2022年数列求和的基本方法与技巧.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载数列求和的基本方法与技巧（高一）数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础；在高考和各种数学竞赛中都占有重要的位置；数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要肯定的技巧；下面,就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧；一、公式求和法 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法；1、 等差数列求和公式：Snna12anna 1nn1 d122na 1qna 1a nqqq112、等比数列求和公式：S na 1 1n1q1q.n1n n13、S nk1232k1S

2、 nnk22 1222 3.n21 n n612n1k1S nnk33 1233 3.3 n123.n21n n2k1练习： 1222.2n_（留意：等比数列,共有n+1 项）2 n 项）123.2n_（留意：等差数列,共有已知an1222.n 2,就数列an的前100项和为 _数列 7,77,777,7777, ,的一个通项公式为例 1、 求和：xx2x3xn解：当 x=0 时,S n0,当 x=1 时,n,Sn_当 x0,且 x1 时,S nx1xnxxn1. 11x1x例 2、已知log3x1nxk；log32x,求log23k1log3x1xlog3解：由log232由等比数列求和公式

3、得练习： 设S n1n1xkx 1xn1 1111S n1的最大值 .22 1nk1x2n1S n23.n n2nS nN ,求f n 32二、分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可；例 3、 求和 :x12 x1xn1x0,x1 ,y1nyy2yn解:原式 =xx2x3xn111yy2yn=x1xn111yyn111xy=x1xn1yyn1nxn1y留意：如条

4、件中未给出参数的条件,就应对x=0,x=1,y=1 进行争论；例 4、 已知设S n12345. 1n1 .n,求s 172s 30s 51分析：留意 123456.1解：s 172s 30s 508 1172 15 12515147例 5、求数列的前 n 项和：11,14,17,.,a113n2,.aa2n解：设S n 11 1417a113n2aa2n111111 473 n2aa2an当a1时,Snn3n21 n3n21 n例 6 求数列当a1时,S n1a 1n 3 n1 1a的前 n 项和；21naa1 an3 n21 1nn1 n2解：设a kkk1 2 k1 2k33 k2kSn

5、nkk1 2 k1 n2 k33 k2kk1k1将其每一项拆开再重新组合得名师归纳总结 S nnnk33nk2nk22n1 n2 12n 第 2 页,共 5 页2k1k1k13 2n32 12133 2n1 2nn1 2 n1 n 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n n1 2 n优秀学习资料欢迎下载2 三、裂项求和法2这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用；裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为anf n1f n 的形式,然后相互抵消,最终达到求和的目的；通常有以下情形：b n的前 n 项的（1）a nn 111n11nn（2）an2n1

6、n11 2 21121112nn（3）ann n1n2111n1212n n1n（4）ann1nn1n1例 7、 求和：112213n11n分析：由a nn11n11n=nn1nn1=1n11nnnn1nn解：原式 =1111n1111n11223nn=1n11=nn1例 9、求数列112,213,.,n1n1,.的前 n 项和；解：设a nn1n1n1n就Sn112213n1n12132n1nn11例 9、在数列 a n中,ann11n21nn1,又bnan2n1,求数列 a和. 名师归纳总结 解：a n121n1n1n第 3 页,共 5 页n1n1n2bnn218 1nn数列 b n22的

7、前 n 项和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Sn8 1n11 2优秀学习资料1欢迎下载n1 1111 n23348 11 18 nn1n11四、错位相减求和法名师归纳总结 例 10、 求和：134nn1第 4 页,共 5 页22232分析：原式等价于213141n211n11212223n2n其中ann1 .1,象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前n 项和,联系2n课本中等比数列前n 项和公式的推导过程,可采纳错位相减法求得. 解：令S n213141n211n11212223nn 21S n213141n1n111222234

8、 22n2n得：1S n1111n1222232nn 21S n211111nn1222232n221111n1nn122122212n12nn 23nn32练习： 求和：x2 x23x3nxn（留意分类争论）求和：S n13 x5x27x32n1xn1（留意分类争论）例 11、 求和：13 a5a27a32n1an1a0.解：当 a=1 时,Sn1352n112n1nn22当 a1 时,S n13 a5 a27 a3.2n1n a1aS na3a25 a3.n 2n a 31n2an 1得：1a S n12 a2 2 a2 an12 n1an- - - - - - -精选学习资料 - - -

9、 - - - - - - 12a优秀学习资料2 n欢迎下载1an11an1an n S n 2 1 a a a 2 1 2 1 n a 1 a五、对称项求和法（高斯法）这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是找到数列各项相应的对称项,两两结合相加；有时可将原数列反序排列后再与原数列相加,称为反序相加法；例 12、 已知ff 1,求f1f1ff1.ff11x分析：f1f2f3.f2022232022f1111xf x 1x1x111x1x解：原式1fx.20221 2022f1 31f2f1f3211 1.1（2022个 相加）12022名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页