2022年《物理学基本教程》课后答案第九章静电场中的导体和电介质.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第九章优秀学习资料欢迎下载静电场中的导体和电介质9-1 把一厚度为 d 的无限大金属板置于电场强度为E 的匀强电场中,E0与板面垂直,试求金属板两表面的电荷面密度-+ 分析对于有导体存在的静电场问题,第一由静电- + 平稳条件分析放入静电场后导体上电荷的重新分布情- + 况,再运算空间电场和电势的分布- + E0此题中, 将金属板放入匀称电场后, 由于静电感应,- + 平板两面带上等值异号感应电荷忽视边缘效应,两带- + 电面可视为平行的无限大匀称带电平面解设平板两表面的感应电荷面密度分别为和图 9-1 ,如

2、图 9-1 所示由例题 8-7 结果知,带感应电荷的两表面视为带等量异号电荷的无限大平行平面,在导体中产生的场强为E,方向与E 相反,由场强叠加原理,平板中任一点的0总场强为EE0EE00依据静电平稳条件,金属板中场强E0,代入上式得E000就E00,E00结果与板的厚度无关9-2 一金属球壳的内外半径分别为R1 和 R2,在球壳内距球心为d 处有一 第 1 页,共 34 页 - - - - - - - - - 电荷量为 q 的点电荷,（1）试描述此时电荷分布情形及球心O 处电势；（2）将细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学

3、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载球壳接地后,以上问题的答案； （3）如原先球壳所带电荷量为 Q,（1）、（2）的答案如何转变分析 当导体内达到静电平稳后, 应用高斯定理可以确定导体上电荷重新分布的情形,然后用电势叠加原理求电势解（ 1）依据静电平稳条件,导体内部+ + + E0,在球壳内外表面间作同心高斯球面,应用高斯定理,可知球壳内表面上应有q 的感应电+ d R1荷,为非匀称分布,如图9-2 所示依据电荷守+ q+ q + -q R2恒定律和高斯定理, 球壳外表面上有 + q 的感应电+ + 荷,且匀称分布图 9-2点电荷 q 在 O

4、 点产生的电势为V 14qd球壳内外表面上的感应电荷q 和+ q 无论分布情形如何, 到球心距离分别为R1 和 R2,电势叠加原理表达式为标量求和,所以在O 点产生的电势分别为 qV 24qR 1V34R 2O 点电势为VV 1V2V 34qd4qR 1q4R 24q111dR 1R2（2）将球壳接地后,外球面上的感应电荷消逝,球面上电荷分布不变,得细心整理归纳 精选学习资料 VV 1V24q11Q+ q 匀称分布, 第 2 页,共 34 页 dR 1（3）假如原先球壳带电量为Q,达静电平稳后外球面上电荷 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

5、- - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载内球面上电荷分布不变,得VV 1V 2V34q1114QR 2dR 1R 2球壳接地后,结果与（ 2）相同9-3 一无限长圆柱形导体半径为 Ra,单位长度带有电荷量 1,其外有一共轴的无限长导体圆筒, 内外半径为分为Rb 和Rc,单位长度带有电荷量 2,求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量； （2）r R a,R c r R b,R b r R c,r R c 四个区域的电场强度分析 静电平稳条件下,在圆筒导体内场强为零,用高斯定理和电荷守恒定律可求出感应电荷的分布解（1）如

6、图 9-3 所示,在圆筒形导体内作半径为r ,高为单位长的同轴圆柱形高斯面 S,设导体圆筒内外表面单位长的感应电荷分别为和,由静电平稳条件知导- 11R a 1+ 2体内E0, 故有E d S1q110SrR b00Rc即得半径为Rb 的圆筒内表面单位长上的感应电荷为 -1由电荷守恒定律知, 半径为 Rc 的圆筒外表面上单位长的感应电荷应为1,加上原有电荷量图 9-3 9-3 ,由2,单位长上总带电量为21（2）电荷重新分布的结果形成三个同轴的无限长带电圆柱面如图于电荷分布具有轴对称性的,产生的电场也是轴对称的,用高斯定理可求出细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

7、 - - - - - 第 3 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -rR a时,优秀学习资料E欢迎下载0R a r R b 时,E 12 rR b r R c 时,E 0r R c 时,E 1 22 0 r9-4 证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金属板 A 和 B 相向的两面上电荷面密度大小相等, 符号相反, 相背的两面上电荷面密度大小相等,符号相同 , 如 果 两 金 属 板 的 面 积 同 为 100cm2, 电 荷 量 分 别 为 Q A 6 10 8C 和8Q B 4 10 C,

8、略去边缘效应,求两个板的四个表面上的电荷面密度分析 依据静电平稳条件, 一切净电荷都分布在导体表面, 此题中的电场空间可视为四个无限大匀称带电平行平面产生的电场的叠加,金属板 A、B 内任意点场强为零由电荷守恒定律 1 A B4 可以建立各表面的电荷面密度与两金属板的总电荷量之2 3 间的关系解 设 A、B 两板的四个表面上的电荷面密度 （先假定为正）分别为 1、2、3 和 4,如图 9-4 所示设向右为正向,由无限大匀称带电平面的场强公式和场强叠加原理,考虑到金属板A、B 内任意点场强为零,得图 9-4 第 4 页,共 34 页 金属板 A 内2122232400金属板 B 内2122232

9、400解得23,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又由电荷守恒定律得优秀学习资料欢迎下载S 34QBSQA,联立解得 Q A Q B5 10 6C / 2mSQ A 6 22 1 1 10 C/mS6 23 1 10 C/m9-5 三个平行金属板 A、B 和 C,面积都是 200cm2,A、B 相距 4.0mm ,A、C 相距 2.0mm ,B、C 两板都接地,如图 9-5 所示,假如 A 板带正电 3 . 0 10 7

10、C,略去边缘效应,（1）求 B 板和 C 板上感应电荷各为多少？ （2）以地为电势零点,求 A 板的电势分析由静电平稳条件, A、B、C 板内各点的场强均为零, A 板上电荷分布 第 5 页,共 34 页 - - - - - - - - - 在两个表面上,因B、C 两板均接地,感应电荷应分布在内侧表面上解（1）设 A 板 1、2 两面上带电量分别为q 1 和 q 2,B、C 两板与 A 相对的两内侧表面 3、4 上的感应电荷分别为q 1和 q 2,如图 9-5 所示作侧面与平板垂直的高斯面S ,两端面处 E=0 ,忽视d1- d2 - 边缘效应,侧面无电场线穿过,由高斯定理B 3 1 A 2

11、4 C EdS1q1q 1Sq1S 0S S0SS S得q1q1S1q 1q 2同理可得q2q2AB 板间和 AC 板间为匀强电场,场强分别为q1q 2 E1q 1E2q2图 9-5SS又已知VABVAC,即E1 d1E2d2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -因q 1优秀学习资料30.欢迎下载q2q107C由以上各式,得 B、C 两板上的感应电荷分别为q 1q 1q1 . 0107C3q2q22q 12.0107C（2）取地电势为零, A 板电势即为 A、B

12、 间电势差q 1 d 1 3V A V AB E 1 d 1 2 . 3 10 VS109-6 半径为 R 1 1 . 0 cm 的导体球所带电荷量为 q 1 0. 10 C,球外有一个内外半径分别为 R 2 3 . 0 cm 和 R 3 4 . 0 cm 的同心导体球壳,壳上带有电荷量10Q 11 11 C,求：（1）两球的电势；（2）用导线把两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时,两球电势各为多少？（以地为电势零点）分析 依据静电平稳条件可以确定感应电荷的分布,用导线连接的导体电势相等,外球接地后电势为零解（ 1）依据静电平稳条件,导体球壳内表面感应电荷为-q ,外表面感应电荷为 q,

13、原有电荷量 Q由电势叠加原理,导体球电势为V 1qR 14qR2qQ41qqqR 3Q3 .3102V4R 3R 1R2导体球壳的电势为V 24qR 34qR 3QqQq27.102V04R 34R 3（2）球壳和球用导线相连后成为等势体, 电势等于半径为R3 带电量为 Q+ q的匀称带电球面的电势,以无穷远为电势零点,得细心整理归纳 精选学习资料 V2Qq27.102V 第 6 页,共 34 页 4R 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学

14、习资料 欢迎下载（3）外球接地后,只乘下内表面的电荷-q ,由电势叠加原理内球电势为V 14qR 14qR 260V外球壳接地与地等势,即V 2 0另外,求V1时仍可以用内球产生的电场的线积分运算,即R 2 q q 1 1V 2R 1 4 r 2 d r4 R 1 R 2 60 V9-7 半径为 R 的金属球离地面很远,并用细导线与地相连,在与球心的距离为 D 3 R 处有一点电荷 q ,试求金属球上的感应电荷分析由于导体球接地, 其表面上的感应正ROqq电荷通过导线与地球内负电荷中和,只剩下负感D应电荷在金属球表面不匀称地分布, 如图 9-7 所示接地后,导体球上各点电势均为零,球心O图 9

15、-7 点的电势应等于点电荷在该点电势与金属球表面感应负电荷在该点电势的代数和解设金属球上感应电荷为q ,在金属球表面不匀称地分布,但这些电荷到O 点距离相等,电势叠加后得细心整理归纳 精选学习资料 点电荷 q 在 O 点的电势为V2V244q4qR0 第 7 页,共 34 页 RV 14q3RVV 1q3 R - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得感应电量为DnR优秀学习资料欢迎下载qq3由此可以推证,当时,qqn9-8 如图 9-8 所示,三个“

16、无限长” 的同轴导体圆柱面 A、B 和 C,半径分别为 R 、R 、R ,圆柱面 B 上带电荷, A 和 C 都接地,求： B 的内表面单位长度电荷量 1,外表面单位长度电荷量 2之比值 1/ 2分析 此题与题 9-5 的解题思路相像解 在导体 B 内作单位长圆柱面形高斯面, 可以说明 A 面单位长度上感应电荷为 1同理,可说明 C 面单位长度上感应电荷为 2由高斯定理可知场强分布为R ArR B时,E1r,方向沿径向由B 指向 AlnR BR BrR C时,E22r,方向沿径向由B 指向 CBA 间电势差VBAR AE2dr21R Adr21R BR BrR ABC 间电势差VBC220ln

17、R C- 2RB 1 2R BB 为等势体, A、C 接地,VBAVBC,从而RCRA1lnR C/R BA B C - 12lnR B/R A9-9 半径分别为R 和R 2R 2R 1的两个同心图 9-8 导体薄球壳,电荷量分别为Q 和Q ,今将内球壳用细导线与远处的半径为r 的导体球相联,导体球原先不带电,并假设导线上无电荷分布,试求相连后,导体球所带电荷量q 第 8 页,共 34 页 - - - - - - - - - 分析带电的内球壳与导体球用导线相连后,一部分电荷通过导线转移到导细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学

18、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载体球表面上 两者相距甚远, 可以认为两球壳与球的电场互不影响,已假设导线上无电荷分布,利用内球壳与远处导体球电势相等建立方程求解解因两球壳与球的电场互不影响,导体球电势为Q1q,由电势叠加原理,V 14qr 2假设导线上无电荷分布,就内球壳上电荷量变为内球壳的电势为V2Q 1q4Q22Q 2 R1 图 9-9 q r 4R 1R内球壳与远处导体球电势相等,即Q 1-qV 1V2R2qQ 1qQ24r4R 14R 2解得9-10 qrR 1Q2R 2Q 1R 2R 1r地球表面的电场强度为150N/C ,方向

19、垂直指向地面,如把地球视为导体,试求地球表面的电荷面密度和地球带的总电荷量分析 由于地球表面的电场强度方向垂直指向地面,可知地球带负电,将地球视为导体,在静电平稳状态下,电荷分布在表面上解设地球表面的电荷面密度为,表面邻近的场强E,就0地球半径R46.37E06m 1508.851012C/m2C1 .33109C/m2680kC 第 9 页,共 34 页 10,地球带的总电荷量为q109426 .8105CR1. 33细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

20、- - - - - - - - -9-11 优秀学习资料欢迎下载设有一孤立导体球,半径为R.,（1）试求其在真空中的电容表示式；（2）如把地球视为R6.37106m的导体球,它的电容量多大？（3）欲使地球的电势转变 1V ,需使其所带电荷量转变多少？解（1）将孤立导体球视为与无穷远处的同心导体球面组成的球形电容器,利用球形电容器电容表达式, （9-4 ）式给出孤立导体球的电容CQ4RV（2）地球电容C46.37106F7104F（3）欲使地球电势转变1 伏特,需使地球电量的转变为QCV710417104C这这个值很大, 所以地球带电量的日常变化不会引起地球电势发生明显的转变,就是通常可以选取地

21、球作为电势零点的缘由9-12 已知空气的击穿电场强度为3106V/m,求处于空气中一个半径为1m 的导体球最多能带多少电荷及能达到的最高电势分析 在带电导体球四周的空气形成一种绝缘介质包围着导体球,当导体球产生的电场足够强时, 会使其四周的空气发生电离而成为导体,致使带电导体球放电,通常称为空气被击穿 因匀称带电导体球面的电场强度和电势与带电量成正比,为了不击穿四周的空气,带电导体球所带电量要受到限制解由题意击穿电场强度EmaEmax3106V/m12C3 .3104C 第 10 页,共 34 页 而Qmaxx4R2QmaxEmax4R2310648.851012最高电势为V maxQ max

22、E max4R2RE max36 10VVC4R或V maxQmax3 3.1041V36 104R4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9-13 优秀学习资料欢迎下载收音机里的可变电容器如图9-13 （a）所示,其中共有 n 块金属片,相邻两片的距离均为 d ,奇数片联在一起固定不动（叫定片） ,偶数片联在一起可一同转动（叫动片） ,每片的外形如图9-13 （b ）所示,求当动片转到使两组片重叠部分的角度为时,电容器的电

23、容1）分析除了最外侧的两片外, 每块金属片的两个表面分别与相邻的金属片表面构成一个电容器, 如图 9-13（c）所示,所以 n 块金属片如此连接等效于 （n个平行板电容器并联当两组片重叠部分的角度为时,每个电容器有效极板面积为S ,因此电容器的等效电容是的函数收音机调频的电容器就是依据这个原理设计的r 2 r 1a b c 图 9-13 解当两组片重叠部分的角度为时,每个电容器有效极板面积为S3602 r 1r 2（n-1 ）个极板面积为 S,板间距为 d 的平行板电容并联时的等效电容为Cn10Sn1 360r2 2r2 第 11 页,共 34 页 - - - - - - - - - 1dd式

24、中以度计9-14 半径都为 a 的两根平行长直导线相距为dda.（1）设两导线每单位长度上分别带电和,求两导线的电势差； （2）求此导线组每单位长细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载度的电容分析因da,可设两导线的电场互不影Pd响,由场强叠加原理可求出两导线间的场强分布,再用场强与电势的积分关系求两导线间电势差,r由电容器电容的定义即可求出单位长导线组的等O2a 效电容图 9-14解作两导线组合的截面图, 以带正电导线轴P 点的场强均沿

25、r心为原点建立坐标系如图9-14 所示不难看出,正负电荷在轴正向,矢量叠加简化为标量和EEE2rdr1d1rr-两导线间电势差为Vdaadr2daa1d1rdrlndaaEr由电容器电容的定义,导线单位长电容为9-15 CVlndaa有两个半径分别为R 和R 的导体球放在真空中, 两球表面相距为 d ,已知dR 1和dR 2,试求两导体构成的电容器的电容. + Q-QOR1 Pd R2 r图 9-15 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

26、 - - - - - - - - - - -分析按题意dR2优秀学习资料欢迎下载Q 和Q 时,彼此电,可认为当两导体球分别带电场互不影响, 即各球面上电荷分布仍是匀称的,由场强叠加原理可求出两球球心连线上任一点的场, 用与上题相像的方法可以求出两球电势差和两球构成的电容 器电容解以大球球心为原点,建立如图9-15 所示的坐标系,在坐标为r 处的 P点（在连心线上）,两球产生的电场均沿r 轴正向,得EEE4Qr2Q4R 1R 2dr2两带电导体球间电势差为考虑到dV,R 1dEd r4QR 1d1R 1R21dr2drR 1R 1r2Q11d1R 1d1R 2R 14R 1R 2dR 2,可将电

27、势近似表示为2V4Q11R 1R 2d此两导体球构成的电容器电容为CQ412 第 13 页,共 34 页 - - - - - - - - - VR1R 2d9-16 两只电容器C 18F,C22F, 分别把它们充电到1000V ,然后将它们反接,如图9-16 所示,求此时两极间电势差分析并联电容极板间电压相同,因两电容器电容不等,就反接前两电容器细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载带的电量必定不等 反接后, 相连的极板上正负电荷中和,可以

28、运算出中和后电荷量的代数和及并联电容器的等效电容C,从而求出电势差解 反接前,设 C 和 C 带电量分别为 Q 和 Q ,充电电压 U 0 1000 V,就Q 1 C 1 U 0 Q 2 C 2 U 0+ 反接后,正负电荷中和,中和后总电量为 C1 C2 +Q Q 1 Q 2,并联等效电容 C C 1 C 2,就并联电容器两板间电势差为 图 9-16U Q C 1 C 2 U 0 8 10 626 10 66 1000V 600 VC C 1 C 2 8 10 2 109-17 如图 9-17 所示,C 1 10 F , C 2 5 . 0 F , C 3 5 0. F,求：（1）AB 间的电

29、容；（2）在 AB 间加上 100V 电压时,求每一个电容器上的电荷量和电压；（3）假如 C1 被击穿,问 C3 上的电荷量和电压各是多少？分析 并联电容器极板电势相等,串联电容器极板上电荷量相等,总电压等于各电容器上电压之和当 C 上电压超过 C 的额定电压,C 将被击穿,C 支路即短路,全部电压就加在 C 上,如超过 C 的额定电压,C 将被击穿, A、B 间就发生短路所以,在设计电容器组合电路时,除应运算等效电容外,仍应考虑安排到每个电容器上的电压是否超过所选电容器的额定电压细心整理归纳 精选学习资料 解（1）C 和C 并联电容为CC 1C2,再与C 串联后,等效电容为 第 14 页,共

30、 34 页 CCC33.75FCC3（2）等效电容所带电量为QCU,串联的电容所带电量相等 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Q3QCU3优秀学习资料欢迎下载. 75104CA 又因U14UU3Q3Q 175V425VC1 C3 C2 C3Q2Q2B CC 1C210CQ 1Q2Q510C图 9-17可解得Q 12 .Q21. 25（3）假如 C1 被击穿, AB 间电压就加在 C3 上,即U 3 U 100 V就 Q 3 C 3 U 3 5 10

31、 4C9-18 平板电容器,两极间距离为 1.5cm ,外加电压 39kV ,如空气的击穿电场强度为 30kV/cm ,问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为 0.3cm 的玻璃插入电容器并与两板平行,如玻璃的相对电容率为7,击穿电场强度为100kV/cm ,问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系？分析 加玻璃片后,电场被分成两部分,应分别运算出空气和玻璃中的电场强度,再判定是否有哪种介质中的场强超过了其击穿场强可以证明结果与玻璃板的位置无关解未加玻璃前平板电容器内场强为26 kV/cm30kV/cmEU39V/cmd.15因其量值小于空气的击穿电场强度,电容器不会被击穿细心整理

32、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载加玻璃后,设电容器极板的电荷面密度为,平行板电容器中电位移 D E 和 E ,就有设玻璃和空气中场强分别为E 1DE2DU 图 9-180r00玻璃厚为d1,就空气层厚为d- d1,得E1d1E2dd 1U由以上各式得E2E1d1rUrd1r44.48kV/cmdd1Ud 131.kV/cm30kV/cmd即空气部分第一被击穿,然后全部电压加在玻

33、璃板上,致使玻璃中场强为E1U39130kV/cm100kV/cmd103.玻璃部分也会被击穿9-19 一平板电容器极板面积为 S,两板间距离为 d ,其间充以相对电容率分别为 r1、r2 的两种匀称介质, 每种介质各占一半体积, 如忽视边缘效应,（1）与两种不同介质相对的两部分极板所带电荷面密度是否相等？假如不相等,求：1/2= ？（ 2）试证此电容器的电容为C0Sr12r2d分析忽视边缘效应,电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场,从而可以确定两种不同介质中场强与极板电势差的关系,以及与两部分极板上的电荷面密度的关系, 从而可知极板上的总电荷量 另一种思路是将充入两种介质后细心整理归纳

34、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载的电容器视为由两个电容器并联而成,直接应用并联电容器的运算公式解 1 （1）设电容器端电压为U,两种介质中场强分别为E1 和 E2,由布满匀称介质的平行板电容器的场强与电压的关系可得设1、E 1E 2U（1）d2分别为两种不同介质对应部分极板上的电荷面密度,忽视边缘效应,电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场,就有E11E22（2）S d0r10r2代入 1式可得1r11）和r1r2 2r2即两部分极板所带电荷面密度不相等由（图 9-19（2）式可得极板上的总电荷量为QS120SU2r1rr2r12r22d2由电容器定义得CQ10Sr122Ud解 2 由并联电容器公式求总电容0SS0rCC 1C2S0r2d2dd可见其次种方法运算简洁,用第一种方法可对物理过程、电场电荷分布有更明确的概念另外在第一种