2022年文科数学主干知识与基础知识归类.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思文科数学主干学问与基础学问归类一. 集合与简易规律集合表示集合中的关系集合运算,命题形式四种命题关系充分、必要条件1. 留意区分集合中元素的形式. 如：x ylg x 函数的定义域； y ylg x 函数的值域；2. 集合的性质：任何一个集合 A是它本身的子集 , 记为 A A . 空集是任何集合的子集 , 记为 A . 空集是任何非空集合的真子集；留意 : 条件为 A B ,在争论的时候不要遗忘了 A 的情形,如：A x | ax 2 2 x 1 0 , 假如A R , 求 a的取值 . 答：a 0 C

2、U A B C A C B , C U A B C A C B；（A B）C A（B C）；（A B）C A（B C）. ABAABBABC BC AAC BC ABR. A B 元素的个数：card A B cardA cardB card A B . 含 n个元素的集合的子集个数为 2 n ；真子集 非空子集 个数为 2 n1；非空真子集个数为 2 n 2 . 3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；如： 已知函数 f x 4 x 2 2 p 2 x 2 p 2p 1 在区间 1,1 上至少存在一个实数 c , 使3f c 0 , 求实数 p 的取值范畴 . 答： 3,

3、24. 原命题 : p q ；逆命题 : q p ；否命题 : p q ；逆否命题 : q p ；互为逆否的两个命题是等价的 . 如：“sin sin” 是“” 的条件 . 答：充分非必要条件 5. 如 p q 且 q p , 就 p 是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件. 6. 留意命题 p q 的 否定形式 与它的 否命题 的区分 : 命题 p q 的否定形式是 p q ；否命题 是 p q . 命题 “p或q” 的否定是 “p且 q” ；“p且q”的否定是“p 或 q ” . 如：“ 如 a 和 b 都是偶数,就 a b 是偶数” 的否命题是“ 如 a 和 b 不都

4、是偶数 ,就 a b 是奇数”否定是“ 如 a和 b 都是偶数 , 就 a b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思原结论否定原否是不是结论定至一都是不都是少有个 也 没一个有至至大于不大于多有少 有 两一个个至至小于不小于少有多有n 个n1个至至对 所 有存 在 某多有少有n 个pn1个 px, 成立x , 不成立或 qp且qp对 任 何存 在 某x, 不成立x , 成立且 q或q二. 函数函数概念函数图象函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶

5、性、反函数、对称性、周期性）特殊函数图象与性质应用（内部应用、应用题）,1. 映射 f : AB 是：“ 一对一或多对一” 的对应；集合A中的元素必有象且 A中不同元素在 B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不肯定有原象 即象集B . 一一映射f : AB ： “ 一对一”的对应； A中不同元素的象必不同, B中元素都有原象. 2. 函数 f : AB 是特殊的映射 . 特殊在定义域A和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与 y 轴垂线的公共点可能没有也可能有任意个. 3. 函数的三要素： 定义域 , 值域 , 对应法就 . 争论函数的问题肯定要留意定

6、义域优先的原就 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义 如: 分母 0 ; 偶次根式被开方数非负 ; 对数真数 0 , 底数 0 且 1；零指数幂的底数 0 ；实际问题有意义；如 f x 定义域为 , a b , 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出；如 f g x 定义域为 , a b ,就 f x 定义域相当于 x , a b 时 g x 的值域 . 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数 , 运用三角函数有界性来求值域；不等式法； 单调性法； 数形结合： 依据函数的几何

7、意义 ,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）项式函数 . ：导数法 一般适用于高次多6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 -对已知等式进行赋值, 从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如f x 是偶函数 , 那么f x fxf|x|；定义域含零fx 0或的奇函数必

8、过原点f00 ；f x 判 断 函 数 奇 偶 性 可 用 定 义 的 等 价 形 式 ：fx1 0；f x 留意： 如判定较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判定；既奇又偶的函 数有很多个 如f x 0定义域关于原点对称即可. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 复合函数单调性由“ 同增异减” 判定. （提示：求单调区间时留意定义域）名师归纳总结 如： 函数ylog 2 x2 x 的单调递增区间是_ . 答： 1,2 第 3 页,共 20 页28. 函数图象的几种常见变换平移

9、变换：左右平移-“ 左加右减” （留意是针对 x 而言）；上 下 平 移 -“上 加 下 减 ” 注 意 是 针 对f x 而 言 . 翻 折 变 换 ：f x |f x |；f x f|x|. 对称变换：证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上. 证明图像C 与C 的对称性 , 即证C 上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在C 上 , 反之亦然 . 函数yf x 与yfx 的图像关于直线x0 y 轴 对称；函数yf x 与函数yfx 的图像关于直线y0 x 轴 对称；如函数yf x 对 xR 时,f ax f ax 或f x f2ax 恒成立 , 就yf

10、x 图像关于直线 x 如 yfa对称； x 对 xR 时 ,f ax f bx 恒成立 , 就yf x 图像关于直线xa2b对称； 函 数yf ax,yf bx 的 图 像 关 于 直 线xb2a对 称 由axbx 确定 ； 函 数yf x ,yAf x 的 图 像 关 于 直 线yA对 称 由2yf x Af x f确定 ；yfx 的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ； 函 数2y 与 函 数yf x ,ynf mx 的图像关于点m n 对称；, 2 2函数yf x 与函数yf1 的图像关于直线yx 对称；曲线C ：f x y , 0, 关于yxa （ 或 yxa） 的 对 称

11、曲 线C 的 方 程 为f ya xa0 或fya,xa0；曲线C ：1f x y , 0关于点 , a b 的对称曲线C 方程为：2f2ax ,2by0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思9. 函数的周期性： 如yf x 对xR时f xaf xa 恒成立 , 就f x 的周期为2| |a ；如 y f x 是偶函数 , 其图像又关于直线 x a对称 , 就 f x 的周期为 2| a ；如 y f x 奇函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x 的周期为 4 | a ；如 y f x 关于点 ,

12、0 , ,0 对称 , 就 f x 的周期为 2 | a b ； y f x 的图象关于直线 x a , x b a b 对称 , 就函数 y f x 的周期为2 | a b ； y f x 对 x R 时, f x a f x 或 f x a 1, 就 y f x 的周f x 期为 2| a ；n10. 对 数 ： l o g b l o g a b a 0 , a 1 , 0 , R ； 对 数 恒 等 式a log aN N a 0, a 1, N 0；M nlog M N log a M log a N ;log a log a M log a N ;log a M n log a M

13、 ；Nn 1 log b Nlog a M log a M ；对数换底公式 log a N a 0, a 1, b 0, b 1；n log b a推论：log a b log b c log c a 1 log a 1 a 2 log a 2 a 3 log a n 1 a n log a 1 a . 以 上 M 0, N 0, a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1, a a 2 , a n 0 且a a 1 2 , a 均不等于 1 11. 方 程 k f x 有 解 k D D 为 f x 的 值 域 ；a f x 恒 成 立a f x 最大值, a f x 恒成立

14、a f x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分别参数法 根的分布问题； 最值法 ； 转化为一元二次方程13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“ 两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bxc a0；顶点式：f x a xh2k a0； 零点式：f x a xx 1xx 2a0. 15. 一元二次方程实根分布: 先画图再争论0 、轴与区间关系、 区间端点函数值符号 ; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：如f x 的定义域为 , a b , 其复合函数f g x 的定义

15、域可由不等式ag x b 解出；如f g x 的定义域为 , a b , 求f x 的定义域, 相当于x , a b 时, 求g x 的值域； 复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定 . 17. 对于反函数 , 应把握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数； 奇函数的反函数 也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存 在反函数；名师归纳总结 互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；yf x 与第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思yf1 x 互为设f x 的

16、定义域为A,值域为B,就有反函数,f1 fx x , xf1B f x x xA . 18. 依据单调性, 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：名师归纳总结 f u g x uh x 0 或0 aubf a 0 或f a 0 ；第 5 页,共 20 页f b 0f b 019. 函 数ya xb dc0,adbc 的 图 像 是 双 曲 线 ： 两 渐 近 线 分 别 直 线c xxd 由分母为零确定 和c直线ya 由分子、分母中x 的系数确定 ；对称中心是点d,a c；反函cc数为ybdx；cxa20. 函 数yaxba0 ,b0 ： 增 区 间 为 ,b,b, 减 区

17、间 为xaa,b,0,0,b. aa如：已知函数f x ax1在区间 2, 上为增函数 , 就实数 a 的取值范畴是x2_ 答：1 ,2 . 三. 数列数列概念数列通项、前n 项和特殊数列的通项、前n 项和及性质应用（内部应用、应用题）1. 由S 求a ,anS n1n2,nN*留意验证1a 是否包含在后面a 的S nS n1公式中 , 如不符合要单独列出. 如：数列 an满意a 14,S nS n15an1,求a 答：3an4 n3 4n1 1 n2. 2. 等差数列anana n1d d 为常数 2a na n1a n1n2,nN*ananb ad ba 1dS nAn2Bn Ad,Ba1

18、d；223. 等差数列的性质：anamnm d ,da ma n；mnmnlkamanala 反之不肯定成立 ；特殊 地 , 当mn2p时 , 有aman2 a ；如 an、 b n是等差数列 , 就 ka ntb n k 、 t 是非零常数 是等差数列； 等 差 数 列 的 “间 隔 相 等 的 连 续 等 长 片 断 和 序 列 ”即S m,S 2mS m,S 3 mS 2m,仍是等差数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A n等差数列 a n, 当项数为 2n 时, S 偶1S 奇nnd,S奇,an；项数为

19、 2n1时 , San2偶11；S 偶S 奇a 中a nnN*,S 2n且S奇nn1 anSn1. 偶f n anf2B nb n首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前 转化为解不等式n 项和的最大 或最小 问题 ,S man100 或a n100. 也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. 就aa nn 如anm a mn mn, 就am n0； 如S nm S mn mnnmn ；n1. 如S mS mn , 就 Sm+n=0； S3m=3S2m Sm ；S m nS mS nmnd . 4. 等比数列anan1q q0a2 nan1 an1n2,nN*ana qa n5.

20、等比数列的性质a na q m n m,qnma n；如 a n、 b n是等比数列,就 kan、a b n等a m也是等比数列；na 1 q 1 na 1 q 1 S n a 1 1 q n a 1 a n q q 1 a 1q n a 1 q 1；1 q 1 q 1 q 1 qm nm n m l n 反之不肯定成立 a ；S m n a S m q S n a S n q S . 等比数列中 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 注：各项均不为 0 仍是等比数列 . 等比数列 a n 当项数为 2n 时 , S 偶q；项数为 2 n 1 时, S 奇 a 1q

21、. S 奇 S 偶6. 假如数列 a n 是等差数列 , 就数列 A a n A a n总有意义 是等比数列；假如数列 a n 是等比数列 , 就数列 log a | a n | a 0, a 1 是等差数列；如 a n 既是等差数列又是等比数列 , 就 a n 是非零常数数列；假如两个等差数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项；a 三 个 数 成 等 差 的 设 法 ：ad a ad ； 四 个 数 成 等

22、 差 的 设 法 ：3d,ad ,ada3；d三个数成等比的设法：a, , a aq；四个数成等比的错误设法：a 3,qa,3 aq aq 为qq什么？ 名师归纳总结 7. 数列的通项的求法：公式法： 等差数列通项公式；等比数列通项公式2. . 第 6 页,共 20 页已知S 即a 1a2a nf n 求a 用作差法：anS 1,n1nS nS n1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思f 1, n 1已知 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作商法：a n f n , n 2 .f n 1如 a n 1 a

23、n f n 求 a 用迭加法 . 已知 a n 1f n , 求 a 用迭乘法 . a n 已 知 数 列 递 推 式 求 a n , 用 构 造 法 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ： 形 如na n ka n 1 b, a n ka n 1 b ,a n ka n 1 a n b k b 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 , 再求 a . 形如 a n a n 1的递推数列都可以用“ 取倒数法”ka n 1 b求通项 . 8. 数列求和的方法：公式法：等差数列, 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法. 公式：123n1n n1；

24、22 12232n21n n12n1；3 12333n3n n12；62135n2 n ；常见裂项公式111；11k11n1k；n n1nnn nknn n1n1111n1n2；nn11； 常 见 放 缩 公 式 ：12n n11.n.n1.2n1nn2n1n2n12nn1 . 1n9. “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中,务必“ 卡手指” ,细心运算“ 年限”. 对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题 , 就常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决 .利率问题：单利问题：如零存整取储蓄 单利 本利和运算模型：如每期存入

25、本 金 p 元 , 每 期 利 率 为 r , 就 n 期 后 本 利 和 为：S np1rp12 p1nrp n题）；复利问题： 按揭贷款的分期等额仍款n n 1r 等差数列问2 复利 模型：如贷款 向银行借款 p 元,采纳分期等额仍款方式 , 从借款日算起 , 一期 如一年 后为第一次仍款日 , 如此下去 , 分 n期仍清. 假如每期利率为 r （按复利）,那么每期等额仍款 x元应满意：n n 1 n 2p 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x 等比数列问题 . 四. 三角函数名师归纳总结 1.终 边 与终 边 相 同2kkZ；终 边 与终 边 共 线第 7 页,共 20 页边与

26、kkZ ；终边与终边关于 x 轴对称kkZ ；终终边关于 y 轴对称2kkZ ；终边与终边关于原点对称终 边 与终 边 关 于 角终 边 对 称2kkZ；22 kkZ . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2. 弧长公式：l|r ；扇形面积公式：S 扇形1lr1 2|r2； 1弧度 1rad 2sin11cos01257.3 . 3. 三角函数符号 “ 正号” 规律记忆口诀： “ 一全二正弦 , 三切四余弦”.留意：tan15cot 7523；tan75cot1523；4. 三角函数同角关系中 八块图 ：留意“ 正

27、、余弦三兄妹012sinxcosx 、 sinxcosx ” 的关系 . 如sinxcos 212sinxcosx 等. 111025. 对于诱导公式 , 可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括； 留意：公式中始终视 为锐角206. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角1与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. sincos如 ：； 2 ； 2 ；22；222等；“1”的变换：1sin2x2 cosxtanxcotx2sin30tan45；7. 重要结论：asinxbcosxa2b2sinx其中 tanb）；重要公式asin21cos2；cos21cos2；tan21sin1cos；

28、2cossin21sincos2sin22|cos2sin2|. 万能公式：sin 212 tan2；cos21tan2；tan 212 tan2. tan1tan2tan8. 正 弦 型 曲 线yAsinx的 对 称 轴xk2kZ； 对 称 中 心k,0kZ ；余 弦 型 曲 线yAcosx的 对 称 轴xkkZ； 对 称 中 心k2,0kZ ；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定名师归纳总结 理：aAbBcC2R ；Ab2c2a2bc2a21；第 8 页,共 20 页sinsi

29、nsin余弦定理：a2b2c22bccos ,cos2 bc2bc正弦平方差公式：sin2Asin2BsinABsinAB ；三角形的内切圆半径r2SABCc；ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思面积公式：S 1ab sin C abc；射影定理：a b cos C c cos B . 2 4 R10. ABC 中, 易得： A B C , sin A sin B C , cos A cos B C , tan A tan B C . sin Acos B C , cos Asin B C , tan Acot

30、B C . 2 2 2 2 2 2 a b A B sin A sin B锐角 ABC 中 , A B , sin A cos B ,cos A cos B , a 2b 2c , 类比得钝 22角 ABC 结论 . tan A tan B tan C tan A tan B tan C . 11. 角的范畴：异面直线所成角 0, ；直线与平面所成角 0, ；二面角和两2 2向量的夹角 0, ；直线的倾斜角 0, ；1l 到 2l 的角 0, ；1l 与 2l 的夹角 0, .2留意术语 : 坡度、仰角、俯角、方位角等 . 五. 平面对量向量概念向量的表示向量运算及其几何意义应用：作为工具,解

31、决几何问题、三角问题等,关键是“ 线段向量化”名师归纳总结 1.设ax 1,y 1,bx 2,y 2. 1a/bx y 2x y 10；第 9 页,共 20 页2aba b0x x 2y y 20. 2. 平面对量基本定理：假如1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量a , 有且只有一对实数1、2, 使a1e 12e . 23. 设ax 1,y 1,bx 2,y 2, 就a b|a| | cosx x 2y y ；其几何意义是a b 等于 a 的长度与b 在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b 的方向上的投影|a| cosa bx x 2y y 2. |b|2

32、 x 2y2 24. 三点 A、 B 、 C 共线AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量|AB|. AB5.平面向量数量积性质： 设ax y 1,bx2,y 2,就cos|a b2 x 1x x2y y 22 y 2；留意 :a b 为锐角a b0,a b 不同向；a b | |2 y 12 x 2a b 为直角a b0；a b 为钝角a b0,a b不反向 . 6. a b 同向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 反向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab|；a b不共线|a|b|ab| |a|b . 7. 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ： 如ax 1,y 1,bx 2,y 2, 就a bx x 2y y ；|AB|