2022年《函数的单调性和奇偶性》经典例题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1证明函数 上的单调性 . 证明： 在0,+上任取 x 1、x 2x 1 x2, 令 x=x 2-x 10 就x 10,x20,上式 0, y=fx 2-fx 10 上递减 . 总结升华：1 证明函数单调性要求使用定义；2 如何比较两个量的大小？作差 3 如何判定一个式子的符号？对差适当变形举一反三：【变式 1】用定义证明函数 上是减函数 . 思路点拨： 此题考查对单调性定义的懂得,在现阶段,定义是证明单调性的唯独途径 . 证明： 设 x1, x2 是区

2、间 上的任意实数,且 x1x 2,就0x1x 21 x 1-x 20,0x1x 21 0x1x 20 x 1fx 2 上是减函数 . 总结升华： 可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数；在今后的学习中常常会遇到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象 . 类型二、求函数的单调区间2. 判定以下函数的单调区间；1y=x 2-3|x|+2； 2解： 1由图象对称性,画出草图fx 在上递减,在上递减,在上递增 . 2图象为fx 在 上递增 . 举一反三：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - -

3、- - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载【变式 1】求以下函数的单调区间：1y=|x+1|； 23. 解： 1画出函数图象,函数的减区间为,函数的增区间为-1 ,+；2定义域为,其中 u=2x-1 为增函数,在-, 0与 0, +为减函数,就 上为减函数；3定义域为 -, 00,+,单调增区间为：-, 0,单调减区间为 0,+ . 总结升华：1 数形结合利用图象判定函数单调区间；2 关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关 . 3 复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函

4、数；利用已知函数的单调性解决 .关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数 . 类型三、单调性的应用 比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值 3. 已知函数 fx 在 0,+ 上是减函数,比较 fa 2-a+1 与 的大小 . 解：又 fx 在0,+上是减函数,就 . 4. 求以下函数值域：1； 1x5,10； 2x-3,-2-2,1； 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 2y=x2-2x+3 ；1x-1 ,1； 2x-2 ,2. 思路点拨： 1可应用函数的单调性；2数形结合 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

5、- - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：1精品资料欢迎下载2 个单位, 再上移 2 个单位得到, 如图1fx 在5, 10上单增,；2；2画出草图1yf1 , f-1 即2,6；2 . 举一反三：【变式 1】已知函数 . 1判定函数 fx 的单调区间；2当 x1,3时,求函数fx 的值域 . 即可得到我们 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 思路点拨： 这个函数直接观看唯恐不简单看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,相对熟识的形式.,其次问即是利用单调性求函数值域. 细心整

6、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载解： 1上单调递增,在 上单调递增；2 故函数 fx 在1,3 上单调递增x=1 时 fx 有最小值, f1=-2 x=3 时 fx 有最大值x 1, 3时 fx 的值域为 . 5. 已知二次函数fx=x2-a-1x+5 在区间上是增函数, 求：1实数 a 的取值范畴； 2f2的取值范畴 . 解： 1对称轴 是打算 fx 单调性的关键,联系图象可知只需；2f2=2 2-2a-1+5=-2a+11 又 a2, -2

7、a-4 f2=-2a+11 -4+11=7 . 举一反三：【变式 1】（2022 北京理 13）已知函数,如关于 x 的方程有两个不同的实根,就实数k 的取值范畴是 _. 单调递增且值域为,解：单调递减且值域0,1,由图象知,如有两个不同的实根,就实数k 的取值范畴是（0,1）. 第 5 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载类型四、判定函数的奇偶性6. 判定以下函数的奇偶性：1 23fx

8、=x2-4|x|+34fx=|x+3|-|x-3| 56 7思路点拨： 依据函数的奇偶性的定义进行判定 . 解： 1fx 的定义域为,不关于原点对称,因此 fx 为非奇非偶函数；2x-10, fx 定义域 不关于原点对称,fx 为非奇非偶函数；3对任意 xR,都有 -xR,且 f-x=x 2-4|x|+3=fx ,就 fx=x 2-4|x|+3 为偶函数；4xR,f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx, fx 为奇函数；5, fx 为奇函数；6xR,fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx, fx 为奇函数；7, fx 为奇函数 . 举

9、一反三：【变式 1】判定以下函数的奇偶性：1； 2fx=|x+1|-|x-1| ； 3fx=x2+x+1 ；4. 思路点拨： 利用函数奇偶性的定义进行判定. ； 第 6 页,共 11 页 解： 1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载2f-x=|-x+1|-|-x-1|=-|x+1|-|x-1|=-fx fx 为奇函数；3f-x=-x2+-x+1=x2-x+1 f-x -fx 且 f-x fx fx 为非奇

10、非偶函数；4任取 x0 就-x0 , f-x=-x 2+2-x-1=x 2-2x-1=-x 2+2x+1=-fx 任取 x0 f-x=-x 2+2-x+1=-x 2-2x+1=-x 2+2x-1=-fx x=0 时, f0=-f0 xR 时, f-x=-fx fx 为奇函数 . 举一反三：数 . 【变式 2】已知 fx ,gx 均为奇函数,且定义域相同,求证：fx+gx 为奇函数, fx gx为偶函证明： 设 Fx=fx+gx , Gx=fx gx就F-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-Fx G-x=f-x g-x=-fx -gx=fx gx=Gx fx+gx 为奇函数, fx

11、 gx为偶函数 . 类型五、函数奇偶性的应用 求值,求解析式,与单调性结合 7已知 fx=x 5+ax 3-bx-8 ,且 f-2=10 ,求 f2. 解： 法一： f-2=-2 5+-2 3a-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f2=2 5+2 3a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令 gx=fx+8 易证 gx为奇函数 g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26. 举一反三：【变式 1】（ 2022 湖南文 12）已知 为奇函数,就 为： 解：,又 为奇函数,所以8. fx 是定义

12、在 R 上的奇函数,且当 x0 时, -y=-x2-x 第 7 页,共 11 页 即 y=-x2-x 又 f0=0 ,如图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9设定义在 -3 ,3上的偶函数精品资料欢迎下载fa-1fa 时,求 a 的取值范畴 . fx 在0,3上是单调递增,当解： fa-1fa f|a-1|b0,给出以下不等式,其中成立的是 _. fb-f-aga-g-b ； fb-f-agb-g-a ； fa-f-bg

13、b-g-a. 答案： . 11. 求以下函数的值域：123思路点拨： 1 中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域；2由单调性求值域,此题也可换元解决； 3单调性无法确定,经换元后将之转化为熟识二次函数情形,问题得到解决,需留意此时 t的范畴 . 解： 12经 观 察 知 ,；,；3令 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -12. 已知函数 fx=x2-2ax+a2-1. 精品资料欢迎下载1如

14、函数 fx 在区间 0,2上是单调的,求实数 a 的取值范畴；2当 x-1 ,1 时,求函数 fx 的最小值 ga,并画出最小值函数 y=ga的图象 . 解： 1fx=x-a 2-1 a0 或 a2 21 当 a1 时,如图 3,ga=f1=a 2-2a ,如图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13. 已知函数精品资料欢迎下载f2=1 ,且定义域上任意x、 y 都满意fx 在定义域 0, + 上

15、为增函数,fxy=fx+fy,解不等式： fx+fx-2 3. 解： 令 x=2,y=2 , f2 2=f2+f2=2 f4=2 再令 x=4,y=2, f4 2=f4+f2=2+1=3 f8=3 fx+fx-2 3 可转化为： fxx-2 f8 . 14. 判定函数上的单调性,并证明. 证明： 任取 0x1x 2,0x1x 2, x 1-x 20 1当 时0x1x 21, x1 x2-10 即 fx 1fx 2 上是减函数 . 2当 x1,x 21,+时,上是增函数 . 难点： x 1x 2-1 的符号的确定,如何分段. fx 的奇偶性,并求fx 的最小值 . 15. 设 a为实数,函数fx

16、=x2+|x-a|+1,xR,试争论解： 当 a=0 时, fx=x2+|x|+1,此时函数为偶函数；当 a 0 时, fx=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数. 1当 xa 时,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载1且2 上单调递增,上的最小值为fa=a2+1. 2当 xa 时,1 上单调递减,上的最小值为 fa=a 2+1 2 上的最小值为综上：.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - -