其中，使其化为能观标准II型则存在非奇异变换定理3.7.2 单输出系统的能观标准型72为能观标准II型由能观标准型，简洁求得传递函数为：3.7.2 单输出系统的能观标准型73【例3-12】将下列状态空间表达式变换成能观标准型

23、解：（一）能观标准型I（1）判别系统的能观性系统是能观的，可以化为能观标准型。3.7.2 单输出系统的能观标准型74（2）A的特征多项式（3）计算3.7.2 单输出系统的能观标准型75（4）写出能观标准I型的状态空间表达式（二）能观标准II型的计算3.7.2 单输出系统的能观标准型76所以，能观标准II型为：3.7.2 单输出系统的能观标准型77总结：3.7.2 单输出系统的能观标准型能控标准I型能观标准II型能控标准II型能观标准I型互为对偶互为对偶783.8 线性系统的结构分解3.8.1 系统的能控性分解3.8.2 系统的能观性分解3.8.3 系统按能控性和能观性进行分解793.8 线性系

24、统的结构分解 把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深化了解系统的内部结构。结构分解 接受系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。803.8.1 按能控性分解设系统的状态空间表达式为假设系统是不完全能控，即则存在非奇异变换将状态空间表达式化为（n为状态向量维数）81其中，其中，3.8.1 按能控性分解82即，即，将前n1维部分提出来，得到下式这部分构成n1维能控子系统。而后n-n1维子系统为不能控子系统。3.8.1 按能控性分解833.8.1 按能控性分解84关键 变换矩阵Rc的构造求法如下：在能控性矩阵 中选择 n1

25、个线性无关的列向量；将所得列向量作为矩阵Rc的前n1个列，其余列可以在保证Rc为非奇异矩阵的条件下进行随意选择。3.8.1 按能控性分解85例3-15 对下列系统进行能控性分解。解：(1)能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控。6.线性定常系统的结构分解3.8.1 按能控性分解86 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简洁，选取其中的第1列和第2列。易知它们是线性无关的。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。（2）变换矩阵 3.8.1 按能控性分解87（3）求3.8.1 按能控性分解88 即，状态空间表达式二维能控子系统 3.8.1 按能控性分解89若取 则同理可以算出3.8.1 按能

26、控性分解90 即，状态空间表达式二维能控子系统仍旧为 能控标准II型。R1,R2是取自M中的两个线性无关的列。3.8.1 按能控性分解913.8.2 按能观性分解设系统的状态空间表达式为假设系统是不完全能观，即则存在非奇异变换 将状态空间表达式化为（n为状态向量维数）92其中，其中，3.8.2 按能观性分解93即，即，在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到下式这部分构成n1维能观测子系统。而后n-n1维子系统为不能观测子系统。3.8.2 按能观性分解943.8.2 按能观性分解95对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起，即先求。方法如下:从能观性矩阵中选择n1个线性无

27、关的行向量。将所求行向量作为 的前n1个行，其余的行可以在保证 为非奇异矩阵的条件下随意选择。3.8.2 按能观性分解96例3-16 判别下列系统的能观性，若不完全能观的，将该系统按能观性分解。解：(1)能观性矩阵的秩 不完全能观3.8.2 按能观性分解97任选N中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得（2）构造变换阵(3)3.8.2 按能观性分解98状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统 3.8.2 按能观性分解993.8.3 按能控性和能观性进行分解定理 设系统状态空间表达式为若线性定常系统不完全能控且不完全能观，则存在线性变换 ，将状态空间可以化为将整个状态空间

28、分解为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个子空间。100能控能观能控不能观不能控能观不能控不能观3.8.3 按能控性和能观性进行分解101其结构图如下：3.8.3 按能控性和能观性进行分解102 从结构图我们可以看出，从输入到输出事实上只有一条通道：因此，反映系统输入输出特性的传递函数描述事实上只是反映了能控且能观的那个子系统的动力学行为。从而也说明白传递函数描述只是对系统的一种不完全描述。3.8.3 按能控性和能观性进行分解1032、按能控能观性分解的步骤、按能控能观性分解的步骤（1）首先将系统 按能控性分解。为此取状态变换将系统变换为：按能控性分解构造3.8.3 按能控性和能

29、观性进行分解104(2)将上式中的不能控子系统 按能观性分解，取变换这样，将 分解为：按能观性分解构造3.8.3 按能控性和能观性进行分解105(3)将能控子系统 按能观性分解，取变换按能观性分解构造按能观性分解构造得：代入能控子系统左乘 得3.8.3 按能控性和能观性进行分解106综合以上三次变换，就可以得到按能控性能观性分解的表达式：3.8.3 按能控性和能观性进行分解107（2）不能控子系统 仅为一维，且能观，故无需再分解。【例3-17】将该系统按能控性和能观性进行结构分解解解：（1）将原系统按能控性分解，得到3.8.3 按能控性和能观性进行分解108（3）能控子系统按能观性分解：推断能

30、观性取变换矩阵取坐标变换3.8.3 按能控性和能观性进行分解1093.8.3 按能控性和能观性进行分解110综合几次分解的结果，可以得到：3.8.3 按能控性和能观性进行分解1113、结构分解的另一种方法、结构分解的另一种方法先把原系统化为对角线（约旦）标准型；先把原系统化为对角线（约旦）标准型；然后判别出能控能观、不能控能观、能控不能然后判别出能控能观、不能控能观、能控不能观、不能控不能观的状态变量；观、不能控不能观的状态变量；最终按依次排列即可。最终按依次排列即可。3.8.3 按能控性和能观性进行分解112例如3.8.3 按能控性和能观性进行分解113由能控能观的判据知：由能控能观的判据知

31、：能控且能观的变量：能控且能观的变量：能控但不能观的变量：能控但不能观的变量：不能控但能观的变量：不能控但能观的变量：不能控且不能观的变量：不能控且不能观的变量：最终将这些变量重新排列依次，就可以得到分解最终将这些变量重新排列依次，就可以得到分解后的状态空间表达式：后的状态空间表达式：3.8.3 按能控性和能观性进行分解1143.8.3 按能控性和能观性进行分解1153.9 传递函数矩阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概念 给定传递函数阵W(s)，若有状态空间表达式 使之成立 则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。事实上，是将传递函数转换为状态空间描述。116可实现条件：（1

32、）中每个元素 的分子分母多项式系数均为实常数。（2）的元素 是真有理分式。说明：真有理分式：分子多项式的阶数低于或等于分母的阶数。严格真有理分式：分子多项式的阶数低于分母的阶数。3.9.1 实现问题的基本概念117n当传递函数阵 中全部元素的分子多项式阶数低于分母多项式的阶数时，则必有 。n当传递函数阵 中哪怕只有一个元素的分子多项式阶数等于分母多项式的阶数时，则 ，且n此时，应先由 得到 n 再实现3.9.1 实现问题的基本概念118【例】3.9.1 实现问题的基本概念1193.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现先把严格真有理分式的传递函数写成如下形式：先把严格真有理分式的传递函数写成如

33、下形式：这里，这里，该传递函数阵的该传递函数阵的特征多项式系数特征多项式系数mr维常数阵维常数阵3.9 传递函数矩阵的实现问题120rrrr维单位阵维单位阵rrrr维零阵维零阵则其能控标准型实现为：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现121其能观标准型实现为：mm维单位阵mm维零阵3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现122【例3-18】求 的能控标准型实现和能观标准型实现。解：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现123所以：其能控标准型：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现124能观标准型如下：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现1251.定义传递函数W(s)的一

34、个实现假如不存在其它实现使得 的维数小于x的维数，则称 实现为最小实现。即，无穷多个实现中维数最小的那个实现。3.9.3 最小实现3.9 传递函数矩阵的实现问题1262.寻求最小实现的步骤定理：传递函数W(s)的一个实现为最小实现的充要条件是：既是能控的又是能观的。步骤：（1）对于给定的W(s)，初选一实现 ，一般选取能控标准型或能观标准型。（2）对 ，找出其能控且能观的部分,那么此实现就是最小实现。3.9.3 最小实现127【例3-19】试求传递函数阵的最小实现。解：将 W(s)写成标准形式：由于m1，r2，n3（为传递函数阵特征多项式的阶数）能控型实现为nr6维，能观型实现维mn3维，故宜

35、接受能观标准型实现。3.9.3 最小实现128所以,为其最小实现。能控！判断 的能控性3.9.3 最小实现1293.10 零极点对消与能控性和能观性之间的关系对于SISO系统，系统能控能观的充要条件是：传递函数的分子分母间没有零极点对消。对MIMO系统，没有零极点对消只是最小实现的充分条件，而非必要条件，即使出现零极点对消，系统仍旧可能是能控能观的。对于SISO系统，假如传递函数中出现了零极点对消，系统确定不是能控且能观的，但是究竟是不能控，还是不能观，或者是既不能控也不能观的，仍旧不能确定。130比如，对于传递函数实现：(1)该实现是能控但不能观的。3.10 零极点对消与能控性和能观性之间的关系131比如，对于传递函数实现：(2)该实现是能观但不能控的。3.10 零极点对消与能控性和能观性之间的关系132比如，对于传递函数实现：(3)该实现是既不能控也不能观的。3.10 零极点对消与能控性和能观性之间的关系133本章小结本章小结1、能控性、能观性的概念、能控性、能观性的概念2、能控性、能观性的判据、能控性、能观性的判据3、能控性、能观性的对偶原理、能控性、能观性的对偶原理4、能控标准型和能观标准型、能控标准型和能观标准型5、结构分解、结构分解6、实现问题、实现问题134