2022年数学分析教案第十章定积分的应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十章 定积分的应用 教学要求：1.懂得微元法的思想, 并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2. 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积运算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积运算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数： 10 学时 1 平面图形的面积（ 2 时 ）教学要求：1. 懂得微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分

2、；2. 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面区域的面积；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：名师归纳总结 （一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形的面积公式 . 第 1 页,共 6 页1. 简洁图形：型和型平面图形 . 2. 简洁图形的面积 : 给出型和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对由曲线和学习必备欢迎下载图形, 介绍面积运算步围成的所谓“ 两线型”骤. 留意利用图形的几何特点简化运算 . 围成的平面图形的面积 . 例 1求由曲线例 2求由抛物线与直线所围平面图形的面积. （二）参数方程下曲边梯形

3、的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有 , 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程. , 亦即 . 详细运算经常利用图形的几何特点 . 例 3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积 . 名师归纳总结 例4 极坐标下平面图形的面积: 第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推导由曲线学习必备欢迎下载所围“ 曲边扇形” 的面和射线积公式. 简介微元法,并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . 例 5求由双纽线所围平面图形的面积 . 解或. 可见图形夹在过极点 , 倾角为 的两条直线之间 . 以 代 方

4、程不变 , 图形关于 轴对称 ; 以 代 , 方程不变 , 图形关于 轴对称 . 参阅 P242 图 10-6 因此 . 三、小结 ： 2 由平行截面面积求体积（ 2 时 ）教学要求： 娴熟地应用本章给出的公式,用截面面积运算体积；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,用截面面积运算体积名师归纳总结 （一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为. 第 3 页,共 6 页推导出该立体之体积. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 祖暅原理 : 夫幂势即同 , 学习必备欢迎下载 祖暅系祖冲之之子齐梁就积不容异 . 时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初

5、 和所围立体体积 . 例 1求由两个圆柱面 P244 例 1 例 2 运算由椭球面所围立体 椭球 的体积 . 1 P244 例 2 （二）旋转体的体积 : 定义旋转体并推导出体积公式 . . 例 3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式 . 例 4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积 . 例 5 求由圆 3 绕轴一周所得旋转体体积 . 1000 例 6 轴正半轴 .绕轴旋转 . 求所得旋转体体积 . 曲线的弧长 1 时 教学要求： 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面曲线的弧长；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,运算平面曲线的弧长,（一） 弧长的定义 : 定义曲线弧长的基本思想是

6、局部以直代曲名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 . （二） 弧长运算公式 : 光滑曲线的弧长 . . . 就上以和,设,又和在区间上连续可导且为端点的弧段的弧长为, 有为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对其几何意义是 : 在以点, 和 Ch 1 1 Ex 第 5 题 P4 . 为顶点的三角形中 , 两边之差不超过第三边 .事实上,. 为证求弧长公式 , 在折线总长表达式中 , 先用 Lagrange 中值定理 , 然后对式插项进行估量 . 假如曲线方程

7、为极坐标形式连续可导 , 就可写出其参数方程 . 于是. 4 旋转曲面的面积 1 时 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载教学要求： 旋转曲面的面积；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,运算旋转曲面的面积用微元法推出旋转曲面的面积公式 : 曲线方程为时,；曲线方程为时,.例 12 P254255 例 12. 5 定积分的物理应用举例 2 时 教学要求：娴熟地应用本章给出的公式,运算变力作功等；教学重点： 娴熟地应用本章给出的公式,运算变力作功等例 12 P255 257E例 13. 名师归纳总结 例 3 P257259 例 4-5. 第 6 页,共 6 页- - - - - - -