2022年数学物理方法复习资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思复变函数期末复习提要第 7 章：残数及其应用 懂得残数的定义；娴熟把握运算残数的方法；懂得残数基本定理,娴熟把握用残数理论运算积分；0f定义 7. 1 设a为函数fz 的孤立奇点,c 为圆周：za,如f z在za上解析,就称1icfz dz为2 （7. 1）z在点 a 的残数（或留数）,记作Res f,a或Res a ,即Res f,a1icfz dz2 例 1 设fz5z2,求Res f,0 zz1 1 即可满意定义7. 1 的解法 1 由（ 7. 1）式得Res f,0 1iz15 z2dz2 z z1

2、45z21iz1zz1dz2 45 z2z0z12留意：这里的积分路径的半径并非只能取1 ,只须使半径小于 4条件名师归纳总结 解法 2 因点z0为fz的孤立奇点,所以,在N*0,1:0z1内有第 1 页,共 4 页33fz5zz21 由此得c11z7. 3）式得25 n0znz23n0znz2,依（ 7. 2）式得Res f,0 2解法 3 因点z0为fz的一级极点,所以,依（Res f,0lim z 0z5z2zz1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解法 4 因点z0为fz5z227. 4）式得的一级极点,所

3、以,由（z z1 定义 7. 2设 zRes f,0 5z2z0,如fz在z z1 2为函数f z 的孤立奇点, c 为圆周：z,即（7. 6）Rz内解析R,就称1icfz dz为函数fz在点 z2 的残数（或留数）,记作Res f,或Res Res f,1icfz dz例 2 设fz 12 z2ez,求Res f,解取圆周c: z2,由（ 7. 6）式得Res f,1ic12 zdz2 z e1ic1e2 z z d z2 0奇点定理 7. 1 设区域 G 是由围线 c 的内部构成（如图）,如函数anfz在 G 内除含有限个a 1,a 2,a n外解析,且在GGc上除点a 1,a2,外连续,

4、就n（7. 8）fz dz2 iR e sf,ajcj1a3 .c3 a1 .c1 a2 .c2 can.Gcn例 3运算积分z1z22i1dz,a1由z22 az1求出被积函数的奇2az解第一, 弄清被积函数在积分路径内部有无奇点点有名师归纳总结 因a1,所以,z 2z 1aa21与z 2aa21第 2 页,共 4 页1,又因z 1z21,故1z1,即在积分路径内部只有被积函数的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一个奇点 z 其次,经检验,由（17. 8）式得1dz2 iRes z22i1,z 1z22izz22

5、az2az2 ilim z z 1zz 1z2iz 1z2 a21残数在运算某些实积分上的应用Pxdx2 ijn1Res P z ,jz（7. 10）Q x Qz 例 4 运算积分x4x221dxx解体会证,此积分可用（7. 10）式运算第一,求出Pz z4z221在上半平面的全部奇点令Q z zz4z210即z4z21z42 z21z21z21 2z2z2 zz1 z20于是,P Qz在上半平面的全部奇点只有两个：13iz 13i与且知道,2222与均为Pz 的一级极点Qz 其次,算残数,有名师归纳总结 Res P z ,lim zzzzz2z第 3 页,共 4 页Q z zRes Pz ,

6、13izz2 zz43ilim zzQ z z最终,将所得残数代入（13i43i7. 10）式得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思x4x221dx2 iRes Pz ,Res P z ,xQ z Qz 3P xe ikxd x2 ijn1R e s P Q z e ikz,zjf7. 11 Q x z 例 5 运算积分x2i ex2dx,a00,所以,z 在上半a解 体会证,该积分可用（7. 11）式运算第一,求出帮助函数fz z2ieza2在上半平面的全部奇点由z2a20解得zai与zai为fz的奇点,而a平面只有一个奇点a , 且ai为fz的一级极点其次,运算残数有Res z2i ez2 a,ailim z aizaizai ezaiizea2 ai最终,由（ 7. 11）式得x2i ex2dx2 iRes z2eiz2,aiaaaea基于例 7. 12,由（ 7. 12）与（ 7. 13）式简单得到名师归纳总结 2 Racosx2dxdxa与1xsinx2dx102dt第 4 页,共 4 页x2aae2acosx,sinx Rat22 t22,01t1t2t- - - - - - -