2022年三角函数及解三角形练习题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载三角函数及解三角形练习题一解答题（共 16 小题）1在 ABC中, 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求 C的大小2已知 3sin tan =8,且 0（）求 cos；（）求函数 f（x）=6cosxcos（x ）在 0, 上的值域3已知 是函数 f（x）=2cos 2x+asin2x+1 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单调递增区间4已知函数 f（x）=sin（2x+）+sin 2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）如函数 g（x）对任意

2、 xR,有 g（x）=f（x+）,求函数 g（x）在 , 上的值域5已知函数 f（x）=2sin xcos x +cos2 x（0）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间6已知函数 f（x）=sin（ x+）（0,）的图象关于直线 x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为（）求 和 的值；（）如 f（）=（）,求 cos（+）的值 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 7已知向量=（cosx,sinx）, =（3,）,x 0, （1）如,求 x 的值；（2）记 f（x）=,求 f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值8已知函数的部分图象如下列

3、图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在 ABC中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,如（ 2a c）cosB=bcosC,求的取值范畴）的部分图象如下列图,M 为9函数 f（x）=2sin（ x+）（0,0最高点,该图象与y 轴交于点 F（0,）,与 x 轴交于点 B,C,且 MBC 的面积为 （）求函数 f（x）的解析式；（）如 f（）=,求 cos2的值10已知函数（）求 f（x）的最大值

4、及相应的 x 值；（）设函数,如图,点 P,M,N 分别是函数 y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点,求 cosMPN 的值11设函数 f（x）=sin（ x）+sin（ x）,其中 03,已知 f（）=0（）求 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原先的 2 倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移, 上的最小值个单位

5、,得到函数 y=g（x）的图象,求 g（x）在 12在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2（tanA+tanB）=+（）证明： a+b=2c；（）求 cosC的最小值13如图, A、B、C、D 为平面四边形 ABCD的四个内角（）证明： tan=；+tan+tan+tan的值（）如 A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan14已知函数 f（x）=sin2xcos 2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原先的两倍,纵坐标不变,得到函数 g（x）的图象当 x时,求 g（x）的值域15已知函数 f（x

6、）=sin（ x）sinxcos 2x（I）求 f（x）的最小正周期和最大值；（II）争论 f（x）在, 上的单调性16已知函数 f（x）=sin（3x+）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）如 是其次象限角, f（）=cos（+）cos2,求 cos sin 的值 第 3 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -17设 f（x）=2优秀学习资料欢迎下载2sin（ x）sinx （ sinx cosx）（

7、）求 f（x）的单调递增区间；（）把 y=f（x）的图象上全部点的横坐标伸长到原先的2 倍（纵坐标不变）,再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g（x）的图象,求 g（）的值18已知函数 f（x）=sin（x）+cos（x）,g（x）=2sin 2（）如 是第一象限角,且f（）=,求 g（）的值；（）求使 f（x） g（x）成立的 x 的取值集合19已知向量 =（m,cos2x）, =（sin2x,n）,函数 f（x）= . ,且 y=f（x）的图象过点（,）和点（, 2）（）求 m,n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0）个单位后得到函数 y=g（x）的图象,如 y=g（x）

8、图象上的最高点到点（ 0,3）的距离的最小值为 1,求 y=g（x）的单调递增区间细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一解答题（共 16 小题）1（2022.遂宁模拟） 在 ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求 C的大小【分析】 对已知式平方,化简,求出sin（A+B）=,确定 A+B 的值,利用三角形

9、的内角和求出 C的大小【解答】 解：两边平方（3sinA+4cosB）2=36 得 9sin2A+16cos 2B+24sinAcosB=36 （4sinB+3cosA）2=1 得 16sin2B+9cos 2A+24sinBcosA=1 +得：（9sin 2A+9cos 2A）+（16cos 2B+16sin 2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37 即 9+16+24sin（A+B）=37 所以 sin（A+B）=,所以 A+B= 或者如 A+B=,就 cosA3cosA31,就 4sinB+3cosA1 这是不行能的所以 A+B=由于 A+B+C=180所以 C=【点评】

10、 此题考查同角三角函数基本关系的运用,考查运算才能,是基础题2（2022.浙江模拟）已知 3sin tan =8,且 0（）求 cos；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（）求函数 f（x）=6cosxcos（x ）在 0, 上的值域【分析】（）利用同角三角函数的基本关系求得 cos 的值（）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式,再利用余弦函数的定义域和值域,求得函数在

11、 0, 上的值域【解答】解：（）3sin tan =3=8,且 0,cos0, 为锐角=8,求得 cos = ,或 cos = 3（舍去）,sin =,综上可得, cos = （）函数 f（x）=6cosxcos（x ）=6cosx.（cosx. +sinx.）=2cos 2x+4 sinxcosx=cos2x+1+2 sin2x=3（cos2x+ sin2x）=3cos（2x ）,在 0, 上,2x , ,f（x）在此区间上先增后减,当 2x =0时,函数 f（x）取得最大值为 3,当 2x = 时,函数 f（x）取得最小值为 3cos（ ）=3cos =1,故函数在 0, 上的值域为 1,

12、3 【点评】 此题主要考查三角恒等变换,余弦函数的定义域和值域,属于基础题3（2022.海淀区一模）已知（）求实数 a 的值；是函数 f（x）=2cos 2x+asin2x+1 的一个零点（）求 f（x）的单调递增区间【分析】（）利用函数的零点的定义,求得实数 a 的值（）利用三角恒等变化化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得 f（x）的单调递增区间【解答】 解：（）由题意可知,即）可, 第 6 页,共 19 页 即,解得得（）由（细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

13、 - - - - - - - - - - - - -=优秀学习资料欢迎下载,=函数 y=sinx的递增区间为,kZ由,kZ,得,kZ,所以, f（x）的单调递增区间为,kZ【点评】 此题主要考查函数的零点的定义,三角恒等变换、正弦函数的单调性,属于中档题4（2022.衡阳三模）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin 2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）如函数 g（x）对任意 xR,有 g（x）=f（x+）,求函数 g（x）在 , 上的值域【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数 f（x）,再由周期公式运算得答案；（2）由已知条件求出 g（x）= sin（2x+）

14、+,当 x , 时,就 2x+,由正弦函数的值域进一步求出函数 g（x）在 , 上的值域【解答】 解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+ cos2x+sin 2x）, 第 7 页,共 19 页 =sin2x+=sin2x+1=sin2x+,f（x）的最小正周期 T=；（2）函数 g（x）对任意 xR,有 g（x）=f（x+细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -g（x）=sin2（x+）+优秀学习资料欢

15、迎下载=sin（2x+）+,当 x , 时,就 2x+,解得g（x）就sin（2x+）1,即g（x）1综上所述,函数 g（ x）在 , 上的值域为： ,1 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法,档题考查了函数值域的求法, 是中5（2022.北京）已知函数 f（x）=2sin xcos x +cos2 x（0）的最小正周期为（1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积,再由周期公式列式求得 的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 区间x 的取值范畴得 f（x）的单调递增【解答】 解：（1）f（x）=2sin xcos x +cos2

16、 x （kZ）=sin2 x+cos2 x=由 T=,得 =1；（2）由（ 1）得, f（x）=再由,得f（x）的单调递增区间为 【点评】 此题考查 y=Asin（ x+）型函数的图象和性质,考查了两角和的正弦,属中档题6（2022.重庆）已知函数 f（x）=sin（ x+）（0,）的图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -象关于直线 x=优秀学习资料欢迎下载对称,且图象上相邻两个最高点的距离为（）

17、求 和 的值；（）如 f（）=（）,求 cos（+）的值【分析】（）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 求得 =2再依据图象关于直线 x= 对称,结合可得 的值（）由条件求得 sin（）=再依据 的范畴求得 cos（）的值,再依据 cos（+）=sin =sin （）+ ,利用两角和的正弦公式运算求得结果【解答】 解：（）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 ,=, =2再依据图象关于直线 x= 对称,可得 2+ =k+,kz结合可得 =（） f（）=（）,sin（）=,sin（）=再依据 0,cos（）= =,cos（+）=sin =sin （）+ =sin（）cos +cos（）si

18、n=+=【点评】 此题主要考查由函数y=Asin（ x+）的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中档题7（2022.江苏）已知向量=（cosx,sinx）, =（3,）,x 0, （1）如,求 x 的值；x 的值 第 9 页,共 19 页 （2）记 f（x）=,求 f（x）的最大值和最小值以及对应的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载,问题得以解决,【分析】（1）依据向量的平行即可得

19、到tanx=（2）依据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】 解：（1） =（cosx,sinx）, =（3,）, ,cosx=3sinx,tanx=,x 0, ,x=,=3cosxsinx=2（cosxsinx）=2cos（x+）,（2）f（x）=x 0, ,x+, ,2 1cos（x+）,当 x=0时, f（x）有最大值,最大值3,当 x=时, f（x）有最小值,最小值【点评】此题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质,属于基础题8（2022.锦州一模）已知函数 的部分图象如下列图（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在 ABC中,角 A,

20、B,C的对边分别是 a,b,c,如（ 2a c）cosB=bcosC,求 的取值范畴【分析】（1）依据图象求出 A, 和 ,即可求函数 f（x）的解析式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）利用正弦定理化简,求出优秀学习资料欢迎下载A 的范畴,利用函数B,依据三角内角定理可得解析式之间的关系即可得到结论【解答】 解：（1）由图象知 A=1, =2,f（x）=sin（2x+）图象过（,）,将

21、点代入解析式得,故得函数（2）由（ 2a c）cosB=bcosC,依据正弦定理,得：（2sinA sinC）cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C）,2sinAcosB=sinAA（ 0,）,sinA 0,cosB= ,即 B=A+C=,即,那么：故得【点评】此题主要考查三角函数的图象和性质,依据图象求出函数的解析式是解决此题的关键同时考查了正弦定理的运用化简 利用三角函数的有界限求范畴,属于中档题9（2022.丽水模拟）函数f（x）=2sin（ x+）（0,0）的部分图象如下列图, M 为最高点,该图象与y 轴交于点 F（0,）,与 x 轴交于点 B,C,且 MBC的

22、面积为 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（）求函数 f（x）的解析式；（）如 f（）=,求 cos2 的值【分析】（）依题意,由 S MBC= 2 | BC| =| BC| = 可求得其周期 T=2 =,解得 =1,再由 f（0）=2sin = ,可求得 ,从而可求函数 f（x）的解析式；（）由 f（）=2sin =,可求得 sin ,再利用二倍角的余弦即可求得cos2

23、的值【解答】 解：（）由于 S MBC= 2 | BC| =| BC| =,所以周期 T=2 =,解得 =1,由 f（0）=2sin = ,得 sin =,由于 0,所以 =,所以 f（x）=2sin（x+）；（）由 f（）=2sin =,得 sin = ,所以 cos2 =1 2sin2 = 【点评】 此题考查由 y=Asin（ x+）的部分图象确定其解析式,求得 与 是关键,考查二倍角的余弦公式的应用,属于中档题10（2022.延庆县一模）已知函数（）求 f（x）的最大值及相应的x 值； 第 12 页,共 19 页 - - - - - - - - - （）设函数,如图,点 P,M,N 分别

24、是函数 y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点,求cosMPN 的值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载【分析】（）化简函数（ x）为正弦型函数,利用正弦函数的图象与性质求出它 的最大值以及此时对应的 x 值；（）化简函数 g（x）,过 D 作 MDx 轴于 D,依据三角函数的对称性求出PMN=90 ,再求 cosMPN 的值【解答】 解：（）函数=sin2x+cos2xsin2x （1 分）=；（3 分）f（x）的最大值为 f（x）

25、max=1,（4 分）此时,（5 分）x）+ =sin（x+）,（7 分）解得；（6 分）（）函数=sin 2（过 D 作 MDx 轴于 D,如下列图；PD=DM=1, PMN=90 ,（9 分）运算 PM=,MN=2PM=2,PN=,（11 分）（13 分）【点评】此题考查了三角函数的化简与运算问题,也考查了三角函数的运算问题,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载是综合题

26、11（2022.山东）设函数 f（x）=sin（ x）+sin（ x）,其中 03,已知 f（）=0（）求 ；（）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原先的 2 倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移, 上的最小值个单位,得到函数 y=g（x）的图象,求 g（x）在 【分析】（）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数,依据f（）=0求出 的值；（）写出 f（x）解析式,利用平移法就写出g（x）的解析式,求出 x , 时 g（x）的最小值【解答】 解：（）函数 f（x）=sin（ x）+sin（ x）=sin xcos cos xsin sin（ x）=sin xcos x=si

27、n（ x）,又 f（）=sin（）=0,=k,kZ,解得 =6k+2,又 03, =2；（）由（）知, f（x）=sin（2x）,将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原先的函数 y=sin（x）的图象；2 倍（纵坐标不变）,得到细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -再将得到的图象向左平移优秀学习资料欢迎下载）的图象,个单位,得到 y=sin（x+函数 y=g（x）= sin（x）；当 x

28、 , 时,x , ,sin（x） ,1 ,当 x=时, g（x）取得最小值是=【点评】此题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题,是中档题12（2022.山东）在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2（tanA+tanB）=+（）证明： a+b=2c；（）求 cosC的最小值【 分 析 】（ ） 由 切 化 弦 公 式, 带 入并整理可得 2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB,这样依据两角和的正弦公式即可得到 a+b=2c；sinA+sinB=2sinC,从而依据正弦定理便可得出（）依据 a+b=2c,两边平便利可得出 a 2+b 2+

29、2ab=4c 2,从而得出 a 2+b 2=4c 2 2ab,并由不等式 a 2+b 22ab 得出 c 2ab,也就得到了,这样由余弦定理便可得出,从而得出 cosC的范畴,进而便可得出 cosC的最小值【解答】 解：（）证明：由 得：；两边同乘以 cosAcosB得,2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即 sinA+sinB=2sinC（1）；依据正弦定理,； 第 15 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结

30、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载；,带入（ 1）得：a+b=2c；（） a+b=2c；（ a+b）2=a 2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c 2 2ab,且 4c24ab,当且仅当 a=b时取等号；又 a,b0；由余弦定理,=；cosC的最小值为【点评】 考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为 ,以及三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式a2+b22ab 的应用,不等式的性质13（2022.四川）如图, A、B、C、D 为平面四边形 ABCD的四个内角（）证明： tan=；+tan+tan+tan的值（）如 A+C

31、=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan【分析】（）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（ ） 通 过 A+C=180 , 得 C=180 A , D=180 B , 利 用 （ ） 化 简tan+tan+tan+tan=,连结 BD,在 ABD 中,利用余弦定理求出 sinA,连结 AC,求出 sinB,然后求解即可【解答】 证明：（） tan=等式成立 第 16 页,共 19 页 （ ） 由A+C=180 , 得C=180 A , D=180 B , 由 （ ） 可 知 ：tan+tan+tan+tan=细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

32、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载,连结 BD,在 ABD中,有 BD 2=AB 2+AD 2 2AB.ADcosA,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,在 BCD中,有 BD2=BC 2+CD2 2BC.CDcosC,=,所以 AB2+AD2 2AB.ADcosA=BC 2+CD2 2BC.CDcosC,就： cosA=于是 sinA=,连结 AC,同理可得： cosB=于是 sinB=所以 tan+tan+tan+tan=【点评】 此题考查二倍角公式、

33、诱导公式、余弦定理简洁的三角恒等变换,考查函数与方程的思想,转化与化归思想的应用14（2022.重庆）已知函数 f（x）=sin2xcos 2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原先的两倍,纵坐标不变,得到函数 g（x）的图象当 x时,求 g（x）的值域【分析】（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x 第 17 页,共 19 页 - - - - - - - - - ）,从而可求最小周期和最小值；（）由函数 y=Asin（ x+）的图象变换可得g（x）=sin（x）,由 x, 时,可得 x的范畴,即可求得g（x）的值

34、域【解答】 解：（） f（x）=sin2xcos 2x= sin2x（1+cos2x）=sin（2x）,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f（x）的最小周期 T=优秀学习资料欢迎下载=,最小值为：1（）由条件可知： g（x）=sin（x）当 x, 时,有 x, ,从而 sin（x）的值域为 ,1 ,那么 sin（x）的值域为： , ,故 g（x）在区间 , 上的值域是 , 【点评】 此题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,函数 y=Asin（ x+）的图象变

35、换,属于基本学问的考查15（2022.重庆）已知函数 f（x）=sin（ x）sinxcos 2x（I）求 f（x）的最小正周期和最大值；（II）争论 f（x）在, 上的单调性【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值f（x）在（）依据 2x 0, ,利用正弦函数的单调性,分类争论求得上的单调性【解答】解：（）函数 f（x）=sin（ x）sinxx=cosxsinx（1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x）,时,即 x故函数的周期为=,最大值为 1（）当 x时,2x 0, ,故当 02x, 时, f（x）为增

36、函数；当2x 时,即 x, 时,f（x）为减函数【点评】此题主要考查三角恒等变换,调性,属于中档题正弦函数的周期性和最值, 正弦函数的单细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载16（2022.四川）已知函数 f（x）=sin（3x+）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）如 是其次象限角, f（）= cos（+）cos2,求 cos sin 的值【分析】（1）令 2k3x+2k+,kz,求得 x 的范畴,可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得f（）=sin（+）,又 f（）=cos（+）cos2,可得 sin（+）=cos（+）cos2,化简可得（cos sin ）2=再由 是其次象限角, cos sin 0,从而求得 cos sin 的值【解答】 解：（1）函数 f（x）=sin（3x+）,令 2k3x+2k+,kZ,求得x+,故函数的增区间为 ,+ ,kZ（2）由