2022年-年全国高考立体几何真题及答案详解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -近三年立体几何高考真题几详解1、（ 2022 年 1 卷 6 题）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “ 今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺； 问: 积及为米几何 .” 其意思为 : “ 在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 .” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛（B） 22 斛（C）36 斛（D）

2、66 斛【答案】 B【解析】设圆锥底面半径为2r ,就1 423 r8=r16,所以米堆3的 体 积 为113 165=320 9, 故 堆 放 的 米 约 为320 9433 1.62 22,应选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式2、（2022 年 1 卷 11 题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体,）该几何体三视图中的正视图和俯视图如下列图. 如该几何体的表面积为16 + 20,就 r=（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,2 r圆柱的半径与球的半径都为 r ,圆柱的高为2r ,其表面

3、积为14r2r2rr22r =5r24r2=16 2+ 20,解得 r=2 ,应选 B.考点：简洁几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式3、（ 2022 年 1 卷 18 题） 如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120 ,E,F 是平面 ABCD同一侧的两点, BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）证明：平面 AEC平面

4、 AFC；（）求直线AE与直线 CF所成角的余弦值.【解析】试题分析：（）连接 BD,设 BDAC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD中,不妨设 GB=1易证 EGAC,通过运算可证 EGFG,依据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC,由面面垂uuur uuur直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以 G为坐标原点,分别以 GB GC 的方向为 x 轴,uuury 轴正方向, | GB | 为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz ,利用向量法可求出异面直线AE与 CF所成角的余弦值 .试题解析：（）连接 BD,设 BDAC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD中,不

5、妨设 GB=1,由ABC=120 ,可得 AG=GC= 3 .由 BE平面 ABCD,AB=BC可知, AE=EC,又 AEEC, EG= 3 ,EGAC,在 Rt EBG中,可得 BE= 2 ,故 DF=2.2可得 EF=3 2 2,2在 Rt FDG中,可得 FG=6.2在直角梯形BDFE中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=2EG2FG2EF2, EGFG,ACFG=G, EG平面 AFC,EG 面 AEC,平面 AFC平面 AEC. （）如图,以G为坐标原点,分别以uuur uuur GB GC的方向为 x 轴,y 轴正方向, |uuur GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz

6、 ,由（）可得A（0,3 ,0）,E（1,0, 2 ）,F（1,0 ,2）,C（0,uuur 3 , 0）, AE=（1,3 ,uuur 2 ）, CF =（-1 ,-3 ,2）. 1022分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故cosuuur uuur AE CF|uuur uuurAE CFuuur uuurAE | CF|3.3所以直线 AE与 CF所成的角的余弦值为3. 3考点：空间垂直判

7、定与性质；异面直线所成角的运算；空间想象才能,推理论证才能4、（ 2022 年 2 卷 6 题） 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,就截去部分体积与剩余部分体积的比值为（1）A1 B 81 C 71 D 65【解析】由三视图得, 在正方体ABCDA B C D 中,截去四周体AA B D ,如下列图,设正方体棱长为a ,就VAA B D 1 1 111a313 a ,故剩余几何体体积为a31a353 a ,32666所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 ,应选 D5COD 1C1A1DB 1C考点：三视图ABAB5、（ 2022 年 2 卷 9 题） 已知 A,B

8、是球 O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,如三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,就球 O的表面积为（）OABC 的体积最A36 B64 C144 D256【解析】如下列图,当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥大,设球 O 的半径为 R ,此时V OABCV CAOB11R2R13 R36,故R6,就326球 O的表面积为S4R2144,应选 C考点：外接球表面积和椎体的体积6、（ 2022 年 2 卷 19 题）（此题满分12 分）如图,长方体ABCDA B C D 中,AB =16, 第 3 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

9、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BC=10,AA 18,点 E , F 分别在A B ,C D 上,A ED F4过点 E , F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形D F CA EBD CA B（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值【解析】（）交线围成的正方形 EHGF 如图：（）作 EM AB ,垂足为 M ,就 AM A E 4,EM AA 1 8,由于 EHGF 为正方形,所以 EH EF BC 10于是

10、 MH EH 2EM 26,所以 AH 10以 Duuur为坐标原点,DA 的方向为 x 轴的正方向,建立如下列图的空间直角坐标系 D xyz ,就uuur uuurA 10,0,0,H 10,10,0,E 10, 4,8,F 0,4,8,FE 10,0,0,HE 0, 6,8设r uuurr n FE 0, 10 x 0,n , , 是 平 面 EHGF 的 法 向 量 , 就 r uuur 即 所 以 可 取n HE 0, 6 y 8 z 0,r uuurn r0, 4,3又 uuurAF 10,4,8,故 cos n AF r uuurr n AFuuur 4 5所以直线 AF 与n A

11、F 15平面 所成角的正弦值为 4 515考点： 1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角7、（ 2022 年 1 卷 6 题） 如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .如该几何体的体积是28 3,就它的表面积是 第 4 页,共 20 页 （A）17（B） 18（C） 20（ D） 28细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】试题分析：该几何体直观图如下列图：774R3128,

12、解得 R2 ,所以它是一个球被切掉左上角的1,设球的半径为R ,就V8833的表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和S =42 2 +32 2 =17应选 A884考点：三视图及球的表面积与体积8、（ 2022 年 1 卷 11 题） 平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, / 平面 CB1D1, I 平面ABCD=m, I 平面 AB B1A1=n,就 m、n 所成角的正弦值为A 3B 2C 3 D12 2 3 3试题分析：如图 ,设平面 CB D I 平面 ABCD = m ,平面 CB D I 平面 ABB A = n ,由于/ / 平面 CB D ,所以 1 1 m

13、/ / m n / / n ,就 m n 所成的角等于 m n 所成的角 .延长 AD ,过 D 1作 D E / / B C ,连接 CE B D ,就 CE 为 m ,同理 B F 为 n ,而 BD / / CE B F 1 / / A B ,就m n 所成的角即为 A B BD 所成的角 ,即为 60 ,故 m n 所成角的正弦值为 3,选 A. 2考点：平面的截面问题 ,面面平行的性质定理 ,异面直线所成的角 . 【名师点睛】求解此题的关键是作出异面直线所成角 角、连线成形 ,解形求角、得钝求补 . ,求异面直线所成角的步骤是：平移定细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

14、 - - - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9、（ 2022 年 1 卷 18 题） 如图 ,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中AFD 90 o,且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F 都是 60 o （I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值D CF,面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,试题解析：（ I）由已知可得FDF ,FF,所以F平面FDC 第 6 页,共 20 页 - - - - -

15、 - - - - 又F平面F,故平面F平面FDC（II）过 D 作 DGF ,垂足为 G ,由（ I）知 DG平面Fuuur 以 G 为坐标原点 , GFuuur 的方向为 x 轴正方向 , GF为单位长度 ,建立如下列图的空间直角坐标系 Gxyz 由（I）知DF为二面角 DF的平面角 ,故DF60o,就 DF2 , DG3,可得1,4,0,3,4,0 ,3,0,0,D 0,0,3 由已知 ,/ F ,所以/ 平面FDC 又平面CD I 平面FDCDC ,故/CD , CD/ F 由/F,可得平面FDC ,所以C F 为二面角 CF 的平面角 , C F60o 从而可得 C2,0,3 所以uu

16、ur C1,0, 3,uuur0, 4,0,uuur C3, 4, 3,uuur4,0,0设n rx y z是平面C的法向量 ,就r nn ruuur C uuur0,即xy3z0, 040细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以可取nr3,0,3设 mr是平面CD 的法向量 ,就m rm ruuur C uuur0 0, 2 19同理可取mr0, 3, 4就cosr r n mn m r rn m r r19故二面角C的余弦值为2 1919考点：垂直问题的证

17、明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系 ,其中推理论证的关键是结合空间想象才能进行推理 ,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面 ,该类题目难度不大 ,以中档题为主.其次问一般考查角度问题 ,多用空间向量解决 . 10、（2022 年 2 卷 6 题） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,就该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C） 28 （ D） 32解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h由图得r2,c2 r4,由勾股定

18、理得：l222 324,S 表 r2ch1cl4 16828,2应选 C11、（2022 年 2 卷 14 题）,是两个平面, m,n 是两条线,有以下四个命题： 第 7 页,共 20 页 , n,那么假如 mn , m假如 m, n,那么 mn 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -假如 a, m,那么 m假如 mn,那么 m 与所成的角和n 与所成的角相等其中正确的命题有 .填写全部正确命题的编号）【解析】 12（ 20

19、22 年 2 卷 19 题）（本小题满分 12 分）如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB 5,AC 6,点 E,F 分别在5AD,CD 上,AE CF,EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置4OD 10 . （I）证明： D H 平面 ABCD ；（II）求二面角 B D A C 的正弦值 . 【解析】 证明： AE CF 5,AE CF,EFAC4 AD CD四边形 ABCD 为菱形, AC BD,EF BD,EF DH,EF DHAC 6,AO 3；又 AB 5,AO OB,OB 4,OH AEOD 1, DH D H 3,OD

20、2OH 2D H 2,AOD H OH又 OH I EF H,D H 面 ABCD建立如图坐标系 H xyzB5, ,0,C1, ,0,D 0, ,3,A1,3,0,uuur AB4, ,0,uuur AD x1, ,3,uuur AC0, ,0, 第 8 页,共 20 页 设面ABD法向量ur 1n, ,z,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由uur uuur n 1 AB uur uuuur n 1 AD0得4x3y

21、0z0,取x34,y0x3y35zur n 13,4,5同理可得面AD C的法向量uur n 23, ,1,cosur uurn 1 n 2ur uurn n 29575,sin2 955 210252513、（2022 年 3 卷 9 题） 如图,网格纸上小正方形的边长为 三视图,就该多面体的表面积为（）（A）18365 （B） 5418 5 （C）90（ D）81 【答案】 B 考点：空间几何体的三视图及表面积1,粗实现画出的是某多面体的【技巧点拨】 求解多面体的表面积及体积问题,关键是找到其中的特点图形,如棱柱中的矩形,棱锥中的直角三角形,棱台中的直角梯形等,通过这些图形,找到几何元素间

22、的关系,建立未知量与已知量间的关系,进行求解14、（2022 年 3 卷 10 题） 在封闭的直三棱柱 ABC A B C 内有一个体积为 V 的球,如AB BC ,AB 6,BC 8,AA 1 3,就V的最大值是（）9 32（A）4 （B）2（C）6 （D）3【答案】 B 试题分析：要使球的体积V 最大,必需球的半径R 最大由题意知球的与直三棱柱的上下 第 9 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -底面都

23、相切时, 球的半径取得最大值34R343 239,应选 B2 ,此时球的体积为332考点： 1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种摸索方向：（1）依据几何体的结构特点,变动态为静态,直观判定在什么情形下取得最值；（2）将几何体平面化,如利用绽开图,在平面几何图中直观求解； （3）建立函数,通过求函数的最值来求解15、（2022 年 3 卷 19 题）（本小题满分12 分）AC3,如图,四棱锥PABC 中, PA地面ABCD,ADPBC,ABADPABC4,M为线段AD上一点,AM2 MD , N 为 PC 的中点（I）证明MN P平面 PAB ；（II）求直

24、线AN与平面PMN所成角的正弦值 . 8 5【答案】（）见解析； （）25【解析】试题分析：（）取 PB 的中点 T ,然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形,从而得到 MN P AT,由此结合线面平行的判肯定理可证；（）以 A 为坐标原点,以AD AP 所在直线分别为 y z 轴建立空间直角坐标系,然后通过求直线 AN 的方向向量与平面PMN法向量的夹角来处理AN 与平面 PMN 所成角试题解析：（） 由已知得AM2 AD 32,取 BP 的中点 T ,连接AT,TN,由N为PC 第 10 页,共 20 页 中点知TN /BC,TN1 BC 22. 细心整理归纳 精选学习资料

25、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又AD /BC,故TNPAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN /AT. 由于 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以MN/平面 PAB . 4zy0z0,可取2 x设r n , , 为平面PMN的法向量,就nPM05x2nPN0,即2r n0, 2,1,2、棱锥的体积于是|cosr uuur n AN|r uuurn ANr uuurn | AN|8 5. |25考点： 1、空间直线与平面间的平行与垂直关

26、系；【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系,经常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（ 2）求解空间中的角和距离经常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理16、（2022 年 1 卷 7 题） 某多面体的三视图如下列图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2 ,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有如干是梯形,这些梯形的面积之和为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师

27、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 10B 12C 14D16【答案】 B 【解析】 由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯24226S全梯6212应选 B 17、（2022 年 1 卷 16 题） 如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为 5 cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O , D 、 E 、 F 为元 O 上的点,DBC,ECA,FAB分别是一BC , CA , AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC , CA , AB 为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D , E, F 重合,得到三棱

28、锥当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积（单位：【答案】 4 153 cm ）的最大值为 _【解析】 由题,连接 OD ,交 BC 与点 G ,由题, ODBC2510x 第 12 页,共 20 页 OG3BC ,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比6设 OGx ,就BC2 3x,DG5x三棱锥的高hDG2OG22510xx2xSABC2 3 3x13 3x2x52就V1SABCh3 x22510x=3254 x103细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

29、- - - - - - - - -令fx25x4105 x ,x0,5,fx1003 x50x42令fx0,即x42x30,x2CD中,且BAPCDP90就fxf280ABCD 中,AB就V 38045体积最大值为3 4 15cm18、（2022 年 1 卷 18 题）如图,在四棱锥 P（1）证明：平面PAB平面 PAD ；（2）如 PAPDABDC ,APD90,求二面角APBC 的余弦值【解析】 （1）证明：BAPCDP90 PAAB , PDCD又 ABCD, PDAB又 PDIPAP, PD 、 PA平面 PAD AB平面 PAD ,又 AB平面 PAB平面 PAB平面 PAD（2）取

30、 AD 中点 O , BC 中点 E ,连接 PO , OE AB CD四边形 ABCD 为平行四边形 OE AB由（ 1）知, AB 平面 PAD OE 平面 PAD ,又 PO 、 AD 平面 PAD OE PO , OE AD 又 PA PD , PO AD PO 、 OE 、 AD 两两垂直细心整理归纳 精选学习资料 以 O 为坐标原点,建立如下列图的空间直角坐标系Oxyz2, , , 第 13 页,共 20 页 设PA2,D2, , 、B2, , 、P0,2、Cuuur PD2, ,2、uuur PB2, ,2、uuur BC2 2, ,0 0 - - - - - - - - - -

31、 - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -r 设 nx,y,z为平面 PBC 的法向量由r uuur n PB r uuur n BC0,得2x22y02z0r n0,1,202x令y1,就z2,x0,可得平面PBC 的一个法向量APD90, PDPA又知 AB平面 PAD , PD平面 PAD PDAB ,又 PAIABA PD平面 PABuuur PD2,0,2即 PD uuur 是平面 PAB 的一个法向量,cosuuur PD,r nuuur r PD n uuur r PD n232

32、 33由图知二面角APBC 为钝角,所以它的余弦值为3319、 2022 年 2 卷 4 题 如图,网格纸上小正方形的边长为1,学科 &网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,就该几何体的体积为（）【解析】A90B63C42D36【解析】【命题意图 】此题主要考查简洁几何体三视图及体积,以考查考生的空间想象才能为主目的 . 【解析】【解析 】解法一：常规解法【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分,详细图像如下：切割前圆柱 切割中 切割后几何体【解析】从上图可以清楚的可出剩余几何体外形,该几何体的体积分成两部分,部分图如下：细心整理归纳 精

33、选学习资料 第 14 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积,下面阴影的体积为 V Sh,r 3,h 4,V 1 36；上面阴影的体积 V 是上面部分体积 V 的一半,即 V 2 1 V ,V 与 V 的比为高的比（同底） ,2即 V 3 3V ,V 2 3V 1 27,故总体积 V 0 V 2 V 1 63 . 2 4其次种体积求法：V 3 Sh 54,其余同上,故总体积V 0 V 2 V

34、 1 63 . 20、 2022 年 2 卷 10 题已知直三棱柱 C 1 1 C 中,C 120 o ,2 ,CCC 11,就异面直线1与C 所成角的余弦值为（）D3 3A3B15 5C10 52【命题意图 】此题考查立体几何中的异面直线角度的求解,意在考查考生的空间想象才能【解析 】解法一：常规解法在边BB B C A B AB 上分别取中点E F G H ,并相互连接 . 由三角形中位线定理和平行线平移功能,异面直线 AB 和 BC 所成的夹角为 FEG 或其补角,通过几何关系求得 EF 2,FG 5,2 211FH,利用余弦定理可求得异面直线210AB 和 BC 所成的夹角余弦值为 .

35、521、2022 年 2 卷 19 题如图,四棱锥 P-ABCD中,侧面 PAD为等比三角形且垂直于底面 ABCD,1 oAB BC AD , BAD ABC 90 , E 是 PD 的中点 . 2（1）证明：直线 CE / / 平面 PAB（2）点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD所成锐角为 值o 45 ,求二面角 M-AB-D 的余弦细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【命题意图】 线面平行的判定,线面垂直的判定,面面垂直的性质,线面角、二面角的求解【标准答案】 （1）证明略；（ 2）10 5【基本解法1】（1）证明：取 PA 中点为 F ,连接 EF 、 AF由于BADABC90,BC1AD 所以 BC1AD 第 16 页,共 20 页 - - - - - - - - -