2022年抽象函数奇偶性周期性对称性.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 抽象函数的周期性与对称性学问点梳理 一、 抽象函数的对称性定理1. 如函数yf x 定义域为 R ,且满意条件：fax fbx ,就函数yffx的图象关于直线fax,就函数yfx的图像关于直线xa2b对称；推论1. 如函数yfx定义域为 R ,且满意条件：fax2 ax, 就函数yfx的图像关于直线xa对称；推论2. 如函数yfx定义域为 R ,且满意条件：fx ffax,又如方程x 0有 n 个根,就xa对称；总结：x 的系数一个为1,一个为 -1 ,相加除以2,可得对称轴方程推论3. 如函数yfx定义域为 R ,且满意条件：fax此 n 个

2、根的和为 na ；定理2. 如函数yfx定义域为R ,且满意条件：faxfbxc（a ,b ,c为常数）,就函数0成立,就yfx的图象关于yfx的图象关于点a2b,c对称；2推论1. 如函数yfx定义域为 R , 且满意条件：fax fbx0（ a 为常数）,就函数yf x 点a2b0,对称；推论2. 如函数yfx定义域为 R,且满意条件：faxfax的图象关于点a ,0 对称；1,另一个为 -1 ,存在对称中总结： x 的系数一个为1,一个为 -1 , fx整理成两边,其中一个的系数是为心；定理 3. 如函数yfx定义域为 R ,就函数yfax 与yxfbx两函数的图象关于直线x2ba对2称

3、（由axbx可得）；的图象关于直线a对称；推论 1. 函数yfxa与函数yfax推论 2. 函数yyfax与函数yfax的图象关于直线ba,c对x0对称；定理4. 如函数fx 定义域为R ,就函数yfax 与ycf bx 的图象关于点2称；推论 . 函数yfax 与函数yfbx 图象关于点b2a,0 对称；二、抽象函数的周期性名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理5. 如函数yf x 定义域为 R,且满意条件faxfxb,就yfx是以Tab为周期的周期函数；推论1. 如函数yf x 定义域为 R ,且满意条件faxf

4、xb ,就yfx是以T2ab为周期的周期函数；推论 2. 如函数满意条件fxaf1, 就 就T=2 a x是以T2a为周期的周期函数；2 ba 为周期的周x推论 3. 如函数满意条件fxa1fx,就T=4 a x 是以T4 a为周期的周期函数；1fx定理 7. 如函数yfx的图象关于直线xa与xbab对称,就yfx是以T期函数；定理8. 如函数yfx的图象关于点a0,与点b0,ab对称,就yfx是以T2 ba为周期的周期函数；定理 9. 如函数yfx的图象关于直线xa与点b ,0 ab,就yf x 是以T4 ba为周期的周期函数；总结： x 的系数同为为1,具有周期性； 1定义在 R上的函数

5、f x 满意： f x f x2 13,f 1 2,就 f 99 A13 B2 C.13 2 D.2132已知奇函数f x 在区间 3,7上是增函数,且最小值为5,那么函数f x 在区间 7, 3 上 A是增函数且最小值为5 B是增函数且最大值为5 C是减函数且最小值为5 D是减函数且最大值为5 3已知函数f x1 是奇函数, f x 1 是偶函数,且f 0 2,就 f 4 _. 4对于定义在R上的函数 f x ,有下述四个命题,其中正确命题的序号为_如 f x 是奇函数,就f x1 的图象关于点A1,0 对称；如对 xR,有 f x1 f x1 ,就 yf x 的图象关于直线x1 对称；如函

6、数 f x1 的图象关于直线x1 对称,就 f x 为偶函数；函数 yf 1 x 与函数 yf 1 x 的图象关于直线x1 对称5已知定义域为R的函数 f x 2 xb2 x 1a是奇函数 1 求 a、b 的值；名师归纳总结 2 如对任意的t R,不等式 f t22t f 2 t2k0 恒成立,求k 的取值范畴第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6设函数 f x的定义域关于原点对称,且满意 f x1x2 存在正常数f x1 f x2 1 f x2f x1；a,使 f a1. 求证： 1 f x 是奇函数；2 f x 是周期函数,并且

7、有一个周期为4a. x = f 2x 就（）1、如函数fxx 2bxc 对一切实数都有f 2A.f 2f 1 f4 B.f 1f 2 f4 C.f 2f 4 f1 D.f 4f 2 f1 2、设函数 y= f x定义在实数集R上,就函数y= f x1 与 y= f 1x 的图象关于（）对称；A. 直线 y=0 B. 直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1 3、已知定义为R 的函数fx满意fxfx4,且函数fx在区间2,上单调递增 . 假如x12x2,且x1x24,就fx1fx2的值（）A. 恒小于 0 B. 恒大于 0 C可能为 0 D可正可负4、函数 yfx是定义在实数集R上的函数

8、,那么y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线x5 对称 B关于直线x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称5、设 fx 是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx 是（ ）A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数6、已知函数 f x 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有 xf x 1 1 x f x ,就5f f 的值是（）2A.0 B.1 C.1 D.52 27 、 已 知 f x 1 x,1f x f f x,f 2 x

9、f f 1 x, ,f n 1 x f f n x, 就1 3 xf 2004 2（）. A. 1 B.1 C. 3D.3 7 7 58、在数列 中,已知 x 1 x 2 1,x n 2 x n 1 x n n N *,就 x 100 = f x 19、 y f x 定义域为 R,且对任意 x R都有 f x 1,如 f 2 1 2 就 f2022 = 1 f x10、已知 fx 是 R上的偶函数,对 x R 都有 fx 6=fxf3 成立,如 f1=2 ,就 f2022= 11、函数 f x 在 R 上有定义,且满意 f x 是偶函数,且 f 0 2005,g x f x 1 是奇函数,就名

10、师归纳总结 第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f2005的值为R 上的偶函数,且f1+x= f1x, 当 1x0 时, fx = 1 x,就 2f8.6 = 12、设fx是定义在_ 13、设fx是定义在区间,上且以2 为周期的函数,对kZ,用kI表示区间2k1 2,k1 ,已知当x0I时,fxx2.求fx在kI上的解读式 . 第 4 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案：1、如函数fxx2bxc对一切实数都有f 2x = f 2x 就（）D.f 4f 2

11、A.f 2f 1 f4 B.f 1f 2 f4 C.f 2f 4 f1 f1 答案： A；2、设函数 y= f x定义在实数集R上,就函数y= f x1 与 y= f 1x 的图象关于（）对称；A. 直线 y=0 B. 直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1 答案： D；由 x 1 1 x x 13、已知定义为 R 的函数 f x 满意 f x f x 4,且函数 f x 在区间 2 , 上单调递增 . 假如 x 1 2 x 2,且 x 1 x 2 4,就 f x 1 f x 2 的值（）A. 恒小于 0 B. 恒大于 0 C可能为 0 D可正可负答案 A；分析：图象关于点 ,2 0

12、 对称 . f x 在区间 2 , 上单调递增,在区间 2, 上也单调递增 . 我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位 . 2 x 2 4 x 1,且函数在 ,2 上单调递增,所以f x 2 f 4 x 1,又由 f x f x 4,有 f 4 x 1 f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1,f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 1 04、函数 yfx 是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称答案： D；

13、解：据复合函数的对称性知函数 y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D；5、设 fx 是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx 是（ ）A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数答案： C；6、定义在 R上的特别数函数满意：f 10+x为偶函数,且f 5x = f 5+x,就 f x肯定是（）A. 是偶函数,也是周期函数 C.是奇函数,也是周期函数B. 是偶函数,但不是周期函数 D.是奇函数,但不是周期函数答案： A. 解： f 10+x

14、为偶函数, f 10+x = f 10x. f x 有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ,因此 f x 是以 10 为其一个周期的周期函数,x =0 即 y 轴也是 f x 的对称轴,因此 f x 仍是一个偶函数；7、已知函数 f x 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有 xf x 1 1 x f x ,就5f f 的值是（）2A.0 B.1 C.1 D.52 2答案： A；解读：令 x 1,就 1 f 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0；令 x 0,就 f 0 02 2 2 2 2 2 2 2由 xf x 1 1 x f x 得 f x 1 f x, 构 造

15、 函 数 F x f x, 由 f 12 f 12 2, 所 以x 1 x x 1 1 22 25f 028 、 已 知 f x 1 x,1f x f f x,f 2 x f f 1 x, ,f n 1 x f f n x, 就1 3 xf 2004 2（）. A. 1 B.1 C. 3D.3 7 7 5名师归纳总结 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： A；分析：由 f x 1 x,知 f 1 x x 1,f 2 x f x 1x,3f x f x . 1 3 x 3 x 1 3 x 1f x 为迭代周期函数,故 f 3n

16、x f x ,f 2004 x f x ,f 2004 2 f 2 1. 79、在数列 中,已知 n x 1 x 2 1,x n 2 x n 1 x n n N *,就 x 100 = 答案：1；f x 110、 y f x 定义域为 R,且对任意 x R都有 f x 1,如 f 2 1 2 就 f2022 =_ 1 f x答案： -1-2；11、已知 fx 是 R上的偶函数,对 x R 都有 fx 6=fxf3 成立,如 f1=2 ,就 f2022= 答案： 2. 12、函数 f x 在 R 上有定义,且满意 f x 是偶函数,且 f 0 2005,g x f x 1 是奇函数,就f 200

17、5 的值为答案： 0. 函数关于 1, 和 x 0 对称,周期为 4 f 2005 f 1 f 1 0；13、设 fx 是定义在 R 上的偶函数,且 f1+x= f1x, 当 1x0 时, fx = 1 x,就 f8.6 = 2_ 解： fx 是定义在 R上的偶函数 x = 0 是 y = fx 对称轴；又 f1+x= f1x x = 1 也是 y = fx 对称轴；故 y = fx 是以 2 为周期的周期函数,f8.6 = f8+0.6 = f0.6 = f0.6 = 0.3 11、设 f x 是定义在区间 , 上且以 2 为周期的函数,对 k Z,用 kI表示区间 2 k 1 2, k 1 , 已知当x 0I 时,f x x 2. 求 f x 在 kI上的解读式 . 解：设 x 2 k ,1 2 k 1 , 2 k 1 x 2 k 1 1 x 2 k 1x I 0 时,有 f x x 2, 由 1 x 2 k 1 得 f x 2 k x 2 k 2f x 是以 2 为周期的函数,f x 2 k f x , f x x 2 k 2. 名师归纳总结 第 6 页,共 6 页- - - - - - -